Дипломная работа
Примеры разложения функций в ряды Фурье
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Нарисовать
- Пискунов, рис. 382, стр. 339
| 3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Пример 1. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим образом: ƒ(x) = х , -π < x ≤ π. Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье. По формуле (4) находим: Применяя формулам (17), (18) и интегрируя по частям, получим: . Таким образом, получаем ряд: . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю. Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом: ƒ(x) = -1 при –π < x < 0, ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π. Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье: , (Нарисовать: рис. 377, стр. 334, Пискунов) Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид: . Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. 4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье. Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π: , каково бы ни было число λ. Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d: . В частности, принимая с = - π, d = λ, получим: поэтому Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение. Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить (20) где λ – любое число. Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов. Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х. (Пискунов, рис. 382, стр. 339) Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами: ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0] ƒ(x) = х на отрезке [0, π]. В то же время на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (20), приравняв λ=0. Следовательно, жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|