Тұрақты ерік түрлендіру әдісі ( Лагранж әдісі).
Т е о р е м а. Егер (4) біртекті жүйенің шешімінің фундаментальді жүйесі белгілі болса, онда (1) біртекті емес жүйенің жалпы шешімін квадратур арқылы табу мүмкін.
Осы теореманы дәлелдеу үшін ерікті тұрақты вариация тәсілін пайдаланайық.
(1) біртекті емес жүйенің шешімін мына түрде іздейік
(8)
мұндағы (4) біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальді жүйесі, ал – -тан кейбір үзіліссіз дифференциалданған функциялар. Бұл функцияларды (8) формула (1) жүйенің шешімін беретіндей етіп таңдап алайық.
(7)-ні (1)-ге қойып, аламыз
немесе
Бұл теңдіктерді мына түрде көшіріп алып
және (4) біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальді жүйесі екенін көңілге алып, біз анықтау үшін,келесі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келеміз:
.
Бұл жүйе-ке қатысты шешілетін. Мынаны аламыз
.
Интегралдап, табамыз
мағыналарын (6) формулаға қойып, (1) жүйенің шешімін мына түрде табамыз
(10)
Мұнда деп болжап, мына шешімді аламыз
сондықтан (10) жүйені (6) түрде жазуға болады және, сәйкесінше, (10) формуламен анықталатын шешімі,(7) облыста (1) біртекті емес жүйенің шешімі болып табылады. Теорема дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |
