Дипломная работа


Разложение в ряд Фурье непериодической функции



бет8/14
Дата21.11.2022
өлшемі152,04 Kb.
#51582
түріДипломная работа
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14
Байланысты:
bestreferat-46743

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ1(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).


Разложим функцию ƒ1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.
Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам.


Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения:


Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).
Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:

,
где .
Полагая ещё получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).

Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что где обозначает число, сопряженное с).
По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости
(26)
где

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2π.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет