Әдістемелік жинақ

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

1. Тура жол алгоритмі

1. 
   (2.2.1) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
   
2. 
   элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
   

3. 
   Барлық мәндері үшін (2.2.2)
   

4. 
   Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
   

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге

айналады.

5. 
   q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
   
6. 
   М₁ матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М₂ матрицасын аламыз.
   
7. 
   Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
   
8. 
   Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
   

15

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.

Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.

A=S^*DS (2.3.2)

мұндағы S^*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .

SS^*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.

ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:

16

Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:

Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:

(1)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,

17

немесе қысқаша жазсақ:

(1.1.) – жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x₁,x₂,…,x_n) нүктесін осы кеңістіктің y(y₁,y_2,…,y_n) нүктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:

(1.2.)

(1.1.) – жүйені қолданып, бастапқы нүктені таңдап алып n - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:

(1.3.) – итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (1.1.) итерациялық жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек:

1. 
   – жүйе (1.1.) – итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді. Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x₁, x₂, … , x_n деп, ал есептелетін келесі жуықтауларды y₁, y₂, … , y_n деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:
   

Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында y_i-дің мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y₁, y₂, … , y_i-1 мәндері қолданылады да (2.1.)– ді ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:

(2.2.)– итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:

Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (2.2.)– итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.

Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға көбейтеді:

А^Т*А*х=A^T*b (2.6.)

Белгілеулер енгіземіз:

18

A^T*A=C

Сонда

(2.7.) – жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (2.2.)– итерациялық жүйеге келтіруге болады.

(2.7.) – қалыпты жүйеге эквивалентті (2.2.)– келтірілген итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген бастапқы жуықтауларда жинақталады.

Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс , i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.