Дипломдық ЖҰмыс 5В060100 «Математика»
жүктеу/скачать 1,15 Mb.
|
Жорабек Меруерт м-41
| 1-сурет Бірлік функцияның графигі
Бірлік фунуция түпнұсқа болады. Оның бейнесін табайық. 3- анықтама бойынша Осыдан бейненің бар болуы үшін ақырлы шек бар болатындығын көрсетеміз. -ны қарастырайық. екендігін пайдаланып, аламыз. Мұнда біз Эйлер формуласын және комплекс санның модулін комплекс санның модулін табу анықтамасын қолдандық. Әрі қарай 2 жағдай қарастырамыз. 1. болсын, онда : 2. болсын, онда : Жоғарыдағы талқылаулардан кейін келесідей қортынды жасауға болады. Бірлік функцияның бейнесі тек , яғни болған жағдайда ғана бар болады. Сонымен егер Мысал 2 көрсеткіштік функциясының бейнесін табайық. Шешуі: -ді қарастырайық. екендігін пайдалансақ, 2 жағдай қарастырамыз. 1.Егер болса, 2. Егер болса, , егер , яғни Онда , егер болса. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері Лаплас түрлендіруінің негзгі қасиеттері мен ережелеріне (немесе операциялық есептеудің негзгі қасиеттері мен ережелері) байланысты теоремаларды қарастыратын боламыз. Осы қасиеттерге сүйеніп, түпнұсқа мен бейненің арасындағы байланыс кестесін пайдалана отырып, түпнұсқадан бейнеге, және керісінше бейнеден түпнұсқаға өтеміз. Түпнұсқа функцияларды және т.с.с және сәйкесінше бейнені т.с.с белгілейтін боламыз. Жалғыздық теоремасы. түпнұсқасы толығымен өзінің бейнесімен анықталады, мұндағы дәлдік функциясының үзіліс нүктелеріне дейін. Басқаша айтсақ, егер 2 бейне және тең болса онда сәйкесінше үзіліс нүктелерінен басқа кез келген нүктеде олардың түпнұсқалары да тең өзара тең болады, яғни егер онда -ның кез келген үзіліссіз нүктелерінде теңдігі орындалады. [5] Теоремадан функциялары бейне бола алмайды. Сызықтық теоремасы. Егер , және , яғни түпнұсқалардың сызықты комбинациясы бейнелердің сызықты комбинациясына сәйкес келеді. Теореманы кез келген ақырлы сан үшін де жалпылауға болады. онда , мұндағы Мысал: а) Эйлер формуласы бойынша: , сызықтық теоремасын қолданып, б) сызықтық теоремасын қолданып, Ұқсастық теоремасы. Егер болса, онда үшін , яғни түпнұсқаның аргументін оң санға көбейту оны бейнені сол санға бөлуге және бейненің аргументін санына бөлуге әкелкеді.[6] Расында да Мысал: ұқсастық теоремасы бойынша Кешігу теоремасы. болсын, және берілген болсын. Онда орындалады . [5] Мысал: , онда кешігу теоремасы бойынша . Ығысу теоремасы. Егер онда саны үшін , яғни түпнұсқа фунуциясының -ға көбейтіндісі айнымалысының аустыруына әкеледі. Расында да, функциясы бейненің бар болу шарттарын қанағаттадырады. Енді формула бойынша Теорема дәлелденді. Мысал: Онда . Шектеу теоремасы. Егер онда үшін . Параметр бойынша дифференциалдау теоремасы. Егер -тің кез келген мәнінде түпнұсқасына бейнесі сәйкес қойылса, онда сәйкес қойылады. Мысал: -параметр. Оң жағын да, сол жағын да параметріне бойынша интегралдап: рет қайталап: Түнұсқаны дифференциалдау теоремасы. болсын. Егер функциясы түпнұсқа болса, онда сәйкес қойылады. [7] Расында да, бөліктеп интегралдау арқылы аламыз. Егер функциясы рет дифференциалданып, оның туындыларының барлығы түпнұсқа болатын болса, және онда Бастапқы шарты 0-дік болған кезде түпнұсқаны рет дифференциалдау оның бейнесін көбейтуге әкеледі. Түпнұсқаны интегралдау теоремасы. түпнұсқа функция берілсін және болсын, онда функциясы да түпнұсқа болады және . Расында да, функциясы өсу көрсеткіші болатын түпнұсқа болады. Енді функциясының бейнесін табайық. осы соңғы интегралдан интегралдау ретін ауыстырамыз. Жалпы жағдайы үшін орындалады. Мысал: функциясының бейнесін табу керек. , , рет жалғастырып, . Бейнені дифференциалдау теоремасы. Егер , онда яғни бейнеден туынды алу түпнұсқаны -ға көбейтіндісіне бейнелейді. Расында да, Егер функциясы парметрі бойынша рет дифференциалданса, онда Бейнені интегралдау теоремасы. Егер функциясы түпнұсқа болса және болса, онда . деп белгілеп алаайық. Бұл функция облысында аналитикалық функция болады және . функциясынан туынды алайық.Интегралды парметрі бойынша дифференциалдап, Осында шартын ескеріп, келесіні аламыз: . Теорема дәлелденді. Бейнелердің қасиеттері 1-қосымшада кесте түрінде берілген Негізгі түпнұсқалар мен олардың бейнелері 2-қосымшада көрсетілген. 1.3 Бейне бойынша түпнұсқаны табу Меллин формуласы. Берілген бейнесінен оған сәйкес түпнұсқасына көшу үшін Лапластың кері түрлендіруі орындалады. Теорема. Түпнұсқа үзіліссіз нүктелерінде (1.3) теңдігімен анықталады, мұндағы функциясы түпнұсқасының Лаплас бойынша бейнесі. [8] Теңдіктің оң жағындағы интеграл бас мән мағынасындағы интегралды анықтайды. Басқаша айтқанда арақатынасы орындалады да, интеграл жарты жазықтығында жатқан және жорaмал оське параллель түзу бойынша алынады. (1.3) формуласы Мелиннің кері айналдыру формуласы деп аталады. Ол бейнесімен түпнұсқасын байланыстырады. Берілген бейнесі бойынша түпнұсқаны табу Лапластың кері түрлендіруі болып табылады. Оны былай белгілейді: Мұндағы шарты болғанда функцияның шартын қанағаттандыратынын көрсетеді. Мелиннің кері айналдыру формуласы бейнені тек үзіліссіз нүетелерінде ғана анықтайды. Бірақ түпнұсқасының бірінші текті үзіліс нүктелері болуы мүмкін. Бұл жағдайда түпнұсқаның үзіліс нүетелерінде шарты орындалатындығын көрсетуге болады. Сонымен, кері айналдыру формуласы бейнесі бойынша түпнұсқасы оның үзіліс нүетелеріндегі мәндеріне дейінгі дәлдікпен анықталады. Түпнұсқаға бір ғана бейне сәйкес келеді. Себебі түпнұсқаның үзіліс нүетелеріндегі мәндері бейненің түрін өзгертпейді. Дегенмен де бір бейнеге бір-бірінен айырмашылығы үзілісн үетелеріндегі мәндерінде болатын түпнұсқалар жиынын сәйкес қоюға болады. Егер түпнұсқасы аралығында дифференциалданатын функция болса, онда берілген бейне бойынша бір ғана түпнұсқа анықталады. Мелиннің кері айналдыру формуласын тікелей қолдану қиындық туғызуы мүмкін. Сондықтан әдетте Меллин формуласының салдары болып табылатын жіктеу теоремаларын пайдаланады. Бірінші жіктеу теоремасы Егер шексіз алыстағы нүктенің маңайында аналитикалық функция болып сол нүктедегі мәні 0-ге тең болса және осы нүкте маңайындағы Лоран қатарына жіктелуі (1.4) түрінде болса,онда бейнесінің түпнұсқасы мына функция болады:[9] (1.5) ) Егер болса, онда болады. Мысал. функциясының түпнұсқасын табу керек. Шешуі: Берілген функциясының нүктесінің маңайындағы жіктелуі Сондықтан бірінші жіктеу теоремасы сәйкес функциясының түпнұсқасы функциясы болады. Берілген бейне бойынша түпнұсқаны табудың қарапайым әдісі Көп жағдайларда берілген бейне бойынша түпнұсқаны табу үшін бейнені түрлендіріп, содан кейін Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін және бейнелер кестесін пайдаланады. Ал бейнені түрлендіру үшін көбінесе рационал бөлшектерді жай бөлшектерге жіктеу әдісі қолданылады. Мысал 1. Берілген бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек. Шешуі: Бірінші әдіс Бөлшектің бөліміндегі үшмүшеліктің толық квадратын бөліп шығарып ығысу теоремасын және бейнелер кестесін пайдаланамыз сонымен, Екінші әдіс Берілген бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз. Мысал 2. функциясының түпнұсқасын табу керек. Шешуі:
Бөлшекті жай бөлшектер қосындысына жіктейміз Екінші әдіс Бөлшекті төмендегідей түрде жазайық: Сонда бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша Енді түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланып, мынандай нәтиже аламыз: Үшінші әдіс Функциялардың орамының бейнесі туралы теореманы қолданамыз Екінші жіктеу теоремасы Егер бейнесі бірмәнді функция болып және жазықтықтың бөлігінде жатқан саны шектеулі ерекше нүктелері болса, онда шегермелер туралы теореманы пайдаланып былай жазуға болады: (1.6) мұндағы функциясының полюстері. [9] бейнесі болғанда аналитикалық функция болғандықтан, көрсетілген полюстер жорымал оске параллель және одан қашықтығында өтетін түзуден солға қарай орналасқан. Егер болса, онда деп алу керек. функциясы рационал функция болған жағдайды қарастырайық, яғни , (1.7) мұндағы және және коэффициенттері нақты сандар. Бөлімінің түбірлерін есептеп, бөлшекті мына түрде жазамыз: (1.8) мұндағы түбірінің еселігі және Түрлендірілген (1.8) бейненің түпнұсқасын табу үшін (1.7) формуланы пайдаланамыз. Полюс бойынша шегермені есептеу формуласын қолданып болғанда мынадай формула аламыз: (1.9) Дербес жағдайда, егер бейнесінің бөлімінің түбірлері жай түбірлер болса, онда болады да, бірінші ретті жай полюс бойынша шегермені есептеу формуласын пайдаланамыз: (1.10) Мысал 1. бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек. Шешуі: Бейненің екінші ретті бір ғана полюсі бар. Формула бойынша деп алып, керекті түпнұсқаны табамыз. Мысал 2. бейнесіне сәйкес түпнұсқаны табу керек. Шешуі: Берілген бейнеден екндігі көрінеді. Осыдан Ал көпмүшелігінің түбірлері: Сонда Сондықтан 1.4 Дюамель формуласы Егер және -түпнұсқалар және олардың өсу көрсеткіштері сәйкесінше , болса және болса, онда мына теңдік орындалады: Бұл Дюамель формуласы деп аталады. жүктеу/скачать 1,15 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|