Әдістемелік жинақ

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 3- кестеге толтыруға болады:

3- кесте . (3.18) – есептің кестелік алгоритмі.

а₄₄=1,2671 басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады.

1. 
   (3.16) - формула көмегімен m_i, i=1,2,3 мәндерін анықтаймыз:
   

2. 
   (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді табамыз:
   

i=1; j=2 болғанда

i=1; j=3 болғанда

i=1; j=4 болғанда

i=1; j=5 болғанда

i=2; j=1 болғанда

i=2; j=2 болғанда

i=2; j=3 болғанда

i=2; j=4 болғанда

i=2; j=5 болғанда

i=3; j=1 болғанда

i=3; j=2 болғанда

i=3; j=3 болғанда

i=3; j=4 болғанда

i=3; j=5 болғанда

Табылған элементтерден жаңа матрица құрып кестенің II-бөлігіне толтырамыз.

3. 
   Жаңа матрицадан модулі бойынша үлкен элементті табамыз: ол - . 3-жолды басшы жол деп аламыз да жаңа көбейткіштерді анықтаймыз:
   

4. 
   2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:
   

5. 
   Осы жаңа матрицадан модулі бойынша үлкені . Тағы көбейткішті есептейміз: .
   
6. 
   2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:
   

Кесте да қоршалған басшы элементтер орналасқан жолдардан жүйе құрамыз:

Белгісіздерді біртіндеп табамыз:

X₁=1.04059

X₂=0.98697

X₃=0.93505

X₄=0.88130.

Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.

A=S^*DS (3.20)

мұндағы S^*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .

86

SS^*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.

ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:

Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:

Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:

87

(3.29)

Практикада бұл әдіс мына 4-кестені толтырады.

Ал үшбұрышты түрге келтірілген жүйенің белгісіздері қарапайым табылады.

e=0.5*10^-3

Жүйе симметриялы элементтерден тұрады, яғни квадрат түрбірлер әдісін қолдануға болады:

(3.21^*) - формула бойынша:

(3.22^*)-формула бойынша :

(3.23^*) - формула бойынша: j=2,3 формуласы бойынша диагональдық элементтерді табамыз:

s₂₃ элементі әлі табылған жоқ, сондықтан мына формуланы қолданып тауып аламыз:

Енді (3.21^*) - формуламен қалған элементтерді табамыз:

Енді элементтерден S үшбұрышты матрица құраймыз:

1. 
   Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің неше тәсілі бар?
   
2. 
   Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?
   
3. 
   Жордан – Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?
   
4. 
   Жордан – Гаусс әдісінің тура әдісі қалай жүзеге асады?
   

89

Тақырыбы: Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнмен интерполяциялау

1. 
   Функцияның мәндер кестесі берілген:
   

a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.

2. 
   Функцияның мәндер кестесі берілген:
   

a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.

3. sin(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/12 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

4. Cos(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/5 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

5. Эйткен схемасын бойынша кестеде берілген функция мәндерін қолданып, берілген нүктелердегі функция мәндерін есептеу:

a) y(27).

b) Y(102).

4.Кесте түрінде берілген функция үшін Эйткен схемасын қолданып 10^-5 дәрежесі дәлдікке дейін х-тің берілген мәндеріндегі функция мәндерін анықтау:

k) 1,185 l) 1,192 m) 1,195.

6. Функцияның берілген кестелік мәндер бойынша берілген функция мәніне сәйкес аргумент мәнін анықтау:

a) y=0

Х	1	2	2,5	3
У	-6	-1	5,625	16

b) y=20

X	4	6	8	10
Y	11	27	50	83

c) y=2.00139; y=2.00194; y=2.00373; y=2.00484

X	1.00	1.05	1.10	1.15	1.20	1.25
Y	2.00000	2.00238	2.00909	2.01957	2.03313	2.05000

1. 
   y=e^x функциясының мәндері кестемен берілген. Сызықты интерполяциялау формуласын қолданып функцияның берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.
   

2. 
   y=sin(x) функциясының мәндері берілген. Ньютонның сәйкес формуласын қолдану арқылы берілген нүктелердегі мәндерді және қателіктерін анықтау.
   

3. 
   f(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.
   

4. 
   g(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.
   

5. 
   h(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.