§46*. Атомның осцилляторлық моделі

Жалпы алғанда, осцилляторлық модель атом жүйелері классикалық физика тұрғысынан қарастырылатын барлық жағдайларда пайдалы, онда планетарлық модель түбегейлі жарамсыз (§43, 3,в тармағын қараңыз). Бір жағынан, бұл кейбір қызықты физикалық құбылыстарды сапалы және кейде жартылай сандық деңгейде сипаттауға мүмкіндік береді. Екінші жағынан, модель Атом жүйелеріне қатысты классикалық көріністердің шектеулі екенін және оларды кванттық көріністермен алмастыру қажеттілігін жақсы көрсетеді. Төменде осы типтегі үш тапсырма талқыланады.

1. Егер біз радиацияның энергия шығынын толығымен елемейтін болсақ, онда біз қабылдаған модельде қозған атомның мінез-құлқы гармоникалық осциллятордың меншікті жиілігімен тербелісімен бірдей болады (§43, 1 тармақты қараңыз). Мұндай атом қатаң монохроматикалық электромагниттік толқын шығарады және оның шығарылу спектрінде жиілігіне сәйкес келетін бір өткір сызық бар.

   
   

Енді әрдайым теңсіздікті ескере отырып, радиациялық үйкеліс күшін ескеріңіз (45.16). t < 0 кезінде электрон тепе-теңдік жағдайында орналассын, оның шығу тегі үйлесімді боладыжәне уақыттың бастапқы сәтінде t = 0 атом қандай да бір жолмен қозғалсын, осылайша электрон радиус векторы болатын нүктеде пайда болады, оның бойымен біз x осін бағыттаймыз. Электронның t ≥ 0 кезіндегі қозғалысы (45.14) түріндегі теңдеумен сипатталады.

(барлық t үшін y=z=0). Бұл есептің шешімі жалпы физика курсынан белгілі. Ол өшірілген тербелістерге жауап береді

мұнда (дәл ерітіндіде ) екені ескеріледі. Хевисайдтың қадамдық функциясын енгізсек

(46.3) ретінде қайта жазсақ

Осыған ұқсас нәтиже (41.6) электр өрісі үшін алынған [(43.2) және (43.3) формуланы қараңыз].

Теңсіздіктен спектрлік сызықтардың салыстырмалы кеңеюі өте аз екенін көрсетеді. Осы параграфқа қосымша, осы құбылыстың сапалық деңгейде қарастырылған қатаң сандық талдауы жасалады.

2. Г. Лоренцтен кейін Зееман эффектісін классикалық түсіндіру үшін атомның тербелмелі моделін қолданамыз. Белгілі болғандай, соңғысының мәні сыртқы магнит өрісінің әсерінен (қозғалмайтын және біркелкі: ) атомдық сәулелену спектріндегі сызықтар бірнеше құрамдас бөлектерге бөлінеді. Бұл есепте радиациялық ұйкелісті есепке алудың қажеті жоқ және электронның қозғалыс теңдеуі былай жазылады

   
   

z осін векторы бойымен бағыттап, (46.9) құраушылары бойынша жазамыз:

Мұнда – магнит өрісі болмаған кездегі тербеліс жиілігі, және

Лармор жиілігі деп аталатын жиілік бар. Зееман эффектісі өзінің анықтамасы бойынша өте әлсіз магнит өрістерінде байқалады. Бұл теңсіздікті қанағаттандыру керек дегенді білдіреді

Соңғы теңдеуден (46.10) z осі юойымен электрон жиілігімен тербелетін белгілі болды. Алғашқы екі теңдеумен сипатталған xy жазықтығындағы оның қозғалысын зерттеу стандартты процедураны қолдана отырып жүргізілуі мүмкін. Алайда, бұл жерде біз магнит өрісі болған кезде зарядталған бөлшектердің әрекетін талдау үшін жиі қолданылатын бір тиімді әдісті көрсеті үшін жағдайды қолданамыз (немесе айналмалы сілтеме).

Екінші теңдеудң (46.10) қиялдағы i бірлікке көбейту және нәтижені бірінші теңдеумен қосу арқылы бізде

Әдеттегідей, біз осы теңдеудің шешімін келесі тұрде іздейміз

немесе теңсіздікті ескере отырып (46.12),

Осылайша xy жазықтығындағы электронның қозғалысы бұл формулалар (46.18) анықтаған жиіліктері бар тербелістердің суперпозициясы.

Соңғы теңдеуді (46.10) еске түсіре отырып, біз электронның толық қозғалысы жиіліктері бар үш гармоникалық тербелістің суперпозициясы деген қорытындыға келеміз

Бірақ бұл Зееман эффектісі! Бұл құбылыс мұнда классикалық физика тұрғысынан түсіндіріледі. Алайда, көп ұзамай мұндай түсіндірудің шектеулері анықталды. Сипатталған сурет ("қалыпты" Зееман эффектісі) ережеден гөрі ерекше жағдай болып табылады. Көп жағдайда спектрлік сызықтар үшке бөлінбейді, бірақ компоненттердің көп санына бөлінеді, ал олардың арасындағы қашықтық лармор жиілігіне тең емес ("қалыптан тыс" Зееман эффектісі). Зееман эффектісі толық түсіндірмені тек кванттық механика аясында алды. Оның егжей-тегжейлі зерттеуі бір уақытта спин ұғымын енгізуге түрткі болғанын ескеріңіз.

3. Ендң біз кем дегенде бірдей позициялардан Штарктың эффектісін сапалы түрде түсіндіруге тырысамыз – сыртқы электр өрісінің әсерінен атомдардың шығарылуы спектріндегі сызықтардың бөлінуі . Бұл жағдайда электронның қозғалыс теңдеуі былай жазылады

   
   

немесе

сонда ол үшін (46.22) бізде

Бірақ бұл гармоникалық осциллятордың қозғалыс теңдеуі, бұрынғы табиғи жиілігі және тек векторға ығыстырылған тепе-теңдік позициясы. положением равновесия. Сондықтан сыртқы электр өрісінің болуы атомдардың шығарылу спектрлерінің сипатына әсер етпеуі керек. Біз классикалық физика Штарктың әсерін түсіндіре алмайтынын көреміз. Рас, энгармонизмді ескере отырып және оның аясында спектрлік сызықтардың біршама бөлінуін алуға болады, бірақ тиісті нәтижелер тәжірибелі мәліметтерге мүлдем сәйкес келмейді.
Ⅷ-Тарау. ЗАТТАҒЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТТІК ӨРІСТІҢ ЖАЛПЫ ҚАСИЕТТЕРІ
Бұл тарауда 4-кестеде көрсетілген үздіксіз ортаның электродинамикасының жалпы дизайн элементтері талқыланады (1-беттегі 1-кестемен салыстырыңыз)
2-кесте
Заттағы электромагниттік өріс

ТҰТАС ОРТАНЫҢ ЭЛЕКТРОДИНАМИКАСЫ

Жүйе күйлері Физикалық шамалар Эволюция заңдары

Күй айнымалылары

Байланыс

Жүйе параметрлері

Динамикалық айнымалылар

Заттағы Максвелл теңдеулері

Сақтау заңдары

Себеп принципі

Эйнштейннің салыстырмалы приинципі
Вакуумдағы ұқсас теңдеулерге ұқсас заттағы электромагниттік өріс үшін әмбебап теңдеулер (II тарауды қараңыз), тіпті физика ғылымының осы саласына қатысты әмбебап ұғымдар жоқ екенін бірден атап өтеміз.
«Макроскопиялық электродинамика теңдеулерінің түрі және оларға кіретін шамалардың мағынасы материалдық ортаның табиғатына, сондай-ақ уақыт өте келе өрістің өзгеру сипатына байланысты».
Максвелл теңдеулері көбінесе осы тарауда талдауға арналған затта жиі қолданылады. Олар жасырын полуфеноменологический сипаты мен өте узкую облысы қолданылуын (толығырақ төменде қараңыз), сондықтан мүмкін емес жатқызылған санына сәйкес іргелі физикалық заңдар. Алайда, құбылыстардың белгілі бір шеңберін қарастырған кезде бұл теңдеулер өте пайдалы.

§47 Феноменологиялық көзқарас

Зат - көптеген бөлшектердің макроскопиялық жүйесі. Сыртқы электромагниттік өріс ондағы элементар зарядтардың және олар тудыратын элементар токтардың жергілікті қайта бөлінуін тудырады, бұл өз кезегінде бастапқы өрістің өзгеруіне әкеледі. Нәтижесінде зат пен өріс бөлшектерінің бірлескен әрекетін өзін-өзі үйлестірудің күрделі міндеті туындайды. Кіріспеде айтылғандай, толық және дәйекті шешіммен статистикалық физика мен кинетика идеяларын тарту қажет. Алайда, кейбір жағдайларда бөлшектерге байланысты өзгермелі күйлерді қарастырудан тиімді түрде алып тастауға болады. Бұған электромагниттік өрістің күй айнымалыларының санын екі есе көбейту арқылы қол жеткізіледі – электрлік және магниттік өрістермен бірге және екі көмекші векторлық өріс және . Барлық осы шамалардың мәні келесі параграфтарда, статистикалық тәсіл элементтерін ұсыну процесінде анықталады. Мұнда біз Дж. Максвеллге көтерілген құбылыстардың осы шеңберін феноменологиялық талдаумен шектелеміз.
Ⅰ. Өрістер және

Талқылауды стационарлық электромагниттік өрістер жағдайынан бастайық. Электр зарядтары белгілі бір көлемдік тығыздықпен бөлінсін . Егер бұл зарядтар вакуумда болса, онда олар бірінші теңдеуге бағынатын электростатикалық өрісті тудырады (19.2):

Егер бірдей зарядтар затқа салынса, онда жоғарыда айтылғандай, олар жасаған өріс , -ден өзгеше болады және ол үшін . Керісінше теңдігін сақтау үшін затқа -дан басқа тығыздығы бар зарядтарды қою керек. Осы эмпирикалық фактілер курсын сипаттау үшін көмекші векторлық өріс электрлік ығысу деп аталады (ескі терминологияда – электр индукциясы), оны біз жай өріс деп атаймыз (21 б. айтылғанмен салыстыр). Анықтамасы бойынша берілген (47.1.) түріндегі теңдеуге бағынады

Осыған байланысты ол зарядтың бірдей таралуы арқылы вакуумда пайда болатын электр өрісімен сәйкес келеді. Дегенмен, мұндай интерпретацияға тым байыпты қабылдауға болмайды, өйткені тек теңдеумен (47.2) өрісті толық анықталмайды. Атап айтқанда, (47.1) және (47.2) қатынасынан туындайтын , яғни

Осындай дәлелдер стационарлық магнит өрісіне де қатысты. Тығыздығы бар электр тогы вакуумда екінші теңдеуге бағынатын магнит өрісін (27.5):

Енді стационарлық емес электромагниттік өрістердің жалпы жағдайында тоқталайық. (47.6) теңдеу кез-келген жағдайда өз күшін сақтайды. Ол (47.1) теңдеуіне және вакуумға, жалпы әділеттілікке және заттағы теңдеулерге (47.2) ұқсас түрде жариялады (бірақ іс жүзінде оның қолдану аясы онша кең емес). Осылайша, вакуумдағы (47.3) және (47.5) теңдеулер түрлендіруге жатады, олардың біріншісі теңдеумен ауыстырылды

электромагниттік индукция құбылысын ескере отырып. Бірақ (47.7) және функцияларын қамтымайды және элементар зарядтар мен токтардың жергілікті қайта бөлінуін көрсете алмайды. Сондықтан бұл теңдеу вакуумда ғана емес, затта да орындалуы керек.
(47.5) теңдеуді стационарлық емес жағдайға жалпылау үшін біз екі бөлікті де (47.2) уақыт бойынша ажыратамыз және электр зарядының сақталу заңын ескереміз
Сонда бізде болады

немесе

Стационарлық жағдайда бұл қатынас (47.5) өтуі керек, сондықтан қою табиғи, нәтижесінде біз теңдеуге келеміз

Ⅱ. Күй айнымалылары, динамикалық теңдеулер, байланыстар

Сонымен, заттағы электромагниттік өріс күйінің айнымалылары ретінде төрт векторлық функция пайда болады Жақында көретініміздей, олардың барлығы тәуелсіз емес.

Халықаралық бірліктер жүйесінде (ХБЖ) олар былай жазылады [қараңыз. (8.3)]

Максвелл теңдеулерін интегралдық түрде қайта жазуға болады [қараңыз (8.1)-ден (8.5) дейін]. Сәйкес теңдеулер оларға кіретін функциялардың тегістігін білдірмейді және келесідей көрінеді [қараңыз (8.5)]:

(8.1) [немесе (8.3)] және (8.5) - ге қарағанда заттағы Максвелл теңдеулері әмбебап емес екенін тағы бір рет атап өтеміз. Олар заттардың өте тар класы үшін және әлсіз және баяу өзгеретін өрістер үшін жарамды. Қазіргі физикада бұл теңдеулер көптеген өзгерістерге ұшырайды.

Бірақ теңдеудің қолданылу аймағында да (47.10) [және (47.12)] өздері өте маңызды емес, өйткені олар тым көп белгісіздерді қамтиды ( белгісіз теңдеулер). Қатты ортадағы электродинамика теңдеулерінің жабық жүйесін алу үшін сізге қосымша болжамдар жасау керек. Атап айтқанда, және , және арқылы өрістерді білдіретін материалдық теңдеулер бар деп саналады:

Материалдық теңдеулер заттағы Максвелл теңдеулеріне қарағанда одан да әмбебап емес. Олардың түрлері, әдетте, қарастырылып отырған әр нақты ортаның физикалық қасиеттерін зерттеу арқылы анықталуы керек. Максвеллдің стандартты теориясында бұл жиі қабылданады

мұндағы - (салыстырмалы) диэлектрлік тұрақты, - (салыстырмалы) магнит өткізгіштігі ( және - электрлік және магниттік тұрақты). Алайда мұндай материалдық теңдеулер тек қарапайым жағдайларда ғана жарамды екенін есте ұстаған жөн. Қатынастарды қолдану шарттары (47.13) келесі параграфтарда талқыланады.

Максвелл дифференциалдық теңдеулерінің жалғыз шешімін таңдау үшін (47.10) (материалдық теңдеулермен толықтырылған) оларға белгілі бір мәнді қосу керек. Әртүрлі материалдық орталардың интерфейстерінде тұжырымдалған шекаралық шарттар. Бұл шекаралық шарттар Максвеллдің интегралдық түрдегі теңдеулерінен (47.12) шығады, олар бүкіл кеңістікте жарамды. Олар вакуумдегі электростатика теңдеулерін талдау кезінде §19-дағыдай дәл осылай шығарылады. Оқырман өз бетімен орындауға шақырылатын тиісті есептеулерден кейін біз аламыз

Потенциалдар үшін теңдеулер Максвелл теңдеулерінің бірінші жұбынан тұрады (47.10.I), бірақ міндетті түрде материалдық теңдеулермен толықтырылады (47.13). Егер соңғы көрініс болса (47.14), содан кейін (47.17) және (47.10.I) аламыз

Бірақ тіпті потенциалдар үшін осы теңдеулер, сондай-ақ олардан туындайтын шекаралық жағдайлар (47.16), (47.14) және (47.17) өте күрделі.

Бұл шамаларды туынды белгілермен алып тастауға болатын біртекті орталар жағдайында айтарлықтай жеңілдіктерге қол жеткізіледі. §10-да жүргізілген есептеулерге ұқсас есептеулер жасай отырып және потенциалдарға Лоренцтің өзгертілген жағдайын қолдана отырып [(10.7)-мен салыстыр]

онда

Заттағы электромагниттік өріс үшін энергетикалық тепе-теңдік теңдеуін қарастырыңыз (§11 салыстыр). (47.10,г) теңдеуді , теңдеуді (47.10,б) скалярға көбейтіп, нәтижелерін есептейміз:

Бұл қатынас теңдеуге өте ұқсас (11.5), бірақ сонымен бірге одан айтарлықтай ерекшеленеді. Еркін жағдайда бұйра жақшалардағы мүшелер белгілі бір W шамасынан уақыт туындысы ретінде көрінбейді, сондықтан, жалпы айтқанда, заттағы электромагниттік өрістің энергиясы үшін нақты өрнек беру мүмкін емес.

Алайда, қарапайым материалдық теңдеулер (47.14) уақытқа тәуелді емес және бар деп айтайық. Сонда бізде болады

онда

Ол энергияның сақталу заңын білдіреді, ал W-заттағы электромагниттік өрістің энергия тығыздығы, ал – осы өрістің энергия ағынының тығыздығы. Шамасы () бірлік көлеміндегі уақыт бірлігінде зарядталған бөлшектердің үстіндегі өрістің жұмысына тең. Өте жиі (әрдайым емес), бұл жұмыс затта шығарылатын Джоуль жылуына айналады. Физикалық W, және () интерпретациясы нақты физикалық жүйелер мен тапсырмаларды талқылау кезінде келесі презентация барысында егжей-тегжейлі және терең болады.

Алдыңғы параграфта көрсетілген материядағы электромагниттік құбылыстарды сипаттаудың феноменологиялық тәсілін М.Фарадей идеяларына сүйеніп Дж.Максвелл жасаған. Максвеллдің макроскопиялық теориясының жетістіктері белгілі. Алайда оның кейбір шектеулері бірте-бірте айқындала бастады. Бұл теориядағы электромагниттік өрістің күйі төрт векторлық функция , арқылы сипатталады, бірақ шамаларының да физикалық мағынасы ( -ті айтпағанда) толық түсінікті болмады. ⁴⁾. Заряд тығыздығы ρ және ток тығыздығы ұғымдары да белгілі бір нақтылауды қажет етті. Максвелл теориясындағы материяның қасиеттері тәжірибеден анықталған ε және µ (және γ электр өткізгіштігі ) шамаларымен сипатталады, олардың табиғаты да анық емес. Сонымен, теория дамыған сайын Максвелл теңдеулер жүйесінің өзі әмбебап емес екендігі және материалдық теңдеулер (47.14) анық жуықтау екендігі айқын бола бастады.

Сәйкес теория , (сонымен қатар және ) шамаларының мағынасын нақтылап, заттың электромагниттік қасиеттерін микроскопиялық тұрғыдан түбегейлі түсінуге мүмкіндік берді.Үздіксіз ортаның электродинамикасына статистикалық тәсілдің негіздерін ұсынуға және оны кейіннен феноменологиялық тәсілмен салыстыруға көшеміз.

Зат көптеген зарядталған бөлшектерден тұрады – электрондар мен атом ядролары, оларды элементар деп санауға болады.²⁾ Олар тудыратын электромагниттік өрісті микроскопиялық деп атап, электр және магниттік микроөрістерді және кіші әріптерімен белгілейік. Г.Лоренцтің негізгі гипотезасы мынада: бұл шамалар да (8.1) теңдеулер жүйесіне бағынады, бұл тұрғыда олар Максвелл – Лоренц теңдеулері деп аталады:

(48.1)
Мұнда кіретін микроскопиялық заряд тығыздығы және ток тығыздығы (2.12)-і формулалар арқылы анықталады, мұндағы – затты құрайтын "элементар" бөлшектердің электр заряды. Бұл бөлшектердің қозғалыс теңдеулерін (48.1) қосу керек, оны Ньютонның екінші заңының теңдеулері түрінде символдық түрде жазамыз.⁵⁾:

(48.2)
Мұнда F_a^ext – бұл электромагниттік немесе электромагниттік емес сыртқы күш.

мұнда бұрыштық жақшалар тиісті орташа процедураны көрсетеді. Түсінікті болу үшін біз анықтамамен енгізілген кеңістік пен уақыт¹⁾ бойынша орташалау туралы ғана айтамыз

(48.4)
Мұнда ∆V – макроскопиялық шағын ("физикалық шексіз аз") көлем, радиусы-векторы бар қоршаған нүкте ={x y z_{, ,} }, ∆t – t моментін қамтитын макроскопиялық қысқа уақыт аралығы. Бұл терминдер келесідей түсіндіріледі. ∆V көлемі бөлшектердің үлкен санын қосу үшін жеткілікті үлкен (тән микроскопиялық қашықтықтармен салыстырғанда) деп саналады, егер тек орташа есеппен айту керек болса. Сонымен қатар, бұл көлем соншалықты аз, оның екі жартысында есептелген орташа мәндер бірдей. Жоғарыда айтылған ∆t уақыт аралығына да қатысты , ол бір жағынан үлкен болуы керек (тән микроскопиялық уақыттармен салыстырғанда), ал екінші жағынан ол жеткілікті түрде аз болуы керек (жоғарыда түсіндірілген мағынада). Орташа операциясы (48.4) сызықтық болып табылады:

(48.5)
(α₁ және α₂ – ерікті тұрақтылар), бұл интегралдың негізгі қасиеттерінен бірден туындайды. Сонымен қатар, ол координаттар мен уақыт бойынша дифференциалдау операцияларымен алмастырылады:

(48.6)
мұндағы

Бұл қатынастар сәйкес айнымалыларға қатысты анықтаманың (48.4) екі жағын да дифференциалдау арқылы, содан кейін туынды және интегралдық белгілерді қайта реттеу арқылы алынады. (48.6) ішінен, атап айтқанда,

(48.7)
Енді Максвелл–Лоренц теңдеулеріне (48.1) жүгінеміз және оларды көрсетілген тәсілмен орташаландырамыз. (48.5) – (48.7) формулаларын ескере отырып, аламыз

. (48.8)

(48.9)
онда (48.8) біз

(48.10)

Максвелл теңдеулерінің екінші жұбын интерпретациялауда ешқандай проблемалар туындамайтынын және бұл кездейсоқ емес екенін көреміз. Бұл теңдеулерге материяның сипаттамалары кірмейді, өйткені оларда өрістің материалдық көздері жоқ, яғни функциялары . Максвелл теңдеулерінің бірінші жұбындағы жағдай мүлдем басқаша. Ендігі біздің басты міндетіміз (48.10.I) теңдеулерге нақты физикалық мағына беру, ол үшін оларға енгізілген өрнектерін тәжірибе жүзінде өлшенген шамалармен байланысын орната отырып, қандай да бір жолмен ашу қажет. Бірден айта кетейік, бұл мәселе жалпы түрде шешілмейді, өйткені орташа мәндерінің құрылымы қарастырылып отырған материалдық орта мен электромагниттік өрістің қасиеттеріне байланысты.