Билет 1 Механическое движение. Связь между линейными и угловыми характеристикам Механи́ческим движе́нием
жүктеу/скачать 34,41 Mb.
|
Биотех сессия-1
| Билет 23
1. Колебания груза на пружине. Математический маятник. Физический маятник.
Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна F = -kx. Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде или
. Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника: . (15.3.2) Из уравнения (15.3.2) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Решение уравнения (15.3.2) имеет вид x(t) = A cos (wt+j), где - частота гармонических колебаний. Тогда - период колебаний пружинного маятника. 2) Физический маятник. Твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции называется физическим маятником (рис.15.2). Покажем, что и физический маятник будет совершать гармонические колебания. В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали. При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d): M = mgd или
, где - расстояние между центром инерции и точкой подвеса. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращательный момент равен M = Ie (15.3.3.) или
В случае малых колебаний sinj~j и, приравнивая (15.3.3) и (15.3.4), получим уравнение колебаний физического маятника: или
. (15.3.5) Введем обозначение и перепишем уравнение (15.3.5) в виде . (15.3.6) Уравнение колебаний физического маятника (15.3.6) представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.6) будет функция вида j(t) = j0 cos (wt+a), т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений: ; . где - приведенная длина физического маятника (на рис. 15.2 приведенная длина соответствует отрезку ОО/). Точка О/ на продолжении прямой ОС, отстоящей от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качаний физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.
Приближенно можно считать математическим маятником небольшой, нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.15.3). Отклоним маятник от положения равновесия на угол a и предоставим ему возможность совершать колебания. На маятник в отклоненном состоянии действует возвращающая сила Fв = -mg sina. Она направлена по касательной к траектории движения шарика в сторону положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде . В общем случае решение уравнения сложно. Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла: sina ~ a. Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла a заменить отношением смещения x к длине нити
Тогда
(15.3.7) Введем обозначение и подставляя его в уравнение (15.3.7), получим уравнение движения математического маятника: (15.3.8) Из вида уравнения (15.3.8) следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (15.3.8) является функция вида x(t) = A sin (wt+y) или x(t) = A cos (wt+a), т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой и периодом . Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника. Математический маятник представляет собой частный случай физического маятника, где вся масса твердого тела сосредоточена в одной точке, находящейся на постоянном расстоянии от точки вращения. 2. Квазистационарный ток. Эффективные знаечения тока и напряжения. КВАЗИСТАЦИОНА́РНЫЙ ТОК, относительно медленно изменяющийся электрич. ток, сила которого в любой момент времени одинакова во всех сечениях неразветвлённой электрич. цепи. Для цепи, по которой протекают К. т., справедливы законы постоянных токов (Ома закон, Кирхгофа правила и др.). Переменный ток можно считать К. т. при выполнении т. н. условия квазистационарности, налагающего ограничение на линейные размеры электрич. цепи. Для синусоидальных токов условие квазистационарности определяется соотношением: l≪λ, где l – расстояние между наиболее удалёнными точками электрич. цепи, а λ – длина волны рассматриваемого тока. Это условие позволяет пренебречь эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитного поля. При расчёте К. т. (в отличие от расчёта цепей постоянного тока) необходимо учитывать возникающую при изменениях тока эдс электромагнитной индукции. К. т., протекающий в незамкнутых проводниках, замыкается токами смещения, протекающими в диэлектрич. среде. Индуктивности, ёмкости, сопротивления ветвей цепи К. т. могут считаться сосредоточенными параметрами. Пример К. т. – ток пром. частоты; исключение составляют токи в линиях дальней передачи (протяжённостью порядка 103 км), в которых условие квазистационарности вдоль линии не выполняется. Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянных токов. Однако эти законы остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся во времени тока или напряжения, если их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью света с. Если за время τ = l/c, которое необходимо для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи l, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения тока в начале и конце цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для них справедливо неравенство:
где Т – период изменения тока. При размерах цепи l ~ 3 м τ = 10-8 с. Таким образом, вплоть до периодов Т ~ 10-6 с, что соответствует частоте 106 Гц, токи в такой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной частоты 50 Гц будет квазистационарным для цепей длиной l ~ 100 км. 3. Газ (Азот) массой m= 5,5 г, при температуре Т расширяется в n=1,75 раз при постоянном давлении за счет извне количества теплоты Q. Его внутренняя энергия равна ∆U= 1040,6 Дж. Найти работу расширения газа равна А, количества теплоты Q и температуру Т.
жүктеу/скачать 34,41 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|