Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешуін екі əдіспен де көрсет.

2) (2x + ye^xy )dx + (1+ xe^xy )dy = 0 Жауабы: x² + y + e^xy = C

3) sin (x+y) dx+xcos(x+y)(dx+dy) =0 Жауабы: x sin (x + y)= C

4) dx +(y ³ + ln x)dy = 0 Жауабы: 4 y ln x + y ⁴ = C

5) 2x(1+)dx − dy = 0 Жауабы: x² +2/3 (x² − y)^3/2= C
Төмендегі теңдеулердің әуелі интегралдық көбейткішін тауып, кейіннен жалпы шешімін тап.

6) (x ² − 3 y ² )dx + 2 xydy = 0 Жауабы:

7) (sin x + e ^y )dx + cosx dy = 0 Жауабы: =e^−y; e^−y cosx=C+x

8) (xsiny+ y)dx+(x²cosy+xlnx)dy=0 Жауабы:

9) (x ² − y )dx + xdy = 0 Жауабы:

10) 2xtgydx+ (x² − sin y)dy = 0 Жауабы:

Берілген теңдеулер түрлерін анықтап, оның шешілуін екі əдіспен де көрсет.

11) 3х²(1+lny)dx=(2y-x³/y)dy Жауабы: x ³ + x ³ ln y − y ² = C

12) (2 x ² y ² + 7 )dx + 2 x ³ ydy = 0 Жауабы: x ³ y ² + 7 x = C

13) (e^y + ye^x +3)dx= (2−xe^y −e^x )dy Жауабы: xe^y + ye^x +3x−2y =C

14) Жауабы: x ³ y + x ² − y ² = Cxy

15) Жауабы: x + arctg = C

16) (2 x ³ − ху ² )dx + ( 2 у ³ − х ² у ) dy = 0 Жауабы: х⁴-х²у²+у⁴=С

17) е^уdx+(xe^y-2y)dy=0 Жауабы: хe^y-у²=С

18) yx^y-1dx+x^y lnxdy=0 Жауабы: х^y =С

19) dx +(y ³ − ln x)dy = 0 Жауабы:

20) y(1 + xy )dx − xdy = 0 Жауабы: x ² +

21) (e ^{2 x} − y ² )dx + ydy = 0 Жауабы: =e^−2х; у²=(С-2х)е^2х

22) (1+3x² sin y)dx− xctgydy= 0 Жауабы:

23) y ² dx + (yx − 1)dy = 0 Жауабы:

24) (x²+y)dx-xdy=0 Жауабы:

25) (x²+y²+2x)dx+2ydy=0 Жауабы: (x²+y²)e^x=C

26) (xcosy-ysiny)dy+(xsiny+ycosy)dx=0 Жауабы: (xsiny+ycosy-siny)e^x=C
2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті

дифференциалдық теңдеулер
2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер: y = f(y^/) және x = f(y^/) түріндегі теңдеулер.

 Біріншісінде - аргумент х, екіншісінде - функция у қатыспаған жағдайда бұл теңдеулер шешімдерін параметрлік түрде іздейміз, параметр ретінде белгісіз функция туындысы алынады:



Бірінші теңдеулер үшін: 

Бұл түрлендірулер нәтижесінде айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер аламыз:



  Жалпы шешімі параметрлік түрде теңдеулер жүйесі арқылы беріледі:

Бұл жүйеден р параметрді жоя отырып, параметрден тәуелсіз жалпы интегралды аламыз.  

  x = f(y’) түріндегі дифференциалдық теңдеулер үшін дәл сондай алмастыру мен түрлендірулер қолданып, келесі нәтижені аламыз: 



2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.

  Анықтама. Лагранж теңдеуі деп х пен у қатысты сызықты, коэффициенттері y’- тің функциялары болатын дифференциалдық теңдеулерді атайды: 

 Жалпы шешімін табу үшін келесі алмастыру қолданылады: p = y’.



Бұл теңдеуді  екенін ескере отырып дифференциалдайық:

Егер бұл (х -ке қатысты сызықты) теңдеудің шешімі  болса, онда Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі келесі түрде болады:



Анықтама. Клеро теңдеуі деп:  түріндегі (аргумент х пен у функциясына қатысты сызықты) дифференциалдық теңдеуді айтады

Жалпы алғанда, Клеро теңдеуі Лагранж теңдеуінің дербес жағдайы болады:  алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу былайша түрленеді:



 

Бұл теңдеудің екі шешімі болуы мүмкін:

  немесе 

Бірінші жағдайда:  _ 

Бұдан, Клеро теңдеуінің жалпы интегралы түзу сызықтар жиынтығы екендігі көрініп тұр.

Екінші жағдайда шешімі параметрлік түрде келесі теңдеулер жүйесі арқылы беріледі: 



р параметрін жоя отырып, екінші шешімді аламыз: F(x, y) = 0. Бұл шешімде кез келген С тұрақты болмайды және ол жалпы шешімнен алынған жоқ, ендеше ол дара шешім емес. Бұл шешім ерекше интеграл болады.

Мысал. теңдеуін шеш.

Шешуі: p = y’делік, сонда болады; Дифференциалдап және dy-ті рdx-пен алмастырсақ, онда: немесе

Бұл сызықтық теңдеуді шешейік, сонда:

Ендеше, жалпы интеграл келесі жүйе түрінде болады:

Ерекше интегралды табу үшін келесі жүйені құрастырамыз:

Бұдан, .

Сондықтан .

у-ті берілген теңдеуге қоя отырып, табылған функцияның оның шешімі болмайтындығына көз жеткізуге болады, сол себепті берілген теңдеудің ерекше интегралы жоқ.