Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз
Толық дифференциалды теңдеулер
жүктеу/скачать 1,05 Mb.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
| 2.6 Толық дифференциалды теңдеулер
Aнықтама. Егер теңдеуі шартын қанағаттандырса, яғни теңдеудің сол жағы қайсыбір функциясының дифференциалы болса, онда ол толық дифференциалды теңдеу деп аталады. Мысалы: Дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын тап: Шешуі:
яғни толық дифференциалды теңдеу Толық дифференциал екені белгілі. Сондықтан Олай болса немесе - жалпы интеграл. Егер теңдеудің сол жағы қайсыбір функциясының толық дифференциалы емес болса, яғни онда теңдеудің барлық мүшесін оған көбейткенде толық дифференциалды теңдеуге айналатындай, функциясынын табуға болады. Сондағы алынған теңдеудің шешімі бастапқы берілген теңдеудің шешімімен бірдей болады. Бұл функциясы интегралдық көбейткіш деп аталады. 1) функциясы тек х-тен тəуелді болса, оны М(х) деп белгілесек, онда интегралдаушы көбейткіш функциясы болады. 2) функциясы тек у-тен тəуелді болса, оны М(у) деп белгілесек, онда интегралдаушы көбейткіш функциясы түрінде алынады. Мысалы: ydx − xdy + ln хdx = 0 теңдеуінің жалпы интегралын тап. Шешуі: (у + lnx)dx − xdy = 0 , мұндағы Р(х, y)= у + lnx , Q(х, y)= − х , яғни тек х-тен тəуелді, демек интегралдаушы көбейткішті өрнегімен табамыз: (у + lnx)dx − xdy = 0 Сонымен (у + lnx)dx − dy = 0 теңдеуін алдық, мұндағы Р(х, y)= (у + lnx) , Q(х, y)= − . Енді дербес туындыларын тексерейік: ал , яғни
у+lnx+1=Сx - ізделінді жалпы шешім. жүктеу/скачать 1,05 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|