тақырып Теорияны аксиоматикалық түрде құру

1. Аксиоматикалық теория түсінігін енгізу.

2. Аксиома түсінігн және қорыту ережелерін енгізу.

3. Пеано аксиоматикасын қарастыру.

4.Толық математикалық индукция әдісімен дәлелдеуде дағды мен біліктілікті қалыптастыру.

Жоспар:

1. Аксиоматизация процесі.

2. Аксиомалар және қорыту ережелері.

3. Пеано арифметикасын аксиоматикалық түрде құру.

4. Толық математикалық индукция әдісі.
Қандай да бір мазмұнды теорияны формалды түрде көрсету оның жалпы қасиеттерін, пайдалы аналогтарын және жалпы сұрақтарға жауап беруге мүмкіндік береді. Дұрыс ойлау процесін формалды түрде көрсету аксиоматика түрінде жүзеге асады.

Формалды аксиоматикалық Т теория(синонимдер: формалды жүйе, есептеу) келесі түрде беріледі:

(1) Теорияның символдары деп аталатын, қандай да бір А символдар алфавиті. А алфавиттегі сөздер Т теорияда орнектер деп аталады.

(2) Т теорияның формулалары деп аталатын, өрнектердің қандай да бір ішкі жиынын айыру.

(3) Т теорияның аксиомалар деп аталатын, қандай да бір формулалар жиынын айыру.

Мазмұнды деңгейде – аксиомалар анықтама бойынша ақиқат формулалар.

(4) Әрқайсысы формулалар арасындағы қатынас болып есептелетін, R₁,..., R_m қорытындылау ережелерінің ақырлы жиыны табылады.

Егер А₁,…,А_k, В – формулалар және R_i(А₁,…,А_k,В) қатынасы орындалса, онда В R_i ережесі бойынша алынған А₁,…,А_k формулаларының тікелей салдары деп аталады.

Қандай да бір қорыту ережесін бір рет қолдану дұрыс ойлаудың, қарапайым қадамын көрсетеді.

Т теориясындағы қорытынды деп В₁,В₂,…,В_n формулаларының кез-келген тізбегі (шынжыр немесе кортеж аталады) В_i формуласы i=1,2,…,n, Т теориясындағы немесе аксиома, немесе осы тізбектің алдындағы қандай да бір формулалардың тікелей салдары болып табылады.

Қорытынды деп дәлелдеу барысында қарапайым қадамдарды тізбектеп қолдануды айтады.

Т теориясының С формуласы теорема деп аталады, егер соңғы формуласы С болып табылатын қорытынды бар болатын болса. Бұл қорыту С формуласының қорытындысы деп аталады (ол Т теориясында жалғыз емес). С формуласын қорытудағы аксиомалардан басқа барлық формулалар да осы теорияның теоремалары болады. Сонымен аксиоматикалық теориядағы теоремелар – қабылданған ережелер бойынша аксиомалардан қорытылып шығарылатын формулалар.

Жалпы мағынада, қорытындыны тек қана аксиомалардан ғана емес деп қарастыруға болады. Г ={B₁,…,B_n} формулалар жиыны үшін А₁,..., А_m формулалар тізбегі бар болсын, кез -келген i=1,…,m үшін А_i формуласы – немесе теорияның аксиомасы, немесе Г жиынындағы формула (яғни B_i-ң бірі), неммесе алдыңғы формулалардың тікелей салдары. Онда А_m Г формулалар жүйесінің салдары деп аталады: Г├ А_m деп белгіленеді, немесе B₁,…,B_n ├ А_m деп белгіленеді. А₁,..., А_m тізбегі Г жүйесіндегі А_m формуласының қорытылуы деп аталады. Г жүйесіндегі формулалар алғышарттар немесе гипотезалар деп талады, ал А_m формуласы – Г гипотезалар жүйесінен қорытылған деп аталады.

Г = Ø болған кезде, дербес жағдай деп есептеледі, яғни А тек қана аксиоманың салдары, теорема: белгіленуі├ А. Теореманың қорытылуы оның дәләлдеуі деп аталады.

Қандай да бір формулалар жүйесінің және дербес жағдайда Т теориясының барлық салдарлар жиыны осы процесс тудыратын қорытынды болады.

B_n қорытынды формула мен гипотезалар жиыны арасындағы “гипотезалар жүйесінен қорытып шығару” қатынасын “тікелей салдар болу” қатынасының транзитивті тұйықталуы ретінде қарастыруға болады.

Гипотезалар жүйесінен қорытылудың кейбір қасиеттерін қарастырайық: Г – кез - келген формулалар жиыны, А,В,С – қандай да бір формулалар болсын.

1. 
   Бұл егер алғышартта Г-дан басқа, қандай да бір Аформуласы бар болса, онда А <Г,А> қосының салдары екенін көрсетеді. Бұл жағдайда Г жүйесін қолданбауға болады – қорытынды жалғыз А формуласынан тұрады.
   
2. 
   Егер Г├ А болса, онда В├ А. Мағынасы, Г алғышартына кез – келген В формуласын қосқаннан А-ң қорытылуы өзгермейді – А формуласының қорытылуын өзгертпеуге болады.
   
3. 
   Егер (Г├ А)&( Г├ В)&( А,В├ С), онда Г├ С. Егер Г жүйесінен А және В қорытылса, ал олардан С қорытылса, онда С Г жүйесінің салдары болады. Действительно, пусть А₁,..., А_m, А- вывод формулы А из Г, B₁,…,B_n, В вывод из Г, С₁,…,С_k, С- вывод С из (А,В). тогда А₁,..., А_m, А, B₁,…,B_n, В, С₁,…,С_k, С есть вывод С из Г.
   
4. 
   Егер (Г,А├ В)&( Г├ А), онда ( Г├ В). Бұл қорытылатын гипотезадан жою ережесі. Формалды жүйе көбіне абстрактілі объектілерге символдарға, сөздерге және оларды тізбектеріне сүйенеді.