Дипломная работа
Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пискунов
| Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи.
Рассмотрим однородный стержень длины ℓ. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне. Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = , а другой – с точкой х = ℓ. Пискунов стр 252, рис. 373 Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности. Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = ∆х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время ∆t, будет равно то же самое с абсциссой х2: Приток ∆Q1 - ∆Q2 в элемент стержня за время ∆t будет равняться: Этот приток тепла за время ∆t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину ∆u: или где с – теплоемкость вещества стержня, ρ – плотность вещества стержня (ρ∆xS – масса элемента стержня). Приравнивая выражения (129) и (130) одного и того же количества тепла ∆Q1 - ∆Q2, получим: Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне. Чтобы решение уравнения (131) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (131) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для 0 ≤ t ≤ T, следующие: u (x, 0) = φ(x), (132) u (0, t) = ψ1(t), (133) u (ℓ, t) = ψ2(t). (134) Физическое условие (132) (начальное условие) соответствует тому, что при t = 0 в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (133) и (134) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = ℓ поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно. Доказывается, что уравнение (131) имеет единственное решение в области 0 ≤ х ≤ ℓ, 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющее условиям (132) – (134). жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|