Дипломдық ЖҰмыс 5В060100 «Математика»
жүктеу/скачать 1,15 Mb.
|
Жорабек Меруерт м-41
| 2-сурет функциясының графигі
Түпнұсқа болатын функциясын Хевисайдтың бірлік функциясы арқылы өрнектеуге болады. Ал болғандықтан сәйкестігін аламыз. Сонда операторлық теңдеудің түрі мынадай болады: Осыдан бейнесін аламыз. Енді -ні табу үшін бөлшекті жіктейміз Сондықтан оған сәйкес түпнұсқа түрінде болады. Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып сәйкестігін жазуға болады. Сонымен, шешімінің түрі мынадай:
немесе
болса.
Табылған шешімді нүктесінде зерттейік. Ол үшін функциясын дефференциалдайық болса болса Осы , , өрнектерінен мынаны аламыз. Сондықтан яғни функциясы нүктесінде үздіксіз. Осы сияқты яғни
Осыдан функциясы мәнінде үздіксіз екендігі шығады. Әрі қарай функциясын мәнінде зерттейміз. Сондықтан яғни функциясының нүктесінде бірінші текті үзіліс нүктесі бар. Сонымен оң жағының бірінші текті үзіліс нүктесі бар дифференциалдық теңдеудің дербес шешуімен оның бірінші туындысы үзіліссіз, ал екінші туындысының бірінші текті үзіліс нүктесі бар. 2.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеуді Дюамель интегралын пайдаланып шешу Берілген дифференциалдық теңдеуінің алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек болсын. Мұндағы -тұрақты сандар, –түпнұсқа. Теңдеудің шешуін табу үшін дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. Бұл теңдеудің алғашқы шарттарын қанағаттандыратыншешуі белгілі болсын дейік және сәйкестігі орындалсын. Сонда дифференциалдық теңдеудің операторлық түрдегі теңдеуі мынадай болады: Осыдан теңдігі алынады. Берілген теңдеудің шешуін деп, ал оның бейнесін арқылы белгімен деп алайық. Ал операциялық теңдеуі келесі түрде жазылады: Осыдан
теңдігі анықталады. Енді жоғарыдағы екі өрнекті салыстырып, мынадай теңдік аламыз: Алғашқы шарт болғандықтан Дюамель формуласы бойынша дербес шешімін былай жазуға болады немесе
Функциялардың орамының қасиетін пайдаланып былай да жазуға болады: Осы анықталған функциясы алғашқы шарттары нөлге тең болатын берілген дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін береді.[13] Мысал. [14] Дюамель формуласының көмегімен теңдеуінің алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Шешуі: көмекші дифференциалдық теңдеу құрайық - алғашқы шарттар. Бұл теңдеудің шешуі ал оның бейнесі болсын. Көмекші дифференциалдық теңдеу үшін операциялық теңдеуді түрінде жазамыз. Осыдан теңдеуі шығады.Оған сәйкес түпнұсқаның түрі Осыдан болады. Сонда формула бойынша берілген дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін мына түрде жазамыз: 2.3 Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін операциялық әдіспен шешу Коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі берілсін Осы жүйенің алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек, мұндағы ( ) теңдеулер жүйесінің тұрақты коэффициенттері – берілген алғашқы мәндер, – түпнұсқа болатын берілген нақты айнымалы -ның функциялары; шешулері және олардың бірінші туындылары да үздіксіз функциялар деп ұйғарайық. Мынадай сәйкестіктер белгілейік: k=1, 2, …,n. Жүйенің әрбір теңдеуінің екі жағын да –ға көбейтіп 0 мен арасында бойыншa интегралдаймыз: түпнұсқаны дифференциалдау ережесін пайдаланып мынадай жүйе аламыз. немесе
Осы жүйе операциялық теңдеулер жүйесі деп аталады. Оның анықтауышын мына түрде жазамыз. Мұндағы km(р) анықтауышы – -ші көлденең жол мен -ші тік жол қиылысында орналасқан элементтің алгебралық толықтауышы. Жүйенің анықтауышы деп ұйғарайық. Сонда Крамер формулалары бойынша жүйенің шешуін былай жазамыз: Әрі қарай берілген жүйенің шешуін табу үшін алынған бейнелер бойынша түпнұсқаны табу керек. [15] Мысал.
x(0)=0, y(0)=3, z(0)=-2, теңдеулер жүйесін шешу керек. Белгілеулер енгізейік: Жүйенің әрбір теңдеуін Лаплас бойынша түрлендіріп мынадай операциялық теңдеулер жүйесін аламыз: Осы жүйеден шешуін табамыз Алынған бөлшек бейнені жай бөлшектерге жіктейміз Осы бейнеге сәйкес түпнұсқа жүйенің шешуі болады. Жүйенің басқа шешулерін де осылай табамыз. Ол шешулер мынадай: және Енді төмендегідей дифференциалдық теңдеулер жүйесін операциялық әдіспен шығарайық.[16] №1 Шешіуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: Түпнұсқаға көшеміз. Жауабы: , №2
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешіп, немесе
түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз Жауабы: , №3
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , №4
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , №5
Шешіуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , №6
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , №7
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз Табылған -ны теңдеулер жүйесіндегі 2-ші теңдеуге қойып, -ны табайық. Сол сияқты -ны табамын. түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , , №8
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , , №9
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , , №10
Шешуі: операторлық теңдеулер жүйесі келесі түрде болады: теңдеулер жүйесін шешеміз түпнұсқаға көшіп, ізделінді шешімді аламыз. Жауабы: , . 3 БАСҚА ДА ИНТЕГРАЛДЫҚ ТҮРЛЕНДІРУЛЕР (3.1) формуласымен әрбір түпнұсқа функциясына бейнесін сәйкес қоятын Лаплас түрлендіруі және (3.2) формуласымен әрбір бейнесіне түпнұсқа функциясын сәйкес қоятын кері айналдыру формуласы (3.3) түріндегі интегралдық түрлендірудің дербес жағдайы болып табылады. Мұндағы - интегралдық түрлендірудің ядросы, - ға тәуелді параметрлі белгілі функция. [17] Осындай түрдегі түрлендірулер дифференциалдық, интегралдық және т.б есептерді шешуде қолданылады. 3.1 Фурье түрлендіруі (2) Лапластың кері айналдыру формуласында интегралдау түзуі бойынша жүргізіледі. Енді осы формулаға қойып жазатын болсақ (3.4) түрінде жазылады. , (3.5) осындай жаңа айнымалы енгізу арқылы (3.4) формуланы төмендегідей жазуға болады. (3.6) (3.1) Лаплас түрлендіруі формуласын түрінде жазуға болады, немесе енгізілген жаңа айнымалыларды ескеріп жазатын болсақ, төмендегідей түрде болады. (3.7) (3.6) және (3.7) формулылары Фурье айналымы формулалары деп аталады, ал функциясынан функциясынана көшу Фурье түрлендіруі деп аталады. [20] Фурье түрлендіруінің қолданылу аясы Лапластікінен кем. Олай екендігі (3.7) формуладағы меншіксіз интегралдың жинақталуы үшін функциясы шексіздікте қосымша шарттарды қанағаттандыруы керек екендігінен шығады. Мысал үшін абсолют интегралдану шарты орындалуы қажет, жинақталуы керек. (3.1) Лаплас түрлендіруінде қосымша көбейткішінің болуы аргументтің үлкен мәндерінде мәнін жойып жіберуі- түпнұсқа функциялары кластарын кейбір көрсеткіштік функциялардан шексіздікте кемірек өсетін функцияларға дйін кеңейтеді. Ал бұл шарт практикада ешқандай қиыншылық тудырмайды. Дербес жағдайда, функциясының қсу көрсеткіші нөлге тең болса, Лапластың кері айналдыру формуласында деп ала алатын болсақ, онда (3.1) - (3.2) Лаплас түрлендіруі (3.6) - (3.7) Фурье түрлендіруінен интеграл алдындағы елеусіз көбейткіштермен айырмашылықта болады. Осы түрғыдан қарағанда Фурье түрлендіруін Лаплас түрлендіруінің дербес жағдайы деп қабылдауымызға болады. 3.2 Меллин түрлендіруі (3.1) екі жақты Лаплас түрлендіруі мен (3.2) формулалардағы айнымалысын -ға және де -ны айнымалыларын ауыстырсақ
түрінде жазылады. Егер және ауыстыруларын енгізетін болсақ, Меллин түрлендіруіне келеміз ( -дың орнына -ны жазамыз ). ; (3.7) Меллин түрлендіруі үшін сәйкесінше Лаплас түрлендіруінің барлық қасиеттері орындалады. Туындыны бейнелейтін теореманы ескереміз: егер функциясы және болған кезде нөлге тең болады, яғни: (3.8) осы теоремены қайта қолдана отырып, ең үлкен туындының бейнесі үшін формуланы аламыз. Қарапайым бейнелеулердің туындысы бар, егер функциясын бөліктеп интегралдайтын болсақ, онда (3.9) егер болмаса, онда (3.10) және т.б. Соңғы қасиетті мүшелері түрінде болатын дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін қолдануға болады. [21] Мысал. Меллин түрлендіруінің қолданысының мысалы ретінде . Тапсырманың шешімін табу үшін келесі теңдеуге келеміз: (3.11) мұндағы - , координаталар осіндегі шектік шарттары келесідей болатын Лаплас операторы: (3.12) (3.9) және (3.10) формулаларға сүйене отырып айнымалысы бойынша Меллин түрлендіруін аламыз, сонда (3.11) теңдеу келесі түрдегі жай дифференциалдық теңдеуге көшеді: Оның жалпы шешімі төмендегідей: шектік шарттар бейнелерге көшкеннен кейін келесі түрге келеді: Сәйкесінше, Осы жерден мәндерін табамыз және бейнелеуінің шешімін аламыз. Шешімнің өзін Меллин формуласы бойынша табамыз. аралығында интеграл астындағы функция ұқсас, өйткені жақын интеграл астындағы функция жағдайында нүктесінде жатыр деп алайық. Сәйкесінше, соңғы формулада ретінде аралығындағы кез келген санды алуға болады. болған кездегі шекке көше отырып жазықтығындағы ос бойынша нүктесінің айналмалы сағат тіліне қарсы интеграл алуға болады. Сонымен қатар шамасына көбейтілген нүктесінде интеграл астындағы функцияның өсуіне әкеледі, яғни шамасына тең, сонда алатынымыз: бұл жердегі интегралға қатты назар аударылады. қойып және интеграл астындағы өрнектердің сәйкесінше жұп және тақтығын пайдалана отырып нақты шешімді аламыз: (3.13) 3.3 Ханкел түрлендіруі (3.1) формулаға сәйкестендіріп екі өлшемді Фурье түрлендіруін келесі түрде жазуға болады: Енді , және , қолданып, полярлық координаталарға көше отырып келесілерге қол жеткіземіз: (3.14) дербес жағдайын қарастырамыз, мұндағы - бүтін сан және (3.14) формуладағы бірінші өрнекті периодты функцияға тәуелді интеграл қасиетін пайдаланып өрнегімен алмастырамыз, Бессель интегралы формула бойынша ішкі интеграл тең, мұндағы - ретті бірінші текті цилиндрлік функция. Сондықтан деп алып, соңғы формуланы келесі түрде қайта жаза аламыз: (3.15) Жаңа белгілеулерде (3.14) формуладағы екінші өрнек келесідей болады: алмастыруын жүргізгеннен кейін ішкі интеграл қайтадан Бессель интегралының формуласына қайта келеді және келесіні аламыз: (3.16) (3.15)және (3.16) формулалары ретті Ханкел түрлендіруі формулалары немесе Фурье-Бессел формулалары деп аталады. Формулалардың түрін қарастырылып отырған түрлендірулер кезінде туындыларды бейнелеу үшін анықтаймыз. ретті Ханкел түрлендіруінің анықтамасы бойынша (бөліктеп интегралдау формуласын қолдандық). Интеграл сыртындағы мүше 0-ге тең деп алып және (3.17) тең болатын формуласын қолдана отырып: Екінші мүшедегі интеграл ретті функциясының Ханкел түрлендіруінің бейнесіне тең, оны деп белгілейміз. Бірінші мүшедегі интеграл функциясының ретті бейнелеуіне тең, бірақ, бізге оны функцияның өзінің бейнелеуі түрінде қолданғанымыз тиімді. Ол үшін рекурентті формуланы қолданамыз және нақты формуланы аламыз: (3.18) Алынған формула өте күрделі, бейнелеуі және үлкен туындылары үшін одан да күрделі формулалар бар. Ол формулалардың барлығын қолданбай-ақ функция бейнелерінің кейбір комбинациясын құрамыз. деп алып, бөліктеп интегралдау арқылы келесіні аламыз: сәйкесінше, . ( екендігін қолданып және тағы бөліктеп интегралдадық). Бірақ фукнциясының шарттарын қанағаттандыратын (3.17) теңдеуіне сәйкес: , сәйкесінше, соңғы формуланы келесі түрде жазуға болады: Осылайша, егер болса, онда (3.19) Дербес жағдайда, нөлдік ретті Ханкел түрлендіруі үшін келесі теңдік орындалады: (3.20) бұл жердегі: (3.21) (3.20) формуланың сол жағына қатысатын туындылар комбинациясы цилиндрлік немесе полярлық координаталардағы Лаплас операторы өрнектерінде кездеседі. Сондықтан Ханкел түрлендіруі де сондай шарттармен тапсырмаларды шешуде кеңінен қолданылады. [22] Мысал. Электризденген жазық дискіде құрылған өріс потенциалы туралы классикалық есепті қарастырайық (Г. Вебер). Тапсырма Лаплас теңдеуінің интегралдауына әкеледі. (3.22) мұндағы - дискке перпендикуляр, ось бойындағы координата, келесі шектік шарттарды қанағаттандырады: үшін үшін (3.23) ( -тұрақты, екінші шарт жазықтығына қатысты өріс симметриясын білдіреді). Нөлдік ретті Ханкел түрлендіруін қолданамыз (3.20).формуланың негізіндегі операторлық теңдеу келесі түрде жазылады: мұндағы - функциясының бейнелеуі, ал оның жалпы шешімі келесі түрде жазылады: Шектік шарттар келесі түрде жазылады: Оларды белгілі қатынастармен салыстыра отырып, функцияның екі шартты да қанағаттандыратынын көреміз: Тапсырманың шешімінің жалғыздығын ескере отырып, ең соңында келесі теңдікті аламыз: Қорытынды «Операциялық есептеуді дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолдану» тақырыбына жазылған дипломдық жұмысымда Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін пайдаланып дифференциалдық теңдеулер мен дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге болатындығына көз жеткіздім. Қарастырылған тақырып мен үшін қызықты әрі танымды болды. Өйткені, жоғарыда айта кеткенімдей, бұл есептеу қолданбалы математиканың түрлі бөлімін қамтиды. Жұмыстың негізгі бөлімінің 1-тарауы теориялық сипаттамадан тұрады. Операциялық есептеудің негізі болып саналатын Лаплас түрлендіруінің анықтамасы мен оның қасиеттеріне тоқталап отырып, түпнұсқадан бейнеге және керісінше бейне бойынша түпнұсқаны табу әдістерін қарастырдым. Дюамель формуласына қысқаша анықтама бірілді. Дипломдық жұмыстың 2-тарауында Лаплас түрлендіруінің дифференциалдық теңдеулерді шешуде қолдануын қарастырдым. Атап айтқанда, коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулерді операциялық әдіспен шешуді, сызықтық дифференциалдық теңдеулерді Дюамель интегралын қолдана отырып, шығаруды және коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулердің жүйесін операциялық әдіс арқылы шешуді қарастырдым. Көптеген есептер шығару барысында операторлық әдіс тиімді екендігіне көз жеткідім. Негізгі бөлімінің соңғы тарауында Лаплас түрлендіруінен басқа да интегралдық түрлендірулер бар екендігін және Лаплас түрлендіруі тек дербес жағдайы екендігін ескере отырып, Фурье, Меллин және Ханкель түрлендірулеріне қысқаша тоқталып, олардың кейдір қолданулары қарастырылады. Операциялық есептеудің негізгі идеясы бастапқы шарттары белгілі сызықтық коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеуді шешуді операторлық теңдеуді шешуге айналдыру. Сонымен қатар операциялық есептеуді дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуде қолдану өте тиімді екендігіне есеп шығару барысында көз жеткіздік. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР жүктеу/скачать 1,15 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|