Білім беру бағдарламасы бойынша оқитын студенттерге арналған дәрістер жинағы Алматы 2021

16 
. 
(4.6) 
(4.3) жазық толқынның теңдеуі (4.6) толқындық теңдеудің шешімі болып 
табылады. 
Жалпы жағдайда, ығысу төрт айнымалының функциясы болып табылады 
және ол келесі түрде жазылады:
, 
(4.7) 
мұндағы
. 
 
4.3 Толқынның энергиясы. Умов векторы 
 
Толқын таралатын серпімді орта бөлшектердің тербелмелі қозғалысының 
кинетикалық энергиясына және ортаның деформациясынан пайда болатын 
потенциалдық энергияға ие болады.
Барлық нүктелерде қозғалыс жылдамдығы және деформациясын бірдей 
деп есептеуге болатын және сәйкесінше х осі бойынша таралатын толқын үшін 
және 
тең болатын 
аз көлемді ойша белгілеп аламыз. 
Белгіленген көлем 
кинетикалық энергияға ие, 
мұндағы 
- 
көлемдегі заттың массасы,
. 
Теңдеуге 
, мәнін қойып, келесі өрнекті аламыз:
. 
Қарастырылып отырған көлем потенциалдық энергияға ие 
, 
мұндағы - Юнг модулі;
- салыстырмалы ұзару немесе сығылу. 
Қума толқындардың жылдамдығы 
,
екенін 
ескерсек, 
потенциалдық энергия
ның өрнегін аламыз:
2
2
2
2
2
1
t
x


=





2
2
2
2
1
t


=




2
2
2
2
2
2
2
x
y
x


+


+


=





t



x



V

V
t
t
m
W
k









=









=

2
2
2
2



V
m


=


V

(
)
kx
t
A
t
−
−
=





sin
2








t

(
)
V
kx
t
A
W
k

−
=




2
2
2
sin
2
1
V
E
W
n

=

2
2

E
x


=




/
E
=
(
)
kx
t
kA
x
−
=




sin

17 
. 
Ортаның 
көлемдегі бөлшектердің потенциалдық және кинетикалық 
энергияларының теңдеулеріне жүргізілген талдау олардың максимум 
мәндерінің бірдей екендігін, 
және 
уақыттың бірдей функциялары 
болып табылатынын көрсетеді. Бұл заңдылық серпімді ортада кез келген қума 
толқынға тән. Ол серпімді ортада таралатын тербелістердің таралу 
процестеріне қолданатын энергияның сақталу заңынан шығады. Серпімді 
толқындардың таралуы ортаның бір аймағынан екінші аймағына энергияның 
тасымалдануымен тығыз байланысты, сондықтан энергия координата мен 
уақытқа тәуелді. 
Толық энергия
мен 
қосындысына тең: 
. (4.8) 
Осы энергияны көлемге бөлсек, 
энергия тығыздығын
аламыз:
.
Ортаның әрбір нүктесінде энергияның тығыздығы синустың квадраты 
бойынша өзгереді, сондықтан ортаның әрбір нүктесінде 
энергияның орташа 
тығыздығы: 
. 
(4.9) 
Қандай да бір бет арқылы 
бірлік уақытта толқын тасымалдайтын 
энергия осы бет арқылы өтетін 
энергия ағыны
деп аталады: 
. 
Беттің әртүрлі нүктесінде энергия ағыны әртүрлі болуы мүмкін, 
сондықтан 
энергия ағынының тығыздығы
деген ұғым енгізіледі. Бұл энергия 
тасымалының бағытына перпендикуляр бағытталған бірлік аудан арқылы 
өтетін энергия ағыны: 
.
(4.10) 
(
)
V
kx
t
A
W
n

−
=




2
2
2
sin
2
1
V

k
W

n
W

k
W

n
W

(
)
V
kx
t
A
W
W
W
n
k

−
=

+

=



2
2
2
sin
(
)
kx
t
A
V
W
w
−
=


=


2
2
2
sin
2
2
2
1
A
w

=
dt
dt
dW
Ф
=
⊥
⊥

=
=
dS
dt
dW
dS
dФ
j

18 
Гармоникалық толқындар үшін (синусоидалық) толқынның энергия 
тасымалының жылдамдығы фазалық жылдамдыққа тең . Табанының ауданы 
және ұзындығы 
тең қиық цилиндр ішінде жинақталған энергия 
: 
. 
Осы формуланы (4.10) - ге қойып, энергия ағынының тығыздығы үшін 
формуланы аламыз: 
. 
Ағынның тығыздығын және оның бағытын анықтау үшін 
Умов 
векторын 
енгізеді:
, 
(4.11) 
мұндағы 
- модулі толқынның фазалық жылдамдығына тең 
берілген нүктеде толқынға нормаль жылдамдық векторы. 
Энергия ағынының тығыздығының уақыт бойынша орташа мәні 
толқынның қарқындылығы
деп аталады:
. 
 
4.4 Толқындық түйдек. Топтық жылдамдық. Толқын дисперсиясы 
 
Толқындық сигналдың таралуы толқын топтарының (толқындық түйдек) 
тасымалдайтын тербеліс энергиясының орын ауыстыруымен анықталады. 
Сәуле шығару көбіне монохроматты бола бермейді, жіңішке жиіліктер 
интервалын құрайды. Осы жиілік мәндерінің жиынтығы жиіліктер спектрі деп 
аталады. Тербеліс сипатына қарай, спектр дискретті немесе үздіксіз болуы 
мүмкін. 
Жиіліктері бір-біріне жақын екі жазық толқынның суперпозициясы 
болып табылатын сызықтық ортада таралатын толқынның қарапайым тобы – 
квазисинусоидалық толқынды қарастырамыз. 
және 
, 
мұндағы 
, 
, 
, 
. 
Тербелістерді қосу нәтижесінде келесі өрнек шығады 
. 

dS
dt

dW
⊥
=
=
dtdS
w
dtdS
w
dW



cos


=
w
j
j

v



=
w
j
n
k



=
v



2
2
2
1
A
w
j
I
=
=
=

(
)
kx
t
A
−
=


cos
0
1
(
) (
)


x
dk
k
t
d
A
+
−
+
=



cos
0
2
1


=
k
(
) (
)
2
/



d
dk
k
+
=
+



d
k
dk

(
)


(
)
kx
t
xdk
td
A
−
−
=



cos
2
/
cos
2
0

19 
Осы толқын синусоидалық толқыннан амплитудасымен ерекшеленеді: 
. 
(4.12) 
Ол баяу өзгеретін 
х
координата мен уақыттың функциясы болып 
табылады. Толқындық түйдектің таралу жылдамдығы ретінде амплитудасы 
белгілі мәнге ие, көбіне максимал 
(толқындық түйдектің центрі) 
болатын нүктенің 
орын ауыстыру жылдамдығы алынады. Себебі бұл 
нүктеде энергияның тығыздығы максимал, ендеше топтық жылдамдық – 
толқын энергиясының тасымал жылдамдығы.
Толқындық түйдектің центрі 
заңы бойынша қозғалады 
бұдан 
топтық жылдамдық:
. 
, 
, 
( - толқын ұзындығы) болса, онда
. 
(4.13) 
Топтық жылдамдықтың фазалық жылдамдықтан артық немесе кем де 
болуы мүмкін. Ол фазалық жылдамдықтың толқын ұзындығына (жиілігіне), 
яғни ортаның қасиетіне тәуелді болуына байланысты. Монохромат толқынның 
фазалық жылдамдығының жиілікке (толқын ұзындығына) тәуелділігі 
дисперсия 
деп аталады. 
Егер орта дисперсиялаушы орта болса, онда толқындық түйдектің пішіні 
жиіліктері әртүрлі гармоникалық толқындардың қосындысы болып шығады. 
Қорытқы толқын таралу шамасына қарай «жайылады», ал сигналдың «пішіні» 
өзгереді. Дисперсия жоқ кезде, мысалы, вакуумде электромагниттік толқындар
немесе ауада акустикалық толқындар 
таралғанда, 
олар өз пішіндерін сақтайды.

жүктеу/скачать 1,3 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: