Гаусс әдісі. Гаусс әдісі белгісіздерді біртіндеп жою негізінде әртүрлі сұлба бойынша іске асырылуы мүмкін. Есептеу сұлбасын қандай да бір нақты мысалда қарастырған ыңғайлы. Сондықтан төртінші ретті теңдеулер жүйесін қарастырайық:
(1)
( – бас элемент деп аталады) деп ұйғарайық. Гаусс әдісімен (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу процесі үшбұрышты теңдеулер жүйесін
(2)
құрумен пара-пар. Бас элементтің нөлден өзге болуы Гаусс әдісінің қолданылуының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады.
Гаусс әдісінің тура жүрісі- коэффициенттерін табу
,
Гаусс әдісінің кері жүрісі – белгісіздердің мәнін есептеу процесі.
Квадрат түбірлер әдісі. сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін, мұндағы А симметриялы матрица, яғни .
Тура жүрісі. А матрицасын өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицаларының көбейтіндісі ретінде жазуға болады
, (1)
мұндағы
,
Т матрицасының элементтерін аныктау үшін және Т матрицаларын көбейтіп А матрицасына теңестіреміз.
(2)
(5) қатынас орындалса, (1) теңдеу келесі екі теңдеумен пара-пар
. (3)
Кері жүрісі. (7) теңдеулерді жүйе арқылы жазамыз
және
Осы жүйелерден біртіндеп у және х мәндерін табамыз:
2
№7-8 дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
Жай итерациялық әдіс.
Зейдель әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Жай итерация әдісі. Сызықтық теңдеулер жүйесінде белгісіздер саны көп болған жағдайда жүйенің түбірлерін табу үшін жуықталған сандық әдістерді қолданған ыңғайлы.
(1)
сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін және деп үйғарайық Берілген (1) жүйені нормаль (келтірілген) жүйеге келтірейік
(2)
мұндағы
егер ;
, егер .
Бастапқы жуықтау ретінде бос мүшелерді аламыз
.
Жалпы алғанда (2) жүйеден -ші жуықтау келесі формулалар арқылы табылады
(3)
Егер келесі шарттардың ең болмағанда біреуі орындалса
(4)
немесе
. (5)
онда (3) итерация процесі бастапқы жуықтауды таңдауға тәуелсіз осы жүйенің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни
.
Итерация процесін
(6)
болғанда тоқтатамыз, мұнда қандайда бір аз шама.
Зейдель әдісі. (2)-ші келтірілген сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін. Түбірдің бастапқы жуықтауын еркін түрде таңдаймыз. Зейдель әдісі бойынша түбірдің +1 жуықтауын келесі формула бойынша есептейміз
Итерация әдісінде қарастырылған шарттар Зейдель әдісі үшін де тура. Зейдель әдісі итерация әдісіне қарағанда жақсы жинақталады.
2
№9 дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. А.Н.Крылов әдісі. 2. А.П.Данилевский әдісі. Дәрістің қысқаша мазмұны:
А.Н.Крылов әдісі. Кез келген бастапқы вектор берiлсiн, ал мына формуламен анықталады:
Сонда (1) сипаттамалық теңдеуiнiң коэффициентi мына жүйенi бередi
-лердiң мәндерiн анықтағаннан кейiн меншiктiк векторы мына формуламен есептеледi
