Әдістемелік жинақ

F(x) функциясының белгілі мәндері келесі таблицаны құрсын.

Әдетте функцияның аналитикалық өрнегі берілсе, онда х-тің орнына мәнін қойып функция мәнін есептей салуға болатын. Кей жағдайда функцияның аналитикалық өрнегі мүлде белгісіз болуы немесе есептеуге көп уақытты қажет етуі мүмкін. Осындай жағдайларда берілген таблица бойынша f функциясына жуық F жуықтаушы функцияны құрады:

f(x)=F(x) (2)

Құрылған жуықтаушы функция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, F(x₂)=y₂, …. , F(x_n)=y_n (3)

Мұндай есепті функцияны интерполяциялау есебі деп атайды. Ал х₀, x₁, x₂, … , x_n нүктелерін – интерполяциялау тораптары немесе түйіндері деп атайды.

F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрінде іздейді: Лагранж, Ньютон, Гаусс, Бессель, Стирлинг, т.б.

19

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтықтары тұрақты емес болса, Лагранждың көпмүшелігі, тұрақты болса – Ньютоннның көпмүшеліктері қолданылады.

1. 
   Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.
   

Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, x_j=at_j+b j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (1)-формула келесі түрге келеді:

2. Ньютоннның интерполяциялық формулалары.

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:

1. 
   Алдыға қарай интерполяциялау
   
2. 
   Кері интерполяциялау
   

Мұндағы

Формулалардағы , , т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 3-таблицаны толтыру арқылы анықталады. Таблицада мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін таблицаның бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін таблицаның соңғы жолындағы мәндер қолданылады.

20
Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты интерполяциялық формуланы қолдануға болады: .

Қателіктерін бағалау:

1-формула үшін мына формула қолданылады:

2-формула үшін мына формула қолданылады:

1. 
   Эйткен схемасы
   
2. 
   Гаусс интерполяциялық формулалары
   
3. 
   Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері
   

Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:

Эйткен схемасы келесі 6-кестені толтыру арқылы орындалады.