Байланысты: Есептеу математикасының негіздері. Дәрістер
Ньютонның екінші интерполяциялау формуласы. Аргументтің мәні интерполяциалау кесіндісінің соңына жақын орналасқан кезде бірінші интерполяциалау формуласын қолдану тиімсіз. Бұл жағдайда артқа интерполяциалау, яғни, Ньютонның келесі түрде ізделінетін екінші интерполяциалау формуласы қолданылады:
(10)
Ньютонның бірінші формуласындағыдай коэффицентері түйінде функция мәндері және интерполяциалау көпмүшесінің сәйкес келу шартынан табылады.
(11)
(11)-шы өрнекті (10)-ші өрнекке қойып және айнымалысына өтіп, Ньютонның екінші формулаларының соңғы түрін аламыз:
(12)
2
№12-13 дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу әдістері.
2.Трапеция формуласы.
3.Симпсон формуласы.
4. Ньютон формуласы. Дәрістің қысқаша мазмұны:
Келесідей анықталған интегралды есептегенде
,
мұндағы функциясы кесіндісінде үздіксіз, кейде белгілі Ньютон – Лейбниц формуласын қолдануға болады:
(1)
мұндағы функциясының алғашқыбейнелерінің бірі болады (яғни, ). Бірақ, сирек жағдайда, тәжірибе жүзінде алғашқыбейнені аналитикалық түрде алғанның өзінде, анықталған интегралдың сандық мәнін нақты соңына дейін есептей алмаймыз. Оған қоса, кейде интеграл астындағы функция таблица немесе график түрінде берілсе, онда интегралды не үшін (6.18) формуласымен есептеу кең ауқымды практикалық қолданыс алмайтыны түсінікті болар еді.
Мұндай жағдайда жуықтап (сандық) интегралдаудың әртүрлі тәсілдері қолданылады.
Бір еселі интегралдарды жуықтап есептеуге қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталынады. Квадратуралық формулаларды құрудың қарапайым әдісі мынадай болады. Интеграл астындағы функциясы кесіндісінде интерполяциялау көпмүшелігімен алмастырылады. Мысалы, -Лагранж көпмүшелігімен алмастырсақ, мынадай жуықтау теңдігі құрылады:
, (2)
Мұндай әдіс ЭЕМ-де жеңіл орындалатын алгоритмдерге әкеліп, нәтижені нақты алу мүмкіндігін береді. Бұл жағдайда, кесіндісі бөлікке нүктелерімен бөлінеді, соның нәтижесінде көпмүшелігі құрылады.
Алынған нәтижені көпмүшелігінің орнына қоя отырып, біз
,
мәнін аламыз.
Сонымен
, (3)
мұндағы
, (4)
Осы табылған формулалар нәтижесін біле отырып, мынаны байқауға болады:
1) коэффициенттері функциясына тәуелді еместігі, себебі олар интерполяциялау түйіндерін ескеріп құрылған.
2) Егер , -ші дәрежелі полином болса, онда (2) формуласы нақты болады, себебі, бұл жағдайда .
Мұндағы xк-интерполяцияның берiлген түйіндер, Ак-функцияның түрiне тәуелді емес тек түйіндер таңдауына тәуелдi коэффициенттер, R-қалдық мүше немесе квадратуралық формуланың қателiгi.
интегралдау кесiндiсiн тең n бөлiкке бөлемiз:
интеграл астындағы функцияны алынған тораптарда есептеймiз.
Бiрдей қашықтықта жатқан тораптар үшiн квадратуралық формулалар Ньютон-Котес формулалары деп аталады. Бұндай формулалардың қарапайым түрлерi төменде келтiрiлген:
Трапеция формуласы. (5)
мұндағы .
Қалдық мүшесi келесi түрде есептелiнедi:
Симпсон формуласы. ,
(6)
Қалдық мүшесi келесi түрде есептелiнедi:
Ньютон формуласы. (7)
мұндағы
.
2
№14
дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Пикар әдісі.
2.Біртіндеп жуықтау әдісі.
3.Эйлер әдісі.
4.Рунге-кутт әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Пикар әдісі. Бұл y/=f(x,y) (1) диффенерциалды теңдеуді аналитикалық функция түрінде жақындатылған шешімін алуға мүмкіндік береді. Пикар әдісі (1) теңдеудің жалғыз шешімінің және табылу теоремасын дәлделдеуге байланысты пайда болады және мәні бойынша сығылған көріністің принципін қолданудың бірі болып табылады. Бастапқы (2) шарты бар (1) теңдеуінің шешімін табу теоремасының шартына сәйкес табу талап етілсін (1) теңдеуінің екі жағын x0-ден x-ке дейін интегралдаймыз:
y(x0)=y0 (5)
немесе
(5)
(5) интегралды теңдеу шешімі дифференциалды теңдеуді және бастапқы шартты қанағаттандырады.
Шынында да, x=x0 кезінде аламыз:
Сонымен (5) интегралдың теңдеудің шешімі тізбекті жақындау әдісін қолдануға мүмкіндік береді. y=y0 теңестіріп (5) теңдеуінен бірінші жақындауды аламыз:
Оң жақтағы интеграл тек x айнымалысынан тұрады, бұл интегралды тапқаннан кейін y1(x) жақындаудың аналитикалық өрнегі x айнымалы функциясы сияқты алынады. Енді (5) теңдеуінде у-те табылған у1(х) мәнімен алмастырамыз және екінші жақындауды аламыз;
Және тағы сол сияқты.
Жалпы жағдайда интеграциялық формула мынадай түрде блады:
(6)
(6) формуланың циклдық қолдануы төмендегі функция тізбегін береді:
Y1(x), y2(x), …, yn(x) (7)
G-облысында f функциясы үзіліссіз болғандықтан, онда ол функция (х0, у0) нүктесінен тұратын кейбір облысында шектеулі болады, яғни
(8)
Табылу теоремасы жағдайында (6) теңдеуіне қысылған көріністер принципін қолдана отырып (7) тізбегінің сәйкес келетін ( сегментінде анықталған φ кеңістіктегі φ үзіліссіз функциялар ρ(φ1, φ2)=max │φ1(x)-φ2(x)│ метрикасы бойынша сәйкестік түріне айналады) көрсету қиын емес. Оның шегі интегралдық теңдеу шешімі яғни (2) бастапқы шарты бар диффенерциалдық теңдеу шешімі болып табылады. Бұл (7) тезбегінің R-ші мүшесі анықталған нақталық дәрежесі бар (1) теңдеуінің нақты шешіміне жақындау болып табылады. R–ші жақындау қателігін бағалау төмендегі формуламен беріледі:
(9)
Мұнда М – Липшиц константасы (4) N- (8) теңсіздігіндегі f функциясының моділінің жоғарғы шегі, ал аралығын анықтау үшін d шамасы төмендегі формула бойынша есептеледі.
. (10)
Біртіндеп жуықтау әдісі Коши есебін қарастырайық. Біртіндеп жуықтау әдісі бойынша шешімі функциясынын тізбектерінін шегі ретінде қарастырылады. Жоғарыда айтылған шарттар қанағаттандырылсын деп ұйғарсақ, келесі рекуренттік формула бойынша табылады
(11)
Эйлер әдісі
