Дипломная работа
Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- (Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371)
- (Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)
| Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t. (Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371) Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М1М2 равняется её проекции на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 – х1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны ММ′. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. (Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372) Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ′, будет равна T· sin (φ + ∆φ) – sin φ . Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь: T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ = (здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках). Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂2u / ∂t2. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь: Сокращая на ∆х и обозначая a2 = T/ ρ, получаем уравнение движения Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства: u (0, t) = 0, (36) u (ℓ, t) = 0. (36,) Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть u (x, 0) = u |t = 0 = ƒ(x). (37) Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х): Условия (101,) и (101, ,) являются начальными условиями. Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0 или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и φ(x) ≡ 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ≡ 0. Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ∆х, можем написать, что падение напряжения на элементе ∆х равно Это падение напряжения складывается из омического, равного ίR∆x, и индуктивного , равного (∂ ί /∂ t )L∆x. Итак, где R и L - сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию υ. Сокращая на ∆х, получаем уравнение Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него время ∆t, будет Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆x (∂υ /∂t) ∆t, и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную Аυ∆х∆t (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆x∆t, получим уравнение: Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями. Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения (104) по х; члены уравнения (103) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим: Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ /∂х) из уравнения (103), получим: Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t): Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (R = 0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения: где обозначено: a2 = 1/CL. Исходя из физических условий, формулируются граничные и начальные условия задачи. жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|