Байланысты: Дипломды Ж мыс 5В070400 Есептеу техникасы ж не ба дарламалы а 1
2.3.Сызықтық жүйелерді матрицалық-векторлық тәсілмен интегралдау. Сызықтық жүйенің матрицалық-векторлық шешімі
Сызықтық жүйе берілсін
(k) , (1)
матрицасының қарастыруына (1) жүйенің коэфициенттерін кіргіземіз және екі вектор-функциялардың – вектор-бағандардың
(1)жүйені келесі матрицалық-векторлық түрде жазуға болады
(2)
Бұл ретте біртекті жүйе
(k) (3)
былай жазылады:
(3)
(a,b) интервалында (2) теңдеудің шешімі вектор-функция – вектор-баған –
деп аталады, айналдыратын (2) теңдеу тепе-теңдікте
Дербес жағдайда, (a,b) аралығында (3) біртекті теңдеудің шешімі, егер
. (4)
Болжап көрейік, және (a,b) аралығында үзіліссіз, сонда, Пикарь теоремасы бойынша, (2) теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады , бастапқы шартты қанағаттандыратын
(5)
мұндағы
Бастапқы вектор бар, сонымен бірге
(k).
Сонымен қатар бастапқы вектор өз бетімен беруге болады, және шешімін (2) Коши есебімен, (5) көрініп тұрғандай барлық анықталған.
Дербес жағдайда, (3) біртекті теңдеудің жалғыз шешімі, нөлдік бастапқы шартты қанағаттандыратын
,
нөлдік вектор-баған болады
.
Матрицалық-векторлық теңдеудің екі ортақ қасиеті, сызықтық жүйеге байланысты
1. (2) теңдеу тәуелсіз айнымалының кез-келген алмастыруында сызықты болып қалады
(6)
мұндағы – (α, β) аралығында үзіліссіз дифференциалданған, әрі және болғанда.
Шыныменде, себебі
(6)-шы алмастыру (2) теңдеуді мына түрге алып келеді
яғни біз тағы сызықтық теңдеу аламыз.
Атап өтейік, (6) алмастыру (3) теңдеудің сызықтығын да, біртектілігін де бұзбайды.
2. (2) теңдеу ізделінетін вектор-функциялардың кез-келген ерекше емес сызықтық өзгерістерінде сызықты болып қалады.
мұндағы –жаңа ізделетін вектор-функция, ал (a, b) аралығында үзіліссіз дифференциалданған, (a, b) аралығында матрицасымен.
Шыныменде, мынаны аламыз
яғни
мұндағы
Байқайтынымыз, (3) біртекті теңдеу біртекті болып қалады.
