Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

1⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E);
2⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

3⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;
4⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

5⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

6⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

7⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

8⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

Үй жұмыстары

Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын у функциясын тап, мұндағы С,С₁,С₂ ,С₃ - кез келген тұрақты сандар.

9⁰. .

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;
10⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

11⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;
12⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

13⁰.

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;
14⁰. y^//+y=0

A)

B)

C)

D)

E) ;

2 БІРІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп _ түріндегі теңдеуді айтады.

Егер бұл теңдік у^/ арқылы шешілсе, яғни түрінде жазылса, онда соңғы теңдеу туындысы арқылы шешілген дифференциалдық теңдеу делінеді. 

 -   бұл бірінші ретті теңдеудің дифференциалды түрі деп аталады.

Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп кез-келген бір тұрақты С–дан тәуелді және келесі шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтады:

а) ол С тұрақтының кез келген мәнінде дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады;

ә) бастапқы шарт х=х₀ болғанда у=у₀ қандай болмаса да функциясы берілген бастапқы шартты қанағаттандыратындай С=С₀ мәнін табуға болады ;

Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміндегі с тұрақтысына мәнін берсеk, онда - теңдеудің дара шешімі деп аталады.



Дифференциалдық теңдеудің шешімі болатын функция арқылы берілген S қисығы теңдеуінің интегралдық қисығы делінеді.

2.1 Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер
Анықтама. - айнымалысы ажыратылған теңдеу, - оның жалпы интегралы деп аталады.

Мысалы:

- берілген теңдеудің жалпы интегралы.

Анықтама. - түріндегі теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеуді шешу үшін оның екі жағын да көбейтіндісіне бөлеміз. Сөйтіп, айнымалысы ажыратылған теңдеу алуға болады.

Мысал 1: теңдеудің интегралын тап:

Шешуі:

- жалпы интеграл.

Мысал 2: дифференциалдық теңдеудің жалпы және дара шешімдерін табайық.

берілген теңдеудің жалпы шешімі. болғандағы теңдеудің дара шешімін табатын болсақ: . Олай болса, берілген теңдеудің дара шешімі.

Аудиториялық жұмыстар

Теңдеу түрін анықтап, жалпы интегралын немесе жалпы шешімін жəне бастапқы шарт берілгендері үшін оны қанағаттандыратын дара шешімін тап.

1⁰. хуу^/=1-x² жауабы: x²+y²=lnCx²

2⁰. жауабы: =arcsinx+C

3⁰. y^/ tqx-y=a жауабы: y=Csinx-a

4⁰. жауабы:

5⁰. xy^/+y=y² жауабы: Cx=(y-1)/y

6⁰. e ^{– s} (1+ds/dt )=1 жауабы: e ^t =C(1-e ^{- s})

7⁰. y^/ =10 ^{x + y} жауабы: 10 ^x +10^-у=C

8⁰. y ^/+sin(x + y)/ 2= sin(x − y)/2 жауабы: ln tq y/4=C −2sin(x/2)

9⁰. жауабы: у=(1+х)/(1-х)

10⁰. жауабы:

Үй жұмыстары

Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеулерге есептер. Теңдеу түрін анықтап, жалпы интегралын немесе жалпы шешімін жəне бастапқы шарт берілгендері үшін оны қанағаттандыратын дара шешімін тап.

11⁰. (х+1)³dx- (у-2)² dx=0;

12⁰. y-xy'=b(1+x²y^'/); y_х=1= 1

13⁰. sec²xsecydx= -ctgxsinydy

14⁰. y ′ = 2 ln x , у(е)=1

15⁰. (+ ) y′ − y = 0

16⁰. xy′ + y = y ², у(1)=1/2

17⁰. 2^x+y +3^x−2y y′ =0

18⁰. (1+e ^x)y⋅ y′ =e^y, у(0)= 0

19⁰. 20xdx-3ydy=3x²ydy-5xy²dx

20⁰. y′сtgх + y = 0, у(0)= -1

21⁰. у'=(1+у²)/( 1+х²)

22⁰. (x² −1)y′ +2xy² = 0, у(0)=1

23⁰. x²y′+ y =0

24⁰. (a² +y²)dx+2x dy=0, у(а)=0

25⁰. -ху'=а(1+х²у')

26⁰. (x +2y)y ′ =1, у(0)= -1

26⁰. x + xy + yy′ (1+ x ) = 0

27⁰. (1+e^2x)y²dy−e^xdx=0, у(0)=1

28⁰. sinxsinydx+cosxcosydy=0

29⁰. (1+ x²)y′ + y = xy, у(0)=1

2.2 Біртекті дифференциалдық теңдеулер

Анықтама.  f(x, y) функциясы өзінің х және у аргументтеріне қатысты n-өлшемді біртекті делінеді, егер кез келген t параметрдің (нөлден өзге) мәні үшін келесі тепе-теңдік орындалатын болса:

 

  Мысал. Функция біртекті бола ма 



Сонымен f(x, y) функциясы 3-ші ретті біртекті болады.

  Анықтама. Егер  түріндегі дифференциалдық теңдеудің оң жағы f(x, y) функциясы өзінің х және у аргументтеріне қатысты нөлдік өлшемді біртекті функция болса, онда теңдеу біртекті делінеді.

  Егер P(x, y) және Q(x, y) функциялары – бірдей өлшемді біртекті функциялар болса, онда   теңдеуі біртекті болады.

Анықтама. түріндегі теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Мұндай теңдеуді шешу үшін алмастыруын жасап айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеулерге келтіреміз.




Интегралды таба отырып, u функциясының орнына х және у арқылы өрнектелген мәнін алмастырып, біртекті теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

Мысал 1: - біртекті дифференциалдық теңдеуді шеш.

Мысал 2:


Мысал 3:


2.3 Біртектіге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер

  Мұндай теңдеулерге  түріндегі теңдеулер жатады.

1) Егер анықтауыш  онда



алмастыруын енгіземіз, мұндағы  және  сандары-  жүйесінің шешімдері.

Мысал. теңдеуін шеш.

Шешуі. 

 

Анықтауышты есептейік: .

Нөлге тең емес болғандықтан келесі жүйені шешеміз:


 

Ендеше алмастыруымыз   түрінде болады, оны алғашқы теңдеуге қоямыз: 







Айнымалыларды алмастырайық:  

Жоғарғы теңдеуге қойсақ:



Айнымалыларды ажыратайық: 









Енді алғашқы функция у және айнымалы х-ке ораламыз:













Сонымен,  өрнегі берілген теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.

2) Егер алғашқы   теңдеуде анықтауыш  онда  алмастыруын жасаймыз.

Мысал:  теңдеуін шешу керек.

 Шешуі: 

Анықтауышты есептейік: 

Ендеше  алмастыруын жасаймыз.



Бұл өрнекті алғашқы теңдеуге қоямыз:



 Айнамалыларды ажыратайық: 





Енді алғашқы функция у және айнымалы х-ке ораламыз:







Сөйтіп, берілген теңдеудің жалпы интегралын таптық.
Аудиториялық жұмыстар

Теңдеудің түрін анықтап, жалпы шешімін (интегралын) жəне дара шешімін тап:

1) жауабы:

2) (y² − 3x² )dy + 2xydx = 0 ; у_х=0=1 жауабы: y ² − x ² = y ³

3) y ² + x ² y ' = xy y ' жауабы: y = C₁ ⋅ e ^у/х

4) xdy-ydx=ydy , y(-1)=1 жауабы: x = − y(1 + lny)

5) y ' = y/х + жауабы: x= C₁

6) 2 x ² y ' = x ² + y ² ; у_х=1=0 жауабы:

7) жауабы: х²+у²=Су

8) xy ' − у = , у_х=0=1 жауабы: х²=0 жəне х²=4-4у

9) хy ' = уln жауабы:у=хе^1+Сх

10) (3у²+3ху+х²)dx=(x²+2xy)dy; у_х=1=0 жауабы: (x+y)²=x³e^1-x/(x+y)

Үй жұмыстары

Теңдеудің түрін анықтап, жалпы шешімін (интегралын) дара шешімін тап:

11) (x² + y² )dx − 2xydy = 0

12) у' =, у_х=1=0

13) y − xy ' = y ln x

14) 3у ' = у_х=1=0

15) xydx − (x ² + y ²)dy = 0

16) (x + 7 y)dx − xdy = 0, у_х=1=0

17) y ² + x ² y ' = xyy '

18) 8 xdy = (x + y)dx , у_х=1=0

19) 2 x ³ y ' = y (2 x ² − y ² )

20) xy'= 3 , у_х=1=1

21) xy '− y = xtg( y/х)

2.4 Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
  Анықтама.  түріндегі дифференциалдық теңдеу у жəне оның у' туындысына қатысты сызықтық деп аталады, ал егер оң жағы Q(x) нөлге тең болса, онда сызықтық біртекті, нөлге тең болмаса, онда сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу делінеді, мұндағы - х-тан тəуелді берілген үзіліссіз функциялар.

І. Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді шешуді қарастырайық :

.









- сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

ІІ. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді  шешудің тұрақтыны вариациялау (Лагранж) әдісін қарастырайық. Ол үшін біртекті теңдеудің жалпы шешімін табамыз:


.
Енді жалпы шешімдегі тұрақты С-ны х-тің функциясы деп қарастырамыз. Сонда:


Алынған өрнекті берілген теңдеуге қоямыз:




С₁(х)-ді табамыз:





Берілген теңдеуге қоя отырып: 

.

сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

Мысал 1: - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шеш.

Шешуі:

Мұндағы, - деп ұйғарамыз.

болғандықтан

- жалпы шешім.
Мысал 2: сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шеш.

біртекті дифференциалдық теңдеуді шешейік.

Мысал 3: - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін тап.

Шешуі:

мұндағы делік.

, - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

Кейде біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу үшін алмастыруын (Бернулли әдісін) қолданамыз, яғни шешімді белгісіз екі функцияның көбейтіндісі түрінде іздейміз. Мұнда, туындыны өрнегімен алмастырамыз.

Мысал: А(а;а) нүктесі арқылы өтетін у=у(х) қисығы үшін келесі қасиет орындалсын: егер қисықтың кез келген М(х;у) нүктесінде Оу осін С нүктесінде қиятындай жанама жүргізсе, онда ОСМВ трапециясының ауданы тұрақты және а²-қа тең. Аталған қисықтың теңдеуін жаз.

Шешуі: S_трап= екені белгілі, мұндағы MB=y; OB=x;

OC=BM-DM=BM-CDtgDCM=y-xy^/ болғандықтан, трапеция ауданының формуласынан:

а²=х(у+у-ху^/) немесе

- сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу аламыз.

Оның шешімін Бернулли әдісімен табайық, яғни алмастыруын жасайық. Теңдеуге апарып қойсақ:

1)

2)

3) - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, у(а)=а болғандықтан:

- ізделінді қисықтың теңдеуі.