Электродинамика

Закон Кулона с электрической постоянной выглядит так:
F =
1
4πε
0
q
1
q
2
r
2
.
(2)
2.1
Принцип суперпозиции
Опыт показывает, что выполнен так называемый принцип суперпозиции. Он состоит из двух
утверждений.
1. Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заря-
женных тел.
2. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q
1
, q
2
, . . . , q
n
. Если каж-
дый из зарядов системы действует на заряд q с силой ~
F
1
, ~
F
2
, . . . , ~
F
n
соответственно,
то результирующая сила ~
F , приложенная к заряду q со стороны данной системы, равна
векторной сумме отдельных сил:
~
F = ~
F
1
+ ~
F
2
+ . . . + ~
F
n
.
Принцип суперпозиции проиллюстрирован на рис.
7
. Здесь положительный заряд q взаимо-
действует с двумя зарядами: положительным зарядом q
1
и отрицательным зарядом q
2
.
+
q
1
−
q
2
q
~
F
1
~
F
2
~
F
Рис. 7. Принцип суперпозиции
Принцип суперпозиции позволяет прийти к одному важному утверждению.
Вы помните, что закон всемирного тяготения справедлив на самом деле не только для точеч-
ных масс, но и для шаров со сферически-симметричным распределением массы (в частности,
для шара и точечной массы); тогда r — расстояние между центрами шаров (от точечной массы
до центра шара). Этот факт вытекает из математической формы закона всемирного тяготения
и принципа суперпозиции.
Поскольку формула закона Кулона имеет ту же структуру, что и закон всемирного тяготе-
ния, и для кулоновской силы также выполнен принцип суперпозиции, мы можем сделать анало-
гичный вывод: по закону Кулона будут взаимодействовать два заряженных шара (точечный
заряд с шаром) при условии, что шары имеют сферически-симметричное распределение за-
ряда; величина r в таком случае будет расстоянием между центрами шаров (от точечного
заряда до шара).
Значимость данного факта мы увидим совсем скоро; в частности, именно поэтому напря-
жённость поля заряженного шара окажется вне шара такой же, как и у точечного заряда.
Но в электростатике, в отличие от гравитации, с этим фактом надо быть осторожным. На-
пример, при сближении положительно заряженных металлических шаров сферическая симмет-
рия нарушится: положительные заряды, взаимно отталкиваясь, будут стремиться к наиболее
11

удалённым друг от друга участкам шаров (центры положительных зарядов будут находиться
дальше друг от друга, чем центры шаров). Поэтому сила отталкивания шаров в данном случае
будет меньше того значения, которое получится из закона Кулона при подстановке вместо r
расстояния между центрами.
2.2
Закон Кулона в диэлектрике
Отличие электростатического взаимодействия от гравитационного состоит не только в наличии
сил отталкивания. Сила взаимодействия зарядов зависит от среды, в которой заряды находятся
(а сила всемирного тяготения от свойств среды не зависит).
Диэлектриками, или изоляторами называются вещества, которые не проводят электриче-
ский ток.
Оказывается, что диэлектрик уменьшает силу взаимодействия зарядов (по сравнению с ва-
куумом). Более того, на каком бы расстоянии друг от друга заряды ни находились, сила их
взаимодействия в данном однородном диэлектрике всегда будет в одно и то же число раз
меньше, чем на таком же расстоянии в вакууме. Это число обозначается ε и называется диэлек-
трической проницаемостью диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость зависит только от
вещества диэлектрика, но не от его формы или размеров. Она является безразмерной величиной
и может быть найдена из таблиц.
Таким образом, в диэлектрике формулы (
1
) и (
2
) приобретают вид:
F = k
q
1
q
2
εr
2
,
F =
1
4πε
0
q
1
q
2
εr
2
.
Диэлектрическая проницаемость вакуума, как видим, равна единице. Во всех остальных
случаях диэлектрическая проницаемость больше единицы. Диэлектрическая проницаемость
воздуха настолько близка к единице, что при расчёте сил взаимодействия зарядов в возду-
хе пользуются формулами (
1
) и (
2
) для вакуума.
12

3
Напряжённость электрического поля
Основной закон электростатики — закон Кулона — позволяет вычислить силу взаимодействия
двух точечных зарядов. Данный закон, однако, ничего не говорит нам о том, каким образом
осуществляется это взаимодействие. Как так получается, что один заряд может действовать на
другой даже на весьма большом расстоянии?
3.1
Дальнодействие и близкодействие
Опыт показывает, что электрические заряды действуют друг на друга даже в отсутствие между
ними вещества, то есть в вакууме. Поэтому долгое время в науке преобладала теория дально-
действия. Эта теория утверждала, что один заряд действует на другой непосредственно, без
участия какого-то промежуточного агента. В частности, изменение взаимного расположения
зарядов приводит к мгновенному изменению силы их взаимодействия.
Теория дальнодействия возникла под влиянием небесной механики, основанной на законах
Ньютона и законе всемирного тяготения. Движение планет рассчитывалось с большой точно-
стью, и вместе с тем не было объяснения того, что такое тяготение. Поэтому господствовала
точка зрения, что гравитационные и электромагнитные силы являются врождённым, первич-
ным свойством материи; эти силы нельзя объяснить на основе каких-то других понятий, и
единственное, что науке доступно — это описывать их свойства. Основные положения теории
дальнодействия были простыми и ясными, а сама теория обладала изяществом и математиче-
ской строгостью. Этой теории придерживалось абсолютное большинство учёных первой поло-
вины XIX столетия.
Противоположной точкой зрения служила теория близкодействия. Согласно этой теории,
для взаимодействия тел нужен промежуточный агент — физический объект, передающий взаи-
модействие от одной точки пространства к другой. В частности, скорость передачи взаимодей-
ствий конечна: при изменении положения одного из зарядов другой заряд «почувствует» это
изменение не сразу, а спустя некоторый интервал времени.
Что же это за промежуточный объект, передающий взаимодействие, если заряды могут
действовать друг на друга сквозь пустоту? Данный вопрос был одним из главных возражений
сторонников дальнодействия, среди которых были крупнейшие физики и математики своего
времени (Кулон, Ампер, Лаплас, Пуассон, Гаусс, Вебер, Кирхгоф).
3.2
Электрическое поле
Тем не менее, теория близкодействия одержала верх. Физическим объектом, передающим вза-
имодействие между зарядами даже сквозь пустоту, оказалось электромагнитное поле. Решаю-
щими здесь оказались идеи и труды двух великих учёных XIX столетия — Фарадея и Максвел-
ла. Экспериментальным подтверждением теории близкодействия явилось открытие электро-
магнитных волн.
Неподвижные заряды не создают магнитного поля; поэтому, пока мы изучаем электроста-
тику, мы будем говорить только об электрическом поле. Итак:
Электрический заряд создаёт вокруг себя электрическое поле, которое, в свою очередь,
действует с некоторой силой на другие заряды.
Электрическое поле не нуждается в какой-то специальной среде, которая являлась бы его
носителем. Оно может возникать как в веществе, так и в вакууме, и является, наряду с веще-
ством, альтернативной формой существования материи.
По современным физическим представлениям электрическое поле является первичным фи-
зическим объектом: мы пока не можем сказать, каково его внутреннее устройство (точно так же
мы не можем сказать, например, из чего состоит электрон). Мы можем лишь изучать свойства
13

электрического поля, устанавливать законы его поведения и использовать эти законы в своих
целях.
Источниками электрического поля являются электрические заряды. Индикатором для об-
наружения поля также является электрический заряд — так называемый пробный заряд. По
действию на пробный заряд мы и можем судить о наличии электрического поля в данной об-
ласти пространства. Кроме того, с помощью пробного заряда мы можем исследовать величину
поля в различных пространственных точках. Разумеется, для этого пробный заряд должен
быть точечным.
Опыт показывает, что сила, с которой поле действует на пробный заряд, прямо пропорцио-
нальна величине заряда. Поэтому отношение силы к заряду уже не зависит от величины заряда
и является характеристикой поля.
Напряжённость электрического поля — это отношение вектора силы ~
F , с которой поле
действует на пробный заряд q, к самому пробному заряду (с учётом его знака):
~
E =
~
F
q
.
(3)
Напряжённость поля, как видим, является векторной величиной. В каждой точке простран-
ства электрическое поле характеризуется вектором напряжённости. Поле считается заданным,
если нам известна зависимость вектора напряжённости от координат точки и, вообще говоря,
от времени.
Как следует из определения, напряжённость измеряется в Н/Кл. Общепринятая единица
напряжённости есть В/м. Мы скоро увидим, что это одно и то же.
Если напряжённость поля известна, то формула (
3
) позволяет найти силу, которая действует
на точечный заряд со стороны электрического поля:
~
F = q ~
E.
Сила и напряжённость, таким образом, являются коллинеарными векторами. Если заряд по-
ложительный, то сила направлена в ту же сторону, что и напряжённость. Если заряд отрица-
тельный, то сила направлена противоположно напряжённости.
Одна из основных задач электростатики – нахождение напряжённости поля, создаваемого
данной системой зарядов. Рассмотрим некотрорые примеры.
3.3
Напряжённость поля точечного заряда
Определение модуля и направления вектора напряжённости поля точечного заряда — это самая
простая и легко решаемая задача.
Рассмотрим положительный точечный заряд q, находящийся в вакууме. Поместим на рас-
стоянии r от него положительный пробный заряд q
0
. Со стороны заряда q на пробный заряд
действует сила отталкивания, поэтому напряжённость поля положительного заряда q направ-
лена от него (рис.
8
):
+
q
q
0
r
~
E
Рис. 8. Напряжённость поля положительного заряда
Величина силы отталкивания равна:
F =
kqq
0
r
2
.
14

Делим силу на пробный заряд q
0
и находим модуль напряжённости поля заряда q:
E =
kq
r
2
.
(4)
Пусть теперь заряд, создающий поле, будет отрицательным; модуль этого заряда также обо-
значаем q. Сила, действующая на положительный пробный заряд, станет силой притяжения.
Поэтому напряжённость поля отрицательного заряда направлена к нему (рис.
9
):
−
q
q
0
~
E
r
Рис. 9. Напряжённость поля отрицательного заряда
Модуль напряжённости поля снова находится по формуле (
4
).
Если заряд q находится в среде с диэлектрической проницаемостью ε, то сила его действия
на пробный заряд уменьшается в ε раз:
F =
kqq
0
εr
2
.
Следовательно, в ε раз уменьшается и напряжённость поля:
E =
kq
εr
2
.
(5)
Модуль напряжённости поля точечного заряда q находится по формуле (
4
) в вакууме и
по формуле (
5
) в диэлектрической среде. Вектор напряжённости в данной точке направлен
вдоль прямой, соединяющей точку с зарядом: от заряда при q > 0 и к заряду при q < 0.
По мере удаления от заряда модуль напряжённости поля убывает пропорционально квадра-
ту расстояния от точки наблюдения до заряда. На рис.
10
дано примерное графическое пред-
ставление электрического поля точечного заряда в пространстве (показаны векторы напряжён-
ности поля в различных точках).
+
−
Рис. 10. Векторы напряжённости поля точечного заряда
Рябит в глазах, не правда ли? Ниже мы познакомимся с более удобным способом изображе-
ния поля — линиями напряжённости.
15

3.4
Принцип суперпозиции электрических полей
Начнём со случая двух зарядов. Пусть положительный заряд q
1
создаёт в точке M электри-
ческое поле ~
E
1
, и пусть отрицательный заряд q
2
создаёт в этой же точке поле ~
E
2
. Какое поле
создают в точке M оба заряда вместе?
Поместим в точку M пробный заряд q. Тогда со стороны заряда q
1
на него будет действовать
сила ~
F
1
, а со стороны заряда q
2
— сила ~
F
2
. Согласно принципу суперпозиции, с которым вы
познакомились в предыдущем разделе, на заряд q действует результирующая сила
~
F = ~
F
1
+ ~
F
2
.
Поделим данное равенство на пробный заряд q:
~
F
q
=
~
F
1
q
+
~
F
2
q
.
С учётом определения (
3
) напряжённости поля получаем:
~
E = ~
E
1
+ ~
E
2
.
Таким образом, напряжённость результирующего поля в точке M оказывается равна век-
торной сумме напряжённостей полей каждого из зарядов (рис.
11
):
+
q
1
−
q
2
M
~
E
1
~
E
2
~
E
Рис. 11. Принцип суперпозиции полей
Напряжённости полей складываются векторно и в общем случае. В самом деле, поделив
формулу ~
F = ~
F
1
+ ~
F
2
+ . . . + ~
F
n
на пробный заряд q, приходим к общей формулировке принципа
суперпозиции.
Принцип суперпозиции. Пусть заряды q
1
, q
2
, . . . , q
n
по отдельности создают в данной
точке поля ~
E
1
, ~
E
2
, . . . , ~
E
n
. Тогда система этих зарядов создаёт в данной точке поле ~
E,
равное векторной сумме напряжённостей полей отдельных зарядов:
~
E = ~
E
1
+ ~
E
2
+ . . . + ~
E
n
.
С помощью принципа суперпозиции можно найти напряжённость поля любой системы заря-
дов — разбивая систему на малые заряды, которые можно считать точечными, с последующим
суммированием напряжённостей малых зарядов. Обычно это приводит к достаточно сложным
вычислениям.
16

3.5
Поле равномерно заряженной плоскости
Важным примером системы зарядов является заряженная плоскость. В качестве бесконечной
плоскости мы можем рассматривать любую плоскую пластину, если расстояние от точки, в
которой ищется поле, до пластины много меньше размеров самой пластины.
Заряженная плоскость характеризуется величиной поверхностной плотности заряда. Что это
такое? Возьмём небольшой участок плоскости площадью S. Пусть заряд этого участка равен q.
Тогда поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда к площади:
σ =
q
S
.
Иными словами, поверхностная плотность заряда — это заряд единицы площади.
Поверхностная плотность заряда может меняться от участка к участку. Но если на любом
участке плоскости поверхностная плотность заряда одинакова (σ = const, т. е. заряд распреде-
лён равномерно), то плоскость называется равномерно заряженной.
Вектор напряжённости поля равномерно заряженной плоскости перпендикулярен плоско-
сти; он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если
плоскость заряжена отрицательно (рис.
12
).
+σ
−σ
Рис. 12. Поле равномерно заряженной плоскости
Самое удивительное заключается в том, что величина напряжённости поля не зависит от
расстояния до плоскости. Она оказывается равна:
E =
σ
2ε
0
.
(6)
Эта формула справедлива для вакуума (мы принимаем её без доказательства). В среде с
диэлектрической проницаемостью ε поле, как обычно, уменьшается в ε раз:
E =
σ
2ε
0
ε
.
(7)
Пример заряженной плоскости важен потому, что мы встречаемся здесь с понятием одно-
родного поля. Электрическое поле в данной области пространства называется однородным,
если вектор напряжённости поля одинаков в каждой точке области. Иными словами, напря-
жённость поля в каждой точке рассматриваемой области имеет одно и то же направление и
неизменную величину.
Поле точечного заряда, например, не является однородным. В самом деле, напряжённость
поля точечного заряда может меняться от точки к точке как по величине, так и по направлению
(она обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда и направлена вдоль прямой, со-
единяющей заряд с точкой наблюдения).
А вот заряженная плоскость создаёт однородное электрическое поле в каждом из полупро-
странств, на которые она разбивает пространство. Напряжённость этого поля вычисляется
по формулам (
6
) или (
7
).
17

3.6
Линии напряжённости электрического поля
Давайте вернёмся к пространственной картине поля точечного заряда. Вместо векторов напря-
жённости в разных точках нарисуем более приятные глазу линии напряжённости (рис.
13
):
+
−
Рис. 13. Линии напряжённости поля точечного заряда
Линии напряжённости идут вдоль векторов напряжённости, указывают направление этих
векторов и даже содержат информацию об их абсолютных величинах: чем гуще расположены
линии напряжённости, тем больше величина напряжённости поля в данной области простран-
ства.
Аналогичную картину линий напряжённости мы можем нарисовать и для заряженной плос-
кости (рис.
14
). Как видим, линии напряжённости однородного поля являются участками
параллельных прямых.
+σ
−σ
Рис. 14. Линии напряжённости поля заряженной плоскости
Линии напряжённости можно провести и в произвольном электрическом поле. Каким обра-
зом? В каждой точке пространства вектор напряжённости поля направлен по касательной
к линии напряжённости. Линии напряжённости как бы «подстраиваются» под векторы напря-
жённости, «обтекая» их по касательной (рис.
15
):
~
E
~
E
Рис. 15. Линия напряжённости
Линии напряжённости всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на
отрицательных.
18

4
Потенциал электрического поля
Мы начнём с обсуждения потенциальной энергии, которую имеет заряд в электростатическом
поле. Прежде всего необходимо вспомнить, при каких условиях можно вообще ввести понятие
потенциальной энергии.
4.1
Консервативные силы
Сила называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы не зависит от
формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела.
Пусть, например, тело под действием консервативной силы ~
F переместилось из начальной
точки 1 в конечную точку 2 (рис.
16
). Тогда работа A силы ~
F зависит только от положения
самих точек 1 и 2, но не от траектории движения тела. Например, для траекторий 1 → a → 2
и 1 → b → 2 величина A будет одинаковой.
a
b
1
2
Рис. 16. К понятию консервативной силы
Отметим, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Дей-
ствительно, давайте выйдем из точки 1 по траектории 1 → a → 2 и вернёмся назад по траекто-
рии 2 → b → 1. На первой траектории сила совершит работу A, а на второй траектории работа
будет равна −A. В итоге суммарная работа окажется нулевой.
Так вот, понятие потенциальной энергии можно ввести только в случае консервативной
силы. Потенциальная энергия W — это математическое выражение, зависящее от координат
тела, такое, что работа силы равна изменению этого выражения со знаком минус:
A = −∆W.
(8)
Или, что то же самое:
A = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
.
Как видим, работа консервативной силы есть разность значений потенциальной энергии,
вычисленных соответственно для начального и конечного положений тела.
Примеры консервативных сил вам хорошо известны. Например, сила тяжести является кон-
сервативной. Сила упругости пружины тоже консервативна. Именно поэтому мы можем го-
ворить о потенциальной энергии тела, поднятого над землёй, или о потенциальной энергии
деформированной пружины.
А вот сила трения не консервативна: работа силы трения зависит от формы траектории и
не равна нулю на замкнутом пути. Поэтому не существует никакой «потенциальной энергии
тела в поле силы трения».
19

4.2
Потенциальность электростатического поля
Оказывается, что сила, с которой электростатическое поле действует на заряженное тело, также
является консервативной. Работа этой силы, совершаемая при перемещении заряда, называется
работой электростатического поля. Имеем, таким образом, важнейший факт:
Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой пере-
мещается заряд, и определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Работа
поля по замкнутому пути равна нулю.
Этот факт называется также потенциальностью электростатического поля. Как и поле
силы тяжести, электростатическое поле является потенциальным. Работа электростатического
поля одинакова для всех путей, по которым заряд может двигаться из одной фиксированной
точки пространства в другую.
Строгое математическое доказательство потенциальности электростатического поля выхо-
дит за рамки школьной программы. Однако «на физическом уровне строгости» мы можем
убедиться в справедливости этого факта с помощью следующего простого рассуждения.
Нетрудно видеть, что если бы электростатическое поле не было потенциальным, то можно
было бы построить вечный двигатель! В самом деле, тогда существовала бы замкнутая тра-
ектория, при перемещении заряда по которой поле совершало бы положительную работу (и
при этом никаких изменений в окружающих телах не происходило бы). Крутим себе заряд по
этой траектории, черпаем неограниченное количество энергии ниоткуда — и все энергетические
проблемы человечества решены :-) Но такого, увы, не наблюдается — это вопиющим образом
противоречит закону сохранения энергии.
Так как электростатическое поле потенциально, мы можем говорить о потенциальной энер-
гии заряда в этом поле. Начнём с простого и важного случая.
4.3
Потенциальная энергия заряда в однородном поле
Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном
поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию.
Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направ-
лены вдоль оси X (рис.
17
). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии
из точки 1 (с координатой x
1
) в точку 2 (с координатой x
2
).
X
E
E
0
1
2
x
1
x
2
q
~
F
Рис. 17. Перемещение заряда в однородном поле
Поле действует на заряд с силой ~
F , которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа
этой силы, как легко видеть, будет равна:
A = F (x
2
− x
1
) = qE(x
2
− x
1
).
20

Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывается,
ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис.
18
.
X
E
E
0
1
2
x
1
x
2
3
Рис. 18. Перемещение заряда в однородном поле
Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 → 3 → 2, где точка 3 лежит на одной
силовой линии с точкой 1. Тогда работа A
32
на участке 32 равна нулю — ведь мы перемещаемся
перпендикулярно силе. В результате получим:
A = A
13
+ A
32
= A
13
= qE(x
2
− x
1
).
Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда.
Запишем полученную формулу следующим образом:
A = qEx
2
− qEx
1
= −((−qEx
2
) − (−qEx
1
)) = −(W
2
− W
1
) = −∆W.
Здесь W
1
= −qEx
1
, W
2
= −qEx
2
. Работа поля, в соответствии с формулой (
8
), оказывается
равна изменению со знаком минус величины
W = −qEx.
(9)
Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле.
Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень
потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках
изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости
4
.
Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (
9
) следует, что при движении заряда
вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле
совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за
счёт убыли его потенциальной энергии.
Несложно показать, что формула (
9
) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае
потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле
действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет
осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда
уменьшается, а потенциальная энергия — увеличивается.
Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебра-
ическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.
4
На самом деле нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать где угодно. Иными словами, потен-
циальная энергия определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной C, т. е. W = −qEx+C.
Ничего страшного в такой неопределённости нет: физическим смыслом обладает на потенциальная энергия сама
по себе, а разность потенциальных энергий, равная работе поля. В этой разности константа C сократится.
21

4.4
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов
Пусть два точечных заряда q
1
и q
2
находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно
показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:
W =
kq
1
q
2
r
.
(10)
Мы принимаем формулу (
10
) без доказательства. Две особенности данной формулы следует
обсудить.
Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная
энергия, как видно из формулы (
10
), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой
уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды располо-
жены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается
равной нулю (что логично — в этом случае заряды уже «не взаимодействуют»).
Во-вторых, q
1
и q
2
— это снова алгебраические величины зарядов, т. е. заряды с учётом их
знака.
Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет поло-
жительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга.
Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия — убывает. Но на бес-
конечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит — она
является положительной.
А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрица-
тельной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга — так
что потенциальная энергия равна нулю — и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь,
и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только
в сторону отрицательных значений.
Формула (
10
) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если
число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов.
Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым при-
мером, изображённым на рис.
19
.
q
1
q
2
q
3
c
a
b
Рис. 19. Взаимодействие трёх зарядов
Если заряды q
1
, q
2
, q
3
находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенци-
альная энергия их взаимодействия равна:
W =
kq
1
q
2
a
+
kq
2
q
3
b
+
kq
1
q
3
c
.
4.5
Потенциал
Из формулы W = −qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле
прямо пропорциональна этому заряду.
То же самое мы видим из формулы W = kq
1
q
2
/r: потенциальная энергия заряда q
1
, находя-
щегося в поле точечного заряда q
2
, прямо пропорциональна величине заряда q
1
.
22

Оказывается, это общий факт: потенциальная энергия W заряда q в любом электростати-
ческом поле прямо пропорциональна величине q:
W = qϕ.
(11)
Величина ϕ уже не зависит от заряда, является характеристикой поля и называется потенци-
алом:
ϕ =
W
q
.
(12)
Так, потенциал однородного поля E в точке с абсциссой x равен:
ϕ = −Ex.
(13)
Напомним, что ось X совпадает с линией напряжённости поля. Мы видим, что с ростом
координаты x потенциал убывает. Иными словами, вектор напряжённости поля указывает
направление убывания потенциала.
Для потенциала поля точечного заряда q на расстоянии r от него имеем:
ϕ =
kq
r
.
(14)
Единицей измерения потенциала служит хорошо известный вам вольт. Из формулы (
12
)
мы видим, что В = Дж/Кл.
Итак, теперь у нас есть две характеристики поля: силовая (напряжённость) и энергетиче-
ская (потенциал). У каждой из них имеются свои преимущества и недостатки. Какую именно
характеристику удобнее использовать — зависит от конкретной задачи.
4.6
Разность потенциалов
Пусть заряд q перемещается в электростатическом поле из точки 1 в точку 2. Траектория
заряда, напомним, роли не играет — работа поля A от этой траектории не зависит и равна
разности потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках:
A = −∆W = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
.
С учётом формулы (
11
) имеем:
A = qϕ
1
− qϕ
2
= q(ϕ
1
− ϕ
2
).
(15)
Здесь ϕ
1
— потенциал поля в точке 1, ϕ
2
— потенциал поля в точке 2. Величина ϕ
1
− ϕ
2
, от
которой зависит работа поля, так и называется: разность потенциалов. Обратите внимание, что
разность потенциалов есть потенциал начальной точки минус потенциал конечной точки,
а не наоборот!
Разность потенциалов называется также напряжением между точками 1 и 2 и обозначается
через U :
U = ϕ
1
− ϕ
2
.
(16)
Наряду с формулой (
15
) получаем тогда:
A = qU.
(17)
Записывая формулы (
15
) и (
17
) в виде:
U = ϕ
1
− ϕ
2
=
A
q
,
(18)
23

получаем полезное истолкование напряжения: напряжение (или разность потенциалов) меж-
ду данными точками — это работа поля по перемещению заряда из начальной точки в ко-
нечную, делённая на величину этого заряда.
Как и потенциальная энергия, потенциал определён с точностью до прибавления произ-
вольной постоянной C: в зависимости от выбора точки, в которой потенциал полагается рав-
ным нулю, эта постоянная примет то или иное значение. Но физическим смыслом обладает
не потенциал сам по себе, а напряжение (разность потенциалов). При вычитании потенциа-
лов константа C сократится, и напряжение будет уже однозначно определённой величиной, не
зависящей от выбора начала отсчёта потенциала.
Выбор точки нулевого потенциала позволяет истолковать в терминах работы сам потенциал.
Действительно, пусть 1 — данная точка, 2 — точка нулевого потенциала. Тогда в формуле (
18
)
имеем: ϕ
1
= ϕ (потенциал в данной точке), ϕ
2
= 0, A = A
0
— работа поля по перемещению
заряда q из данной точки в точку с нулевым потенциалом. В результате:
ϕ =
A
0
q
.
(19)
Таким образом, потенциал поля в данной точке — это работа поля по перемещению заряда
из данной точки в точку нулевого потенциала, делённая на величину этого заряда.
4.7
Принцип суперпозиции для потенциалов
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой из n заряженных тел. Это поле можно
рассматривать как наложение полей, создаваемых каждым телом в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов. Пусть ϕ — потенциал результирующего поля
в данной точке, а ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
— потенциалы полей каждого из тел. Тогда:
ϕ = ϕ
1
+ ϕ
2
+ . . . + ϕ
n
.
(20)
Иными словами, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов
полей, создаваемых каждым из тел в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов вытекает из формулы (
19
) и из того факта, что
работа равнодействующей силы есть сумма работ её слагаемых.
4.8
Однородное поле: связь напряжения и напряжённости
Предположим, что положительный заряд q перемещается в однородном электростатическом
поле по направлению силовой линии из точки 1 в точку 2 (рис.
20
). Расстояние между точками
равно d.
E
E
1
2
q
~
F
Рис. 20. К выводу формулы U = Ed
C одной стороны, работа поля равна произведению силы на путь:
A = F d = qEd.
24

Работа получается положительной, так как сила и перемещение сонаправлены.
C другой стороны, работа поля есть произведение заряда на разность потенциалов между
точками 1 и 2:
A = qU.
(Напряжение также положительно, так как ϕ
1
> ϕ
2
— ведь напряжённость направлена в сто-
рону убывания потенциала.) Приравнивая правые части последних двух формул, получим:
qU = qEd, откуда
U = Ed.
(21)
Эта простая формула позволяет находить напряжение между точками однородного поля E,
находящимися на одной силовой линии; при этом напряжённость поля направлена от начальной
точки к конечной.
Выразим из формулы (
21
) напряжённость:
E =
U
d
.
(22)
Эта формула пригодится нам впоследствии, при нахождении напряжённости поля в конден-
саторе. А сейчас обратим внимание на одно следствие данной формулы: единицей измерения
напряжённости является В/м. Эта единица используется чаще, чем первоначальная Н/Кл.
Что ж, немало вещей пришлось узнать, чтобы понять равенство Н/Кл = В/м :-)
4.9
Эквипотенциальные поверхности
Как вы помните, введение силовой характеристики поля (напряжённости) дало возможность
изображать поле графически — в виде картины линий напряжённости, или силовых линий.
Энергетическая характеристика поля (потенциал) также позволяет дать графическую кар-
тину поля — в виде семейства эквипотенциальных поверхностей.
Поверхность в пространстве называется эквипотенциальной, если во всех точках этой по-
верхности потенциал электрического поля принимает одно и то же значение. Коротко говоря,
эквипотенциальные поверхности — это поверхности равного потенциала.
Например, из формулы ϕ = −Ex мы видим, что эквипотенциальными поверхностями од-
нородного поля являются всевозможные плоскости x = const. Они перпендикулярны линиям
напряжённости. Так, на рис.
21
изображены пять плоскостей — эквипотенциальных поверхно-
стей, отвечающих значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
, ϕ
4
и ϕ
5
.
E
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
ϕ
5
Рис. 21. Эквипотенциальные поверхности однородного поля
Теперь рассмотрим нашу вторую стандартную ситуацию: поле точечного заряда q > 0.
Потенциал этого поля, как мы уже видели, равен:
ϕ =
kq
r
.
25

Эквипотенциальными поверхностями здесь будут всевозможные сферы r = const. Они так-
же перпендикулярны линиям напряжённости. На рис.
22
показаны четыре такие сферы —
эквипотенциальные поверхности, отвечающие значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
и ϕ
4
.
+
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
Рис. 22. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда
Оказывается, эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям напряжён-
ности. Нетрудно понять, почему это так. Предположим, что заряд перемещается по эквипо-
тенциальной поверхности. Работа поля при этом равна нулю: A = q(ϕ
1
− ϕ
2
) = 0, так как
ϕ
1
= ϕ
2
. Значит, угол между перемещением заряда и силой, с которой поле действует на заряд,
всё время остаётся прямым. Иными словами, заряд перемещается перпендикулярно вектору
напряжённости.
26

5
Проводники в электрическом поле
Если полюса батарейки замкнуть металлической проволокой, по ней пойдёт электрический
ток. Заменим проволоку стеклянной палочкой — никакого тока не возникнет. Металл является
проводником, а стекло — диэлектриком.
Проводники отличаются от диэлектриков наличием свободных зарядов — заряженных ча-
стиц, положение которых не связано с какой-то точкой внутри вещества. Свободные заряды
приходят в движение под действием электрического поля и могут перемещаться по всему объ-
ёму проводника.
Проводники — это в первую очередь металлы. В металлах свободными зарядами являются
свободные электроны. Откуда они там берутся? Это особенность металлической связи. Дело в
том, что валентный электрон, находящийся на внешней электронной оболочке атома металла,
весьма слабо связан с атомом. При взаимодействии атомов металла их валентные электроны
покидают свои оболочки, «отправляясь в путешествие» по всему пространству металла
5
.
Проводниками являются также электролиты. Так называются растворы и расплавы, сво-
бодные заряды в которых возникают в результате диссоциации молекул на положительные и
отрицательные ионы. Бросим, например, в стакан воды щепотку поваренной соли. Молекулы
NaCl распадутся на ионы Na
+
и Cl
−
. Под действием электрического поля эти ионы начнут
упорядоченное движение, и возникнет электрический ток.
Природная вода, даже пресная, является проводником из-за растворённых в ней солей
6
(но,
конечно, не таким хорошим, как металлы). Человеческое тело в основным состоит из воды, в
которой также растворены соли (хлориды натрия, калия, кальция, магния). Поэтому наше тело
также служит проводником электрического тока.
Из-за наличия свободных зарядов, способных перемещаться по всему объёму, проводники
обладают некоторыми характерными общими свойствами.
5.1
Поле внутри проводника
Первое общее свойство проводников в электростатическом поле состоит в том, что напряжён-
ность поля внутри проводника везде равна нулю.
Докажем от противного, как в математике. Предположим, что в какой-то области проводни-
ка имеется электрическое поле. Тогда под действием этого поля свободные заряды проводника
начнут направленное движение. Возникнет электрический ток — а это противоречит тому, что
мы находимся в электростатике.
Конечно, такое рассуждение не оставляет ощущения удовлетворённости. Хотелось бы по-
нять, почему обнуляется поле внутри проводника. Давайте попробуем.
Рассмотрим незаряженный проводящий шар, помещённый во внешнее электростатическое
поле E. Для простоты считаем это поле однородным, но наши рассуждения останутся верными
и в общем случае.
Под действием электрического поля E свободные электроны нашего шара скапливаются в
левом его полушарии, которое заряжается отрицательно. Справа остаётся нескомпенсирован-
ный положительный заряд. Возникновение этих зарядов, как вы помните, называется элек-
тростатической индукцией: заряды на поверхности проводника индуцируются (т. е. наводятся)
внешним электростатическим полем. Подчеркнём ещё раз, что происходит реальное разделение
зарядов: если сейчас распилить шар по диаметру в вертикальной плоскости, то получатся два
разноимённо заряженных полушария.
5
В узлах кристаллической решётки остаются положительные ионы. Казалось бы, они должны разлететься
под действием кулоновских сил. Но нет — промежутки между ионами заполнены «газом» свободных электронов,
который играет роль клея, держащего всю кристаллическую решётку
6
Поэтому нельзя купаться во время грозы!
27

Индуцированные заряды создают своё поле E
i
, направление которого внутри шара оказы-
вается противоположным внешнему полю (рис.
23
).
E
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
Рис. 23. E
i
= E
Перестроение свободных зарядов шара продолжается до тех пор, пока поле E
i
не компенси-
рует полностью внешнее поле E во всей области внутри шара. При наступлении этого момента
(а наступает он почти мгновенно) результирующее поле внутри шара станет равным нулю,
дальнейшее движение зарядов прекратится, и они окончательно займут свои фиксированные
статические положения на поверхности шара.
А что будет в области снаружи шара? Поле E
i
и тут наложится на внешнее поле E, искажая
его тем сильнее, чем ближе к шару расположена точка наблюдения. На больших расстояниях
от шара внешнее поле почти не изменится. В результате картина линий напряжённости будет
иметь примерно следующий вид (рис.
24
).
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
Рис. 24. Поле внутри проводника равно нулю
До сих пор наши рассуждения относились к случаю незаряженного проводника. Что изме-
нится, если проводнику, помещённому в электростатическое поле, сообщить вдобавок некото-
рый заряд q?
Легко понять, что результирующее поле внутри проводника всё равно окажется равным
нулю. В самом деле, заряд q начнёт перераспределяться по поверхности проводника таким об-
разом, что поле E
i
этого заряда внутри проводника будет направлено против внешнего элек-
тростатического поля E. Перераспределение будет продолжаться до тех пор, пока оба поля E
и E
i
не компенсируют друг друга во всей внутренней области проводника.
Таким образом, поле внутри проводника равно нулю вне зависимости от того, заряжен
проводник или нет. Любой проводник, помещённый в электростатическое поле, как бы «вы-
талкивает» внешнее поле из своей внутренней области.
28

5.2
Заряд внутри проводника
Следующий общее свойство проводников состоит в том, что объёмная плотность зарядов внут-
ри проводника везде равна нулю. Сформулируем это более подробно.
Какую бы область внутри проводника мы ни взяли, её суммарный заряд окажется равен
нулю. Нескомпенсированные заряды, если они имеются, располагаются целиком на поверхно-
сти проводника.
Строгое доказательство этого утверждения опирается на фудаментальную теорему Гаусса,
которую в школе не проходят. А неформальное объяснение очень простое: если бы внутри
проводника имелись нескомпенсированые заряды, то они создавали бы там электрическое поле.
Но электрического поля внутри проводника нет — стало быть, нет и зарядов.
Отсюда следует ещё один замечательный факт: если внутри проводника имеется полость,
то поле в этой полости равно нулю. В самом деле, создадим внутри проводника полость, изъяв
часть вещества. Поле как было равно нулю до изъятия, так нулевым и останется — ведь заряд
вынутого вещества равен нулю! Наши манипуляции не изменили ту статическую конфигура-
цию зарядов на поверхности проводника, которая создаёт нулевое поле во всех точках внутри
проводника.
На явлении исчезновения поля в полости внутри проводника основана так называемая элек-
тростатическая защита. Если нужно уберечь от внешних электростатических полей какое-
либо устройство, его помещают в металлический ящик (или окружают металлической сеткой),
обнуляя напряжённость поля в пространстве вокруг устройства.
5.3
Поле вне проводника
Теперь рассмотрим область пространства, внешнюю по отношению к проводнику. Оказывает-
ся, линии напряжённости электрического поля входят в проводник (или выходят из него)
перпендикулярно поверхности проводника.
Посмотрите ещё раз на рис.
24
. Вы видите, что любая силовая линия, пересекающая шар,
направлена точно под прямым углом к его поверхности.
Почему так получается? Давайте снова проведём доказательство от противного. Предполо-
жим, что в некоторой точке поверхности проводника силовая линия не перпендикулярна по-
верхности. Тогда в данной точке имеется составляющая вектора напряжённости, направленная
по касательной к поверхности проводника — так называемая касательная составляющая век-
тора напряжённости. Под действием этой касательной составляющей возникнет электрический
ток — а это противоречит тому, что мы находимся в электростатике.
Иными словами, заряды на поверхности проводника (при помещении проводника во внешнее
поле или при сообщении проводнику заряда) перестраиваются до тех пор, пока линии напря-
жённости, уходящие в окружающее пространство, в каждой точке поверхности проводника не
окажутся перпендикулярны этой поверхности (а внутри проводника не исчезнут вовсе).
5.4
Потенциал проводника
Раньше мы говорили о потенциале той или иной точки электростатического поля. Большой
интерес представляют множества точек, потенциал которых одинаков. Один пример такого
множества мы знаем — это эквипотенциальные поверхности. Другим замечательным примером
служит проводник.
Все точки проводника имеют одинаковый потенциал. Иными словами, разность потен-
циалов между любыми двумя точками проводника равна нулю.
29

В самом деле, если бы между какой-либо парой точек проводника существовала ненулевая
разность потенциалов, возник бы ток от одной точки к другой — ведь в этом случае электриче-
ское поле совершало бы ненулевую работу по перемещению зарядов между данными точками.
Но в электростатике никакого тока быть не может.
Потенциал какой-либо (и тогда любой) точки проводника называется потенциалом провод-
ника.
Как видим, проводник представляет собой «эквипотенциальный объём». В частности, по-
верхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Это даёт дополнительное
объяснение утверждения предыдущего пункта — мы же знаем, что линии напряжённости элек-
тростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
5.5
Напряжённость и потенциал поля проводящей сферы
Рассмотрим металлическую сферу радиуса R, которой сообщён заряд q. Нас интересуют на-
пряжённость и потенциал электростатического поля, создаваемое сферой в каждой точке про-
странства.
Везде далее сферу можно заменить шаром — от этого ровным счётом ничего не изменится.
Начнём с напряжённости поля. Внутри сферы, как мы уже знаем, напряжённость поля равна
нулю. Вне сферы напряжённость оказывается такой же, как если бы заряд q был точечным и
находился в центре сферы. Итак:
E =



kq
r
2
,
если r
> R;
0,
если r < R.
На рис.
25
показаны линии напряжённости поля положительно заряженной сферы и график
зависимости модуля вектора напряжённости от расстояния до центра сферы.
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
E
R
kq
R
2
r
Рис. 25. Напряжённость поля заряженной сферы
Потенциал поля вне сферы равен потенциалу поля точечного заряда q, расположенного
в центре сферы. Внутри сферы потенциал везде одинаков и совпадает с потенциалом точек
поверхности сферы:
ϕ =





kq
r
,
если r
> R;
kq
R
,
если r < R.
30

Вот как выглядит график зависимости потенциала положительно заряженной сферы от
расстояния до её центра (рис.
26
):
r
ϕ
R
kq
R
Рис. 26. Потенциал поля заряженной сферы
31

6
Диэлектрики в электрическом поле
В отличие от проводников, в диэлектриках нет свободных зарядов. Все заряды являются свя-
занными: электроны принадлежат своим атомам, а ионы твёрдых диэлектриков колеблются
вблизи узлов кристаллической решётки.
Соответственно, при помещении диэлектрика в электрическое поле не возникает направлен-
ного движения зарядов
7
. Поэтому для диэлектриков не проходят наши доказательства свойств
проводников — ведь все эти рассуждения опирались на возможность появления тока. И дей-
ствительно, ни одно из четырёх свойств проводников, сформулированных в предыдущей статье,
не распростаняется на диэлектрики.
1. Напряжённость электрического поля внутри диэлектрика может быть не равна нулю.
2. Объёмная плотность заряда в диэлектрике может быть отличной от нуля.
3. Линии напряжённости могут быть не перпендикулярны поверхности диэлектрика.
4. Различные точки диэлектрика могут иметь разный потенциал. Стало быть, говорить о
«потенциале диэлектрика» не приходится.
6.1
Диэлектрическая проницаемость
Но тем не менее, одно важнейшее общее свойство у диэлектриков имеется, и вам оно известно
(вспомните формулу напряжённости поля точечного заряда в диэлектрике!). Напряжённость
поля уменьшается внутри диэлектрика в некоторое число ε раз по сравнению с вакуумом.
Величина ε даётся в таблицах и называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика.
Давайте разберёмся, каковы причины ослабления поля в диэлектрике. Рассмотрим диэлек-
трик, помещённый во внешнее однородное (для простоты) поле E
0
. Опыт показывает, что на
противоположных поверхностях диэлектрика появляются заряды разных знаков.
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
Рис. 27. Ослабление поля внутри диэлектрика
Эти индуцированные заряды расположены так, что создаваемое ими поле E
i
внутри ди-
электрика направлено против внешнего поля E
0
(рис.
27
, слева). При этом E
i
< E
0
, так что
внешнее поле ослабляется лишь частично (а не гасится полностью, как внутри проводника).
Результирующее поле внутри диэлектрика равно:
E = E
0
− E
i
.
7
Впрочем, в достаточно сильном электрическом поле может случиться пробой диэлектрика (пример — мол-
ния во время грозы). Подобное явление мы изучим позже, при рассмотрении электрического тока в газах.
32

Мы видим, что E < E
0
. Данный факт как раз и подчёркивается следующей формой записи:
E =
E
0
ε
.
Результирующее поле E направлено в ту же сторону, что и внешнее поле E
0
(рис.
27
, справа;
искажение поля снаружи диэлектрика считаем пренебрежимо малым).
Хорошо, но откуда в диэлектрике берутся поверхностные индуцированные заряды? Это —
явление поляризации, свойственное всем диэлектрикам. Механизмы поляризации могут быть
различными. Мы рассмотрим два типа поляризации: ориентационную и электронную.
6.2
Полярные диэлектрики
Молекулы полярных диэлектриков с точки зрения электрических свойств являются диполями.
+
−
Рис. 28. Диполь
Диполь — это система двух одинаковых по модулю и проти-
воположных по знаку зарядов, находящихся на некотором рас-
стоянии друг от друга (рис.
28
).
Например, в молекуле поваренной соли NaCl одинокий внеш-
ний электрон натрия захватывается атомом хлора (которому
как раз недостаёт одного электрона до полного комплекта из 8
электронов на внешней оболочке). Молекула становится диполем, состоящим из положитель-
ного иона Na
+
и отрицательного иона Cl
−
.
Как диполи ведут себя молекулы воды. Это связано с геометрией их строения: молекула
воды похожа на треугольник, в вершинах которого расположены два атома водорода и один
атом кислорода. В результате центры положительных и отрицательных зарядов молекулы ока-
зываются в разных местах, что и наделяет молекулу свойствами диполя.
К полярным диэлектрикам относятся также низкомолекулярные спирты и ряд других ве-
ществ.
При отсутствии внешнего электрического поля молекулы-диполи полярного диэлектрика,
совершая хаотическое тепловое движение, ориентированы в самых разных направлениях. Элек-
трические поля этих диполей полностью компенсируют друг друга, и результирующее поле
равно нулю во всех областях диэлектрика.
Но если поместить такой диэлектрик во внешнее поле E
0
, то оно «развернёт» диполи так, что
они окажутся ориентированными вдоль линий напряжённости («минусы» диполей повернутся
влево — к тем «плюсам», которые создают внешнее поле). Это показано на рис.
29
.
E
0
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
Рис. 29. Ориентационная поляризация
Разумеется, в реальности не будет столь идеально правильного порядка расположения дипо-
лей — ведь они по-прежнему совершают хаотическое тепловое движение. Но теперь у диполей
появится преимущественная ориентация — вдоль линий напряжённости внешнего поля.
33

Итак, что же мы видим на рис.
29
? Внутри диэлектрика заряды диполей по-прежнему ком-
пенсируют друг друга. Однако на внешних поверхностях диэлектрика появляются нескомпен-
сированные заряды: справа — положительные, слева — отрицательные. Именно эти заряды и
показаны на рис.
27
; благодаря им как раз и возникает встречное поле E
i
, ослабляющее внешнее
поле E
0
.
Итак, механизм ориентационной поляризации ясен: поворот молекул-диполей и их ориента-
ция вдоль линий напряжённости внешнего поля.
6.3
Неполярные диэлектрики
Далеко не все диэлектрики являются полярными. Диэлектрик называется неполярным, если
его молекулы имеют симметричное распределение положительных и отрицательных зарядов
8
и потому не ведут себя как диполи. К неполярным диэлектрикам относятся, например, керосин,
масло, воздух, инертные газы.
Тем не менее, поляризация наблюдается и у неполярных диэлектриков. Каков механизм
поляризации в данном случае?
На рис.
30
слева изображена симметричная электронная орбита в атоме неполярного диэлек-
трика. При наложении внешнего поля E
0
эта орбита деформируется (рис.
30
, справа): электрон
смещается в сторону положительных зарядов, создающих внешнее поле.
+
e
E
0
E
0
+
e
Рис. 30. Электронная поляризация
Мы видим, что во внешнем поле электрон будет проводить больше времени слева от яд-
ра, нежели чем справа. Из-за этого центры положительных и отрицательных зарядов в атоме
неполярного диэлектрика разойдутся в разные стороны. Соответственно, атомы или молекулы
неполярного диэлектрика во внешнем поле также начнут вести себя подобно диполям, и мы
приходим к такой же по сути картине, что и рис.
29
для случая ориентационной поляризации.
Объяснение механизма ослабления поля внутри диэлектрика останется тем же самым.
Итак, электронная поляризация вызвана деформацией электронных оболочек атомов во
внешнем электрическом поле. Разумеется, электронная поляризация присутствует и у поляр-
ных диэлектриков; но там она теряется на фоне куда более мощного эффекта разворота самих
диполей.
8
Разумеется, при отсутствии внешнего поля.
34

7
Конденсатор. Энергия электрического поля
Предыдущие два раздела были посвящены отдельному рассмотрению проводников и диэлек-
триков, помещённых в электрическое поле. Сейчас нам понадобится объединить эти знания.
Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников
и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.
Но прежде введём центральное понятие электрической ёмкости. Ёмкость является важной
характеристикой изолированного проводника и систем проводников (к числу которых принад-
лежат конденсаторы).
7.1
Ёмкость уединённого проводника
Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных
тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во
внимание. В таком случае проводник называется уединённым.
Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение ϕ,
которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого провод-
ника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать
1/C, так что
ϕ =
q
C
.
Величина C называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда
проводника к его потенциалу:
C =
q
ϕ
.
(23)
Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:
ϕ =
kq
R
=
q
4πε
0
R
,
где q — заряд шара, R — его радиус. Отсюда ёмкость шара:
C = 4πε
0
R.
(24)
Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то его по-
тенциал уменьшается в ε раз:
ϕ =
q
4πε
0
εR
.
Соответственно, ёмкость шара в ε раз увеличивается:
C = 4πε
0
εR.
(25)
Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним
при рассмотрении конденсаторов.
Из формул (
24
) и (
25
) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлек-
трической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость
уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и фор-
мой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник.
От вещества проводника ёмкость также не зависит.
В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить про-
воднику, чтобы увеличить его потенциал на 1 В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно,
больший заряд требуется поместить для этого на проводник.
35

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (
23
) видно, что
Ф = Кл/В.
Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус
считаем приближённо равным 6400 км.
C = 4πε
0
R ≈ 4 · 3,14 · 8,85 · 10
−12
· 6400 · 10
3
≈ 712 мкФ.
Как видите, 1 Ф — это очень большая ёмкость.
Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозна-
чении размерности диэлектрической постоянной ε
0
. В самом деле, выразим ε
0
из формулы (
24
):
ε
0
=
C
4πR
.
Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:
ε
0
= 8,85 · 10
−12
Ф
м
.
Так легче запомнить, не правда ли?
7.2
Ёмкость плоского конденсатора
Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях про-
водники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими
телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принци-
пу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утвер-
ждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости
проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.
Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на
них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем
снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.
Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он
состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых
слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных
размеров.
Обозначение конденсатора на электрической схеме показано на рис.
31
.
Рис. 31. Конденсатор
Для начала мы рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками нахо-
дится воздух (ε = 1).
Пусть заряды обкладок равны +q и −q. Именно так и бывает в реальных электрических
схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина q — заряд
положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.
Пусть S — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем
пространстве.
Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каж-
дой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной
плоскости:
E
+
= E
−
=
σ
2ε
0
.
36

Здесь E
+
— напряжённость поля положительной обкладки, E
−
— напряженность поля отрица-
тельной обкладки, σ — поверхностная плотность зарядов на обкладке:
σ =
q
S
.
На рис.
32
(слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх об-
ластях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.
−q
+q
~
E
+
~
E
−
~
E
+
~
E
−
~
E
+
~
E
−
−q
+q
E
=⇒
Рис. 32. Электрическое поле плоского конденсатора
Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля ~
E имеем:
~
E = ~
E
+
+ ~
E
−
.
Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок
погашают друг друга):
E = E
+
− E
−
= 0.
Внутри конденсатора поле удваивается:
E = E
+
+ E
−
=
σ
ε
0
,
или
E =
q
ε
0
S
.
(26)
Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис.
32
справа. Итак:
Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость
которого находится по формуле (
26
). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что кон-
денсатор не взаимодействует с окружающими телами.
Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто
обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи
краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного
и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем
более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так,
словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.
Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно d. Поскольку поле внутри конден-
сатора является однородным, разность потенциалов U между обкладками равна произведению
E на d (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):
U = Ed =
qd
ε
0
S
.
(27)
Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна
заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого
37

проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о
ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда
конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:
C =
q
U
.
(28)
Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность по-
тенциалов между его обкладками увеличилась на 1 В. Формула (
28
), таким образом, является
модификацией формулы (
23
) для случая системы двух проводников — конденсатора.
Из формул (
28
) и (
27
) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:
C =
ε
0
S
d
.
(29)
Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и рас-
стояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с ди-
электрической проницаемостью ε. Как изменится ёмкость конденсатора?
Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в ε раз. Соответственно, вместо фор-
мулы (
26
) теперь имеем:
E =
q
ε
0
εS
.
(30)
Напряжение на конденсаторе получается равным:
U = Ed =
qd
ε
0
εS
.
(31)
Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:
C =
ε
0
εS
d
.
(32)
Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния
между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.
Важное следствие формулы (
32
): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ём-
кость.
7.3
Энергия заряженного конденсатора
Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить
конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно
велика) лампочка ненадолго загорится.
Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его
разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия
обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг
к другу.
Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое пони-
мание происхождения энергии заряженного конденсатора.
Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притя-
жения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора q, площадь
обкладок S.
Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд q
0
этой площадки
можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой
F
0
= q
0
E
1
,
38

где E
1
— напряжённость поля первой обкладки:
E
1
=
σ
2ε
0
=
q
2ε
0
S
.
Следовательно,
F
0
=
q
0
q
2ε
0
S
.
Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).
Результирующая сила F притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих
сил F
0
, с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q
0
вто-
рой обкладки. При этом суммировании постоянный множитель q/(2ε
0
S) вынесется за скобку,
а в скобке просуммируются все q
0
и дадут q. В результате получим:
F =
q
2
2ε
0
S
.
(33)
Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величи-
ны d
1
до конечной величины d
2
. Сила притяжения пластин совершает при этом работу:
A = F (d
1
− d
2
).
Знак правильный: если пластины сближаются (d
2
< d
1
), то сила совершает положительную ра-
боту, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины (d
2
> d
1
),
то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.
С учётом формул (
33
) и (
29
) имеем:
A =
q
2
2ε
0
S
(d
1
− d
2
) =
q
2
d
1
2ε
0
S
−
q
2
d
2
2ε
0
S
=
q
2
2C
1
−
q
2
2C
2
= W
1
− W
2
,
где W
1
= q
2
/(2C
1
), W
2
= q
2
/(2C
2
). Это можно переписать следующим образом:
A = −(W
2
− W
1
) = −∆W,
где
W =
q
2
2C
.
(34)
Работа потенциальной силы F притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком
минус величины W . Это как раз и означает, что W — потенциальная энергия взаимодействия
обкладок, или энергия заряженного конденсатора.
Используя соотношение q = CU , из формулы (
34
) можно получить ещё две формулы для
энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):
W =
qU
2
,
(35)
W =
CU
2
2
.
(36)
Особенно полезными являются формулы (
34
) и (
36
).
Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемо-
стью ε. Сила притяжения обкладок уменьшится в ε раз, и вместо (
33
) получим:
F =
q
2
2ε
0
εS
.
При вычислении работы силы F , как нетрудно видеть, величина ε войдёт в ёмкость C, и фор-
мулы (
34
)–(
36
) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться
по формуле (
32
).
Итак, формулы (
34
)–(
36
) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора,
так и для конденсатора с диэлектриком.
39

7.4
Энергия электрического поля
Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование
происхождения этой энергии. Что ж, приступим.
Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (
36
) для его энергии:
W =
CU
2
2
=
ε
0
S
d
(Ed)
2
2
=
ε
0
E
2
2
Sd.
Но Sd = V — объём конденсатора. Получаем:
W =
ε
0
E
2
2
V.
(37)
Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы
специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля E, сосредоточен-
ного в некотором объёме V .
Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электри-
ческого поля.
Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас
тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в
пространстве электромагнитными волнами.
Величина w = W/V — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью
энергии. Из формулы (
37
) получим:
w =
ε
0
E
2
2
.
(38)
В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально
чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.
Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в ε раз, и вместо
формул (
37
) и (
38
) будем иметь:
W =
ε
0
εE
2
2
V,
(39)
w =
ε
0
εE
2
2
.
(40)
Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости
среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко
за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и
для электрических полей, меняющихся во времени.
40

8
Постоянный электрический ток
Электрический ток обеспечивает комфортом жизнь современного человека. Технологические
достижения цивилизации — энергетика, транспорт, радио, телевидение, компьютеры, мобиль-
ная связь — основаны на использовании электрического тока.
Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором про-
исходит перенос заряда из одних областей пространства в другие.
Электрический ток может возникать в самых различных средах: твёрдых телах, жидко-
стях, газах. Порой и среды никакой не нужно — ток может существовать даже в вакууме! Мы
поговорим об этом в своё время, а пока приведём лишь некоторые примеры.
• Замкнём полюса батарейки металлическим проводом. Свободные электроны провода нач-
нут направленное движение от «минуса» батарейки к «плюсу».
Это — пример тока в металлах.
• Бросим в стакан воды щепотку поваренной соли NaCl. Молекулы соли диссоциируют
на ионы, так что в растворе появятся свободные заряды: положительные ионы Na
+
и
отрицательные ионы Cl
−
. Теперь засунем в воду два электрода, соединённые с полюсами
батарейки. Ионы Na
+
начнут направленное движение к отрицательному электроду, а ионы
Cl
−
— к положительному.
Это — пример прохождения тока через раствор электролита.
• Грозовые тучи создают столь мощные электрические поля, что оказывается возможным
пробой воздушного промежутка длиной в несколько километров. В результате сквозь воз-
дух проходит гигантский разряд — молния.
Это — пример электрического тока в газе.
Во всех трёх рассмотренных примерах электрический ток обусловлен движением заряжен-
ных частиц внутри тела и называется током проводимости.
• Вот несколько иной пример. Будем перемещать в пространстве заряженное тело. Такая
ситуация согласуется с определением тока! Направленное движение зарядов — есть, пере-
нос заряда в пространстве — присутствует. Ток, созданный движением макроскопического
заряженного тела, называется конвекционным.
Заметим, что не всякое движение заряженных частиц образует ток. Например, хаотическое
тепловое движение зарядов проводника — не направленное (оно совершается в каких угодно
направлениях), и потому током не является
9
.
Не будет током и поступательное движение электрически нейтрального тела: хотя заряжен-
ные частицы в его атомах и совершают направленное движение, не происходит переноса заряда
из одних участков пространства в другие.
8.1
Направление электрического тока
Направление движения заряженных частиц, образующих ток, зависит от знака их заряда. По-
ложительно заряженные частицы будут двигаться от «плюса» к «минусу», а отрицательно
9
При возникновении тока свободные заряды продолжают совершать тепловое движение! Просто в этом слу-
чае к хаотическим перемещениям заряженных частиц добавляется их упорядоченный дрейф в определённом
направлении.
41

заряженные — наоборот, от «минуса» к «плюсу». В электролитах и газах, например, присут-
ствуют как положительные, так и отрицательные свободные заряды, и ток создаётся их встреч-
ным движением в обоих направлениях. Какое же из этих направлений принять за направление
электрического тока?
Направлением тока принято считать направление движения положительных зарядов.
Попросту говоря, по соглашению ток течёт от «плюса» к «минусу» (рис.
33
; положительная
клемма источника тока изображена длинной чертой, отрицательная клемма — короткой).
Рис. 33. Направление тока
Данное соглашение вступает в некоторое противоречие с наиболее распространённым случа-
ем металлических проводников. В металле носителями заряда являются свободные электроны,
и двигаются они от «минуса» к «плюсу». Но в соответствии с соглашением мы вынуждены счи-
тать, что направление тока в металлическом проводнике противоположно движению свободных
электронов. Это, конечно, не очень удобно.
Тут, однако, ничего не поделаешь — придётся принять эту ситуацию как данность. Так уж
исторически сложилось. Выбор направления тока был предложен Ампером
10
в первой половине
XIX века, за 70 лет до открытия электрона. К этому выбору все привыкли, и когда в 1916 году
выяснилось, что ток в металлах вызван движением свободных электронов, ничего менять уже
не стали.
8.2
Действие электрического тока
Как мы можем определить, протекает электрический ток или нет? О возникновении электри-
ческого тока можно судить по следующим его проявлениям.
1. Тепловое действие тока. Электрический ток вызывает нагревание вещества, в котором он
протекает. Именно так нагреваются спирали нагревательных приборов и ламп накалива-
ния. Именно поэтому мы видим молнию. В основе действия тепловых амперметров лежит
тепловое расширение проводника с током, приводящее к перемещению стрелки прибора.
2. Магнитное действие тока. Электрический ток создаёт магнитное поле: стрелка компаса,
расположенная рядом с проводом, при включении тока поворачивается перпендикулярно
проводу. Магнитное поле тока можно многократно усилить, если обмотать провод вокруг
железного стержня — получится электромагнит. На этом принципе основано действие
амперметров магнитоэлектрической системы: электромагнит поворачивается в поле по-
стоянного магнита, в результате чего стрелка прибора перемещается по шкале.
3. Химическое действие тока. При прохождении тока через электролиты можно наблюдать
изменение химического состава вещества. Так, в растворе CuSO
4
положительные ионы
Cu
2+
двигаются к отрицательному электроду, и этот электрод покрывается медью.
10
Договорённость о направлении тока понадобилась Амперу для того, чтобы дать чёткое правило определения
направления силы, действующей на проводник с током в магнитном поле. Сегодня эту силу мы называем силой
Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки.
42

8.3
Сила и плотность тока
Электрический ток называется постоянным, если за равные промежутки времени через попе-
речное сечение проводника проходит одинаковый заряд. Постоянный ток наиболее прост для
изучения. С него мы и начинаем.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В случае посто-
янного тока абсолютная величина силы тока есть отношение абсолютной величины заряда q,
прошедшего через поперечное сечение проводника за время t, к этому самому времени:
I =
q
t
.
(41)
Измеряется сила тока в амперах (A)
11
. При силе тока в 1 А через поперечное сечение про-
водника за 1 с проходит заряд в 1 Кл.
Подчеркнём, что формула (
41
) определяет абсолютную величину, или модуль силы тока.
Сила тока может иметь ещё и знак! Этот знак не связан со знаком зарядов, образующих ток,
и выбирается из иных соображений. А именно, в ряде ситуаций (например, если заранее не
ясно, куда потечёт ток) удобно зафиксировать некоторое направление обхода цепи (скажем,
против часовой стрелки) и считать силу тока положительной, если направление тока совпадает
с направлением обхода, и отрицательной, если ток течёт против направления обхода
12
.
В случае постоянного тока сила тока есть величина постоянная. Она показывает, какой
заряд проходит через поперечное сечение проводника за 1 с.
Часто бывает удобно не связываться с площадью поперечного сечения и ввести величину
плотности тока:
j =
I
S
,
(42)
где I — сила тока, S — площадь поперечного сечения проводника (разумеется, это сечение
перпендикулярно направлению тока). С учётом формулы (
41
) имеем также:
j =
q
St
.
Плотность тока показывает, какой заряд проходит за единицу времени через единицу площади
поперечного сечения проводника. Согласно формуле (
42
), плотность тока измеряется в А/м
2
.
8.4
Скорость направленного движения зарядов
Когда мы включаем в комнате свет, нам кажется, что лампочка загорается мгновенно. Скорость
распространения тока по проводам очень велика: она близка к 300000 км/с (скорости света в
вакууме). Если бы лампочка находилась на Луне, она зажглась бы через секунду с небольшим.
Однако не следует думать, что с такой грандиозной скоростью двигаются свободные заря-
ды, образующие ток. Оказывается, их скорость составляет всего-навсего доли миллиметра в
секунду.
Почему же ток распространяется по проводам так быстро? Дело в том, что свободные заря-
ды взаимодействуют друг с другом и, находясь под действием электрического поля источника
тока, при замыкании цепи приходят в движение почти одновременно вдоль всего проводника.
Скорость распространения тока есть скорость передачи электрического взаимодействия между
11
Единица силы тока определяется через магнитное взаимодействие проводов с током. А именно, пусть име-
ются два параллельных провода, очень длинных и тонких, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м друг от
друга. По этим проводам течёт одинаковый ток. Мы говорим, что сила тока равна 1 A, если сила взаимодействия
проводов равна 2 · 10
−7
Н на каждый метр провода.
12
Сравните с тригонометрическим кругом: углы считаются положительными, если отсчитываются против
часовой стрелки, и отрицательными, если по часовой стрелке.
43

свободными зарядами, и она близка к скорости света в вакууме. Скорость же, с которой сами
заряды перемещаются внутри проводника, может быть на много порядков меньше.
Итак, подчеркнём ещё раз, что мы различаем две скорости.
1. Скорость распространения тока. Это — скорость передачи электрического сигнала по
цепи. Близка к 300000 км/с.
2. Скорость направленного движения свободных зарядов. Это — средняя скорость переме-
щения зарядов, образующих ток. Называется ещё скоростью дрейфа.
Мы сейчас выведем формулу, выражающую силу тока I через скорость v направленного
движения зарядов проводника.
Пусть проводник имеет площадь поперечного сечения S (рис.
34
). Свободные заряды про-
водника будем считать положительными; величину свободного заряда обозначим e (в наиболее
важном для практики случая металлического проводника это есть заряд электрона). Концен-
трация свободных зарядов (т. е. их число в единице объёма) равна n.
B
A
C
D
vt
S
I
Рис. 34. К выводу формулы I = envS
Какой заряд q пройдёт через поперечное сечение AB нашего проводника за время t?
С одной стороны, разумеется,
q = It.
(43)
С другой стороны, сечение AB пересекут все те свободные заряды, которые спустя время t
окажутся внутри цилиндра ABCD с высотой vt. Их число равно:
N = nV
ABCD
= nSvt.
Следовательно, их общий заряд будет равен:
q = eN = enSvt.
(44)
Приравнивая правые части формул (
43
) и (
44
) и сокращая на t, получим:
I = envS.
(45)
Соответственно, плотность тока оказывается равна:
j = env.
Давайте в качестве примера посчитаем, какова скорость движения свободных электронов в
медном проводе при силе тока 1 A.
Заряд электрона известен: e = 1,6 · 10
−19
Кл.
Чему равна концентрация свободных электронов? Она совпадает с концентрацией атомов
меди, поскольку от каждого атома отщепляется по одному валентному электрону. Ну а кон-
центрацию атомов мы находить умеем:
n =
N
V
=
νN
A
V
=
mN
A
µV
=
ρN
A
µ
=
8900 · 6,02 · 10
23
0,0635
≈ 8,5 · 10
28
м
−3
.
Положим S = 1 мм
2
. Из формулы (
45
) получим:
v =
I
enS
=
1
1,6 · 10
−19
· 8,5 · 10
28
· 10
−6
≈ 7,4 · 10
−5
м
с
.
Это порядка одной десятой миллиметра в секунду.
44

8.5
Стационарное электрическое поле
Мы всё время говорим о направленном движении зарядов, но ещё не касались вопроса о том,
почему свободные заряды совершают такое движение. Почему, собственно, возникает электри-
ческий ток?
Для упорядоченного перемещения зарядов внутри проводника необходима сила, действую-
щая на заряды в определённом направлении. Откуда берётся эта сила? Со стороны электриче-
ского поля!
Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, внутри проводника должно существовать
стационарное
13
электрическое поле. Иными словами, между концами проводника нужно под-
держивать постоянную разность потенциалов.
Стационарное электрическое поле должно создаваться зарядами проводников, входящих
в электрическую цепь. Однако заряженные проводники сами по себе не смогут обеспечить
протекание постоянного тока.
Рассмотрим, к примеру, два проводящих шара, заряженных разноимённо. Соединим их про-
водом. Между концами провода возникнет разность потенциалов, а внутри провода — электри-
ческое поле. По проводу потечёт ток. Но по мере прохождения тока разность потенциалов
между шарами будет уменьшаться, вслед за ней станет убывать и напряжённость поля в про-
воде. В конце концов потенциалы шаров станут равны друг другу, поле в проводе обратится в
нуль, и ток исчезнет. Мы оказались в электростатике: шары плюс провод образуют единый про-
водник, в каждой точке которого потенциал принимает одно и то же значение; напряжённость
поля внутри проводника равна нулю, никакого тока нет.
То, что электростатическое поле само по себе не годится на роль стационарного поля, созда-
ющего ток, ясно и из более общих соображений. Ведь электростатическое поле потенциально,
его работа при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Следовательно, оно не
может вызывать циркулирование зарядов по замкнутой электрической цепи — для этого тре-
буется совершать ненулевую работу.
Кто же будет совершать эту ненулевую работу? Кто будет поддерживать в цепи разность
потенциалов и обеспечивать стационарное электрическое поле, создающее ток в проводниках?
Ответ — источник тока, важнейший элемент электрической цепи.
Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, концы проводника должны быть присо-
единены к клеммам источника тока (батарейки, аккумулятора и т. д.).
Клеммы источника — это заряженные проводники. Если цепь замкнута, то заряды с клемм
перемещаются по цепи — как в рассмотренном выше примере с шарами. Но теперь разность
потенциалов между клеммами не уменьшается: источник тока непрерывно восполняет заряды
на клеммах, поддерживая разность потенциалов между концами цепи на неизменном уровне.
В этом и состоит предназначение источника постоянного тока. Внутри него протекают про-
цессы неэлектрического (чаще всего — химического) происхождения, которые обеспечивают
непрерывное разделение зарядов. Эти заряды поставляются на клеммы источника в необходи-
мом количестве.
Количественную характеристику неэлектрических процессов разделения зарядов внутри ис-
точника — так называемую ЭДС — мы изучим позже, в соответствующем листке.
А сейчас вернёмся к стационарному электрическому полю. Каким же образом оно возникает
в проводниках цепи при наличии источника тока?
Заряженные клеммы источника создают на концах проводника электрическое поле. Свобод-
ные заряды проводника, находящиеся вблизи клемм, приходят в движение и действуют своим
электрическим полем на соседние заряды. Со скоростью, близкой к скорости света, это взаи-
модействие передаётся вдоль всей цепи, и в цепи устанавливается постоянный электрический
13
То есть — постоянное, не зависящее от времени.
45

ток. Стабилизируется и электрическое поле, создаваемое движущимися зарядами.
Стационарное электрическое поле — это поле свободных зарядов проводника, совершающих
направленное движение.
Стационарное электрическое поле не меняется со временем потому, что при постоянном то-
ке не меняется картина распределения зарядов в проводнике: на место заряда, покинувшего
данный участок проводника, в следующий момент времени поступает точно такой же заряд.
По этой причине стационарное поле во многом (но не во всём) аналогично полю электростати-
ческому.
А именно, справедливы следующие два утверждения, которые понадобятся нам в дальней-
шем (их доказательство даётся в вузовском курсе физики).
1. Как и электростатическое поле, стационарное электрическое поле потенциально. Это поз-
воляет говорить о разности потенциалов (т. е. напряжении) на любом участке цепи
14
.
Потенциальность, напомним, означает, что работа стационарного поля по перемещению
заряда не зависит от формы траектории. Именно поэтому при параллельном соединении
проводников напряжение на каждом из них одинаково: оно равно разности потенциалов
стационарного поля между теми двумя точками, к которым подключены проводники.
2. В отличие от электростатического поля, стационарное поле движущихся зарядов прони-
кает внутрь проводника. Это объясняется тем, что свободные заряды, участвуя в направ-
ленном движении, не успевают должным образом перестраиваться и принимать «элек-
тростатические» конфигурации.
Линии напряжённости стационарного поля внутри проводника параллельны его поверх-
ности, как бы ни изгибался проводник. Поэтому, как и в однородном электростатическом
поле, справедлива формула U = El, где U — напряжение на концах проводника, E —
напряжённость стационарного поля в проводнике, l — длина проводника.
14
Именно эту разность потенциалов мы измеряем вольтметром.
46

9
Закон Ома
Рассмотрим некоторый элемент электрической цепи постоянного тока. Это может быть что
угодно — например, металлический проводник, раствор электролита, лампочка накаливания
или газоразрядная трубка.
Будем менять напряжение U , поданное на наш элемент, и измерять силу тока I, протекаю-
щего через него. Получим функциональную зависимость I = I(U ). Эта зависимость называется
вольт-амперной характеристикой элемента и является важнейшим показателем его электри-
ческих свойств.
Вольт-амперные характеристики различных элементов цепи могут выглядеть по-разному.
Очень простой вид имеет вольт-амперная характеристика металлического проводника. Эту за-
висимость экспериментально установил Георг Ом.
9.1
Закон Ома для участка цепи
Оказалось, что сила тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению
на его концах: I ∼ U . Коэффициент пропорциональности принято записывать в виде 1/R:
I =
U
R
.
(46)
Величина R называется сопротивлением проводника. Измеряется сопротивление в омах
(Ом). Как видим, Ом=В/А.
Дадим словесную формулировку закона Ома.
Закон Ома для участка цепи. Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напря-
жению на этом участке и обратно пропорциональна сопротивлению участка.
Закон Ома оказался справедливым не только для металлов, но и для растворов электроли-
тов.
Сформулированный закон имеет место для так называемого однородного участка цепи —
участка, не содержащего источников тока. Закон Ома для неоднородного участка (на котором
имеется источник тока) мы обсудим позже.
Вольт-амперная характеристика (
46
) является линейной функцией. Её графиком служит
прямая линия (рис.
35
).
U
I
Рис. 35. Вольт-амперная характеристика металлического проводника
По этой причине металлические проводники (и электролиты) называются линейными эле-
ментами. А вот газоразрядная трубка, например, является нелинейным элементом — её вольт-
амперная характеристика уже не будет линейной функцией. Но об этом мы поговорим позднее.
47

9.2
Электрическое сопротивление
А сейчас давайте подумаем вот о чём. Пусть к концам проводника приложено постоянное на-
пряжение U . Тогда на свободные заряды проводника действует сила со стороны стационарного
электрического поля. Раз есть сила — значит, эти заряды должны двигаться с ускорением; ско-
рость их направленного движения будет увеличиваться, а вместе с ней будет возрастать и сила
тока. Но закон Ома гласит, что сила тока будет постоянной. Как же так?
Дело в том, что сила со стороны стационарного поля — не единственная сила, действующая
на свободные заряды проводника.
Например, свободные электроны металла, совершая направленное движение, сталкиваются
с ионами кристаллической решётки. Возникает своего рода сила сопротивления, действующая
со стороны проводника на свободные заряды. Эта сила уравновешивает электрическую силу, с
которой на свободные заряды действует стационарное поле. В результате скорость направлен-
ного движения заряженных частиц не меняется по модулю
15
; вместе с ней остаётся постоянной
и сила тока.
Так что величина R названа сопротивлением не случайно. Она и в самом деле показывает,
в какой степени проводник «сопротивляется» прохождению тока.
9.3
Удельное сопротивление
Возьмём два проводника из одинакового материала с равными поперечными сечениями; пусть
отличаются только их длины. Ясно, что сопротивление будет больше у того проводника, у
которого больше длина. В самом деле, при большей длине проводника свободным зарядам
труднее пройти сквозь него: каждый свободный электрон встретит на своём пути больше ионов
кристаллической решётки. Аналогия такая: чем длиннее заполненная машинами улица, тем
труднее будет через неё проехать.
Пусть теперь проводники отличаются только площадью поперечного сечения. Ясно, что чем
больше площадь, тем меньше сопротивление проводника. Снова аналогия: чем шире шоссе, тем
больше его пропускная способность, т. е. тем меньше его «сопротивление» движению машин.
Опыт подтверждает эти соображения и показывает, что сопротивление проводника прямо
пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:
R = ρ
l
S
.
(47)
Коэффициент пропорциональности ρ уже не зависит от геометрии проводника; он является
характеристикой вещества проводника и называется удельным сопротивлением данного веще-
ства. Величины удельных сопротивлений различных веществ можно найти в соответствующей
таблице.
В каких единицах измеряется удельное сопротивление? Давайте выразим его из форму-
лы (
47
):
ρ =
RS
l
.
Получим:
[ρ] =
Ом · м
2
м
= Ом · м.
Однако такая «теоретическая» единица измерения не всегда удобна. Она вынуждает при
расчётах переводить площадь поперечного сечения в квадратные метры, тогда как на практике
15
Точнее говоря, свободные электроны всё же двигаются равноускоренно, но только в промежутках между
соударениями с ионами кристаллической решётки. В среднем же оказывается, что электроны перемещаются с
постоянной скоростью.
48

чаще всего речь идёт о квадратных миллиметрах (для проводов, например). На такой случай
предусмотрена «практическая» единица:
Ом · мм
2
м
.
В таблице задачника Рымкевича удельное сопротивление даётся как в «теоретических» едини-
цах, так и в «практических».
49

10
Соединения проводников
Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и
параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соедине-
ний приводят к смешанному соединению проводников.
Мы будем изучать свойства этих соединений, но сначала нам понадобится некоторая вводная
информация.
10.1
Резисторы и подводящие провода
Проводник, обладающий сопротивлением R, мы называем резистором и изображаем следую-
щим образом (рис.
36
):
R
Рис. 36. Резистор
Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического по-
ля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но
обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока.
Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стаци-
онарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так.
Пусть положительный заряд q перемещается по цепи из точки a в точку b, проходя через
резистор R (рис.
37
):
R
a
b
I
Рис. 37. U = ϕ
a
− ϕ
b
Стационарное поле совершает при этом положительную работу A = q(ϕ
a
− ϕ
b
). Так как
q > 0 и A > 0, то и ϕ
a
− ϕ
b
> 0, т. е. ϕ
a
> ϕ
b
.
Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении
тока: U = ϕ
a
− ϕ
b
.
Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах
оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль
провода: ведь если ϕ
a
− ϕ
b
= IR и R = 0, то ϕ
a
= ϕ
b
(рис.
38
):
a
b
I
Рис. 38. ϕ
a
= ϕ
b
Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, ко-
торая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного
поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соеди-
нительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает
при движении от положительной клеммы источника к отрицательной.
50

10.2
Последовательное соединение
При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с на-
чалом следующего за ним проводника.
Рассмотрим два резистора R
1
и R
2
, соединённых последовательно и подключённых к источ-
нику постоянного напряжения U (рис.
39
). Напомним, что положительная клемма источника
обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке.
a
b
c
R
1
R
2
I
U
Рис. 39. Последовательное соединение
Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на
этом простом примере.
1. При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова.
В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет
проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не
уходят и не поступают в цепь извне.
2. Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно
сумме напряжений на каждом проводнике.
Действительно, напряжение U
ab
на участке ab — это работа поля по переносу единичного
заряда из точки a в точку b; напряжение U
bc
на участке bc — это работа поля по переносу
единичного заряда из точки b в точку c. Складываясь, эти две работы дадут работу поля
по переносу единичного заряда из точки a в точку c, то есть напряжение U на всём участке:
U = U
ab
+ U
bc
.
Можно и более формально, без всяких словесных объяснений:
U = U
ac
= ϕ
a
− ϕ
c
= (ϕ
a
− ϕ
b
) + (ϕ
b
− ϕ
c
) = U
ab
+ U
bc
.
3. Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, рав-
но сумме сопротивлений каждого проводника.
Пусть R — сопротивление участка ac. По закону Ома имеем:
R =
U
I
=
U
ab
+ U
bc
I
=
U
ab
I
+
U
bc
I
= R
1
+ R
2
,
что и требовалось.
Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном
частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового ве-
щества и с одинаковой площадью поперечного сечения S, но с разными длинами l
1
и l
2
.
Сопротивления проводников равны:
R
1
= ρ
l
1
S
,
R
2
= ρ
l
2
S
.
51

Эти два проводника образуют единый проводник длиной l
1
+ l
2
и сопротивлением
R = ρ
l
1
+ l
2
S
= ρ
l
1
S
+ ρ
l
2
S
= R
1
+ R
2
.
Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом
общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения.
Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше.
Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух провод-
ников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников.
10.3
Параллельное соединение
При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а
концы — к другой точке.
Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис.
40
).
R
1
R
2
a
b
I
I
1
I
2
U
Рис. 40. Параллельное соединение
Резисторы подсоединены к двум точкам: a и b. Эти точки называются узлами или точками
разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от b к a (по
направлению тока) называется неразветвлённой частью цепи.
Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого
выше случая двух резисторов.
1. Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвлённой ча-
сти цепи.
В самом деле, оба напряжения U
1
и U
2
на резисторах R
1
и R
2
равны разности потенциалов
между точками подключения:
U
1
= U
2
= ϕ
a
− ϕ
b
= U.
Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного
электрического поля движущихся зарядов.
2. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви.
Пусть, например, в точку a за время t из неразветвлённого участка поступает заряд q. За
это же время t из точки a к резистору R
1
уходит заряд q
1
, а к резистору R
2
— заряд q
2
.
52

Ясно, что q = q
1
+ q
2
. В противном случае в точке a накапливался бы заряд, меняя по-
тенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов
стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:
I =
q
t
=
q
1
+ q
2
t
=
q
1
t
+
q
2
t
= I
1
+ I
2
,
что и требовалось.
3. Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме ве-
личин, обратных сопротивлениям ветвей.
Пусть R — сопротивление разветвлённого участка ab. Напряжение на участке ab равно U ;
ток, текущий через этот участок, равен I. Поэтому:
U
R
= I = I
1
+ I
2
=
U
R
1
+
U
R
2
.
Сокращая на U , получим:
1
R
=
1
R
1
+
1
R
2
,
(48)
что и требовалось.
Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила
на частном примере, не обращаясь к закону Ома.
Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами l,
но разными поперечными сечениями S
1
и S
2
. Тогда это соединение можно рассматривать
как проводник той же длины l, но с площадью сечения S = S
1
+ S
2
. Имеем:
1
R
=
S
ρl
=
S
1
+ S
2
ρl
=
S
1
ρl
+
S
2
ρl
=
1
R
1
+
1
R
2
.
Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных измене-
ний переносятся на случай любого числа проводников.
Из соотношения (
48
) можно найти R:
R =
R
1
R
2
R
1
+ R
2
.
(49)
К сожалению, в общем случае n параллельно соединённых проводников компактного ана-
лога формулы (
49
) не получается, и приходится довольствоваться соотношением
1
R
=
1
R
1
+
1
R
2
+ . . . +
1
R
n
.
(50)
Тем не менее, один полезный вывод из формулы (
50
) сделать можно. Именно, пусть сопро-
тивления всех n резисторов одинаковы и равны R
1
. Тогда:
1
R
=
1
R
1
+
1
R
1
+ . . . +
1
R
1
|
{z
}
n слагаемых
=
n
R
1
,
откуда
R =
R
1
n
.
Мы видим, что сопротивление участка из n параллельно соединённых одинаковых проводников
в n раз меньше сопротивления одного проводника.
53

10.4
Смешанное соединение
Смешанное сединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью
любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих со-
единений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.
Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и
параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить
данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.
Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис.
41
).
a
b
c
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
U
Рис. 41. Смешанное соединение
Пусть U = 14 В, R
1
= 2 Ом, R
2
= 3 Ом, R
3
= 3 Ом, R
4
= 5 Ом, R
5
= 2 Ом. Найдём силу
тока в цепи и в каждом из резисторов.
Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков ab и bc. Сопротивление
участка ab:
R
ab
=
R
1
R
2
R
1
+ R
2
=
2 · 3
2 + 3
= 1,2 Ом.
Участок bc является параллельным соединением: два последовательно включённых рези-
стора R
3
и R
4
подключены параллельно к резистору R
5
. Тогда:
R
bc
=
(R
3
+ R
4
)R
5
(R
3
+ R
4
) + R
5
=
(3 + 5) · 2
(3 + 5) + 2
= 1,6 Ом.
Сопротивление цепи:
R = R
ab
+ R
bc
= 1,2 + 1,6 = 2,8 Ом.
Теперь находим силу тока в цепи:
I =
U
R
=
14
2,8
= 5 A.
Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:
U
ab
= IR
ab
= 5 · 1,2 = 6 B;
U
bc
= IR
bc
= 5 · 1,6 = 8 B.
(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна 14 В, т. е. напряжению в цепи, как и
должно быть при последовательном соединении.)
Оба резистора R
1
и R
2
находятся под напряжением U
ab
, поэтому:
I
1
=
U
ab
R
1
=
6
2
= 3 A;
I
2
=
U
ab
R
2
=
6
3
= 2 A.
54

(В сумме имеем 5 А, как и должно быть при параллельном соединении.)
Сила тока в резисторах R
3
и R
4
одинакова, так как они соединены последовательно:
I
3
= I
4
=
U
bc
R
3
+ R
4
=
8
3 + 5
= 1 A.
Стало быть, через резистор R
5
течёт ток I
5
= I − I
3
= 5 − 1 = 4 A.
55

11
Работа и мощность тока
Электрический ток снабжает нас энергией. Сейчас мы будем учиться эту энергию вычислять.
Откуда вообще берётся эта энергия? Она возникает за счёт работы электрического поля
по передвижению свободных зарядов в проводнике. Поэтому нахождение работы поля — наша
первая задача.
11.1
Работа тока
Рассмотрим участок цепи, по которому течёт ток I. Напряжение на участке обозначим U ,
сопротивление участка равно R (рис.
42
).
R
I
U
Рис. 42. Участок цепи
За время t по нашему участку проходит заряд q = It. Заряд перемещается стационарным
электрическим полем, которое совершает при этом работу:
A = U q = U It.
(51)
За счёт работы (
51
) на рассматриваемом участке может выделяться тепловая энергия или
совершаться механическая работа; могут также протекать химические реакции. Короче говоря,
данная работа идёт на увеличение энергии нашего участка цепи.
Работа (
51
) называется работой тока. Термин крайне неудачный — ведь работу совершает
не ток, а электрическое поле. Но с укоренившейся терминологией, увы, ничего не поделаешь.
Если участок цепи является однородным, т. е. не содержит источника тока, то для этого
участка справедлив закон Ома: U = IR. Подставляя это в формулу (
51
), получим:
A = I
2
Rt.
(52)
Теперь подставим в (
51
) вместо тока его выражение из закона Ома I = U/R:
A =
U
2
R
t.
(53)
Подчеркнём ещё раз: формула (
51
) получена из самых общих соображений, она является
основной и годится для любого участка цепи. А вот формулы (
52
) и (
53
) получены из основной
формулы с дополнительным привлечением закона Ома и потому годятся только для однород-
ного участка.
11.2
Мощность тока
Как вы помните, мощностью называется отношение работы ко времени её совершения. В част-
ности, мощность тока — это отношение работы тока ко времени, за которое эта работа совер-
шена:
P =
A
t
.
56

Из формул (
51
)–(
53
) немедленно получаем соответствующие формулы для мощности тока:
P = U I;
(54)
P = I
2
R;
(55)
P =
U
2
R
.
(56)
11.3
Закон Джоуля–Ленца
Предположим, что на рассматриваемом участке цепи не совершается механическая работа и
не протекают химические реакции. Поскольку сила тока постоянна, работа поля не вызывает
увеличение кинетической энергии свободных зарядов. Стало быть, работа поля A целиком пре-
вращается в тепло Q, которое выделяется на данном участке цепи и рассеивается в окружающее
пространство: A = Q.
Таким образом, для количества теплоты, выделяющегося на данном участке цепи, мы по-
лучаем формулы:
Q = U It;
(57)
Q = I
2
Rt;
(58)
Q =
U
2
R
t.
(59)
Но часто бывает так, что не вся работа тока превращается в тепло. Например, за счёт работы
тока может совершать механическую работу электродвигатель или заряжаться аккумулятор.
Тепло, разумеется, будет выделяться и в этих случаях, но только на сей раз получится, что
Q < A (на величину механической работы, совершённой двигателем, или химической энергии,
запасённой аккумулятором).
Оказывается, что в подобных случаях остаётся справедливой формула (
58
): Q = I
2
Rt. Это —
экспериментально установленный закон Джоуля-Ленца.
57

12
ЭДС. Закон Ома для полной цепи
До сих пор при изучении электрического тока мы рассматривали направленное движение сво-
бодных зарядов во внешней цепи, то есть в проводниках, подсоединённых к клеммам источника
тока.
Как мы знаем, положительный заряд q:
• уходит во внешнюю цепь с положительной клеммы источника;
• перемещается во внешней цепи под действием стационарного электрического поля, созда-
ваемого другими движущимися зарядами;
• приходит на отрицательную клемму источника, завершая свой путь во внешней цепи.
Теперь нашему положительному заряду q нужно замкнуть свою траекторию и вернуться на
положительную клемму. Для этого ему требуется преодолеть заключительный отрезок пути —
внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Но вдумайтесь: идти туда
ему совсем не хочется! Отрицательная клемма притягивает его к себе, положительная клемма
его от себя отталкивает, и в результате на наш заряд внутри источника действует электрическая
сила ~
F
эл
, направленная против движения заряда (т. е. против направления тока).
12.1
Сторонняя сила
Тем не менее, ток по цепи идёт; стало быть, имеется сила, «протаскивающая» заряд сквозь
источник вопреки противодействию электрического поля клемм (рис.
43
).
+
q
~
F
ст
~
F
эл
Рис. 43. Сторонняя сила
Эта сила называется сторонней силой; именно благодаря ей и функционирует источник
тока. Сторонняя сила ~
F
ст
не имеет отношения к стационарному электрическому полю — у неё,
как говорят, неэлектрическое происхождение; в батарейках, например, она возникает благодаря
протеканию соответствующих химических реакций.
Обозначим через A
ст
работу сторонней силы по перемещению положительного заряда q
внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Эта работа положительна,
так как направление сторонней силы совпадает с направлением перемещения заряда. Работа
сторонней силы A
ст
называется также работой источника тока.
Во внешней цепи сторонняя сила отсутствует, так что работа сторонней силы по переме-
щению заряда во внешней цепи равна нулю. Поэтому работа сторонней силы по перемещению
заряда q вокруг всей цепи сводится к работе по перемещению этого заряда только лишь внут-
ри источника тока. Таким образом, A
ст
— это также работа сторонней силы по перемещению
заряда по всей цепи.
58

Мы видим, что сторонняя сила является непотенциальной — её работа при перемещении
заряда по замкнутому пути не равна нулю. Именно эта непотенциальность и обеспечивает цир-
кулирование электрического тока; потенциальное электрическое поле, как мы уже говорили
ранее, не может поддерживать постоянный ток.
Опыт показывает, что работа A
ст
прямо пропорциональна перемещаемому заряду q. По-
этому отношение A
ст
/q уже не зависит от заряда и является количественной характеристикой
источника тока. Это отношение обозначается
E:
E =
A
ст
q
.
(60)
Данная величина называется электродвижущей силой (ЭДС) источника тока. Как видим,
ЭДС измеряется в вольтах (В), поэтому название «электродвижущая сила» является крайне
неудачным. Но оно давно укоренилось, так что приходится смириться.
Когда вы видите надпись на батарейке: «1,5 В», то знайте, что это именно ЭДС. Равна ли эта
величина напряжению, которое создаёт батарейка во внешней цепи? Оказывается, нет! Сейчас
мы поймём, почему.
12.2
Закон Ома для полной цепи
Любой источник тока обладает своим сопротивлением r, которое называется внутренним со-
противлением этого источника. Таким образом, источник тока имеет две важных характери-
стики: ЭДС и внутреннее сопротивление.
Пусть источник тока с ЭДС, равной
E, и внутренним сопротивлением r подключён к рези-
стору R (который в данном случае называется внешним резистором, или внешней нагрузкой,
или полезной нагрузкой). Всё это вместе называется полной цепью (рис.
44
).
R
a
b
E, r
Рис. 44. Полная цепь
Наша задача — найти силу тока I в цепи и напряжение U на резисторе R.
За время t по цепи проходит заряд q = It. Согласно формуле (
60
) источник тока совершает
при этом работу:
A
ст
=
Eq = EIt.
(61)
Так как сила тока постоянна, работа источника целиком превращается в теплоту, кото-
рая выделяется на сопротивлениях R и r. Данное количество теплоты определяется законом
Джоуля–Ленца:
Q = I
2
Rt + I
2
rt = I
2
(R + r)t.
(62)
Итак, A
ст
= Q, и мы приравниваем правые части формул (
61
) и (
62
):
EIt = I
2
(R + r)t.
После сокращения на It получаем:
E = I(R + r).
59

Вот мы и нашли ток в цепи:
I =
E
R + r
.
(63)
Формула (
63
) называется законом Ома для полной цепи.
Если соединить клеммы источника проводом пренебрежимо малого сопротивления (R = 0),
то получится короткое замыкание. Через источник при этом потечёт максимальный ток — ток
короткого замыкания:
I
кз
=
E
r
.
Из-за малости внутреннего сопротивления ток короткого замыкания может быть весьма боль-
шим. Например, пальчиковая батарейка разогревается при этом так, что обжигает руки.
Зная силу тока (формула (
63
)), мы можем найти напряжение на резисторе R с помощью
закона Ома для участка цепи:
U = IR =
ER
R + r
.
(64)
Это напряжение является разностью потенциалов между точками a и b (рис. 2). Потенциал
точки a равен потенциалу положительной клеммы источника; потенциал точки b равен потен-
циалу отрицательной клеммы. Поэтому напряжение (
64
) называется также напряжением на
клеммах источника.
Мы видим из формулы (
64
), что в реальной цепи будет U <
E — ведь E умножается на
дробь, меньшую единицы. Но есть два случая, когда U =
E.
1. Идеальный источник тока. Так называется источник с нулевым внутренним сопротивле-
нием. При r = 0 формула (
64
) даёт U =
E.
2. Разомкнутая цепь. Рассмотрим источник тока сам по себе, вне электрической цепи. В
этом случае можно считать, что внешнее сопротивление бесконечно велико: R = ∞. Тогда
величина R + r неотличима от R, и формула (
64
) снова даёт нам U =
E.
Смысл этого результата прост: если источник не подключён к цепи, то идеальный вольт-
метр
16
, подсоединённый к полюсам источника, покажет его ЭДС.
12.3
КПД электрической цепи
Нетрудно понять, почему резистор R называется полезной нагрузкой. Представьте себе, что
это лампочка. Теплота, выделяющаяся на лампочке, является полезной, так как благодаря этой
теплоте лампочка выполняет своё предназначение — даёт свет.
Количество теплоты, выделяющееся на полезной нагрузке R за время t, обозначим Q
полезн
.
Если сила тока в цепи равна I, то
Q
полезн
= I
2
Rt.
Некоторое количество теплоты выделяется также на источнике тока:
Q
ист
= I
2
rt.
Полное количество теплоты, которое выделяется в цепи, равно:
Q
полн
= Q
полезн
+ Q
ист
= I
2
Rt + I
2
rt = I
2
(R + r)t.
КПД электрической цепи — это отношение полезного тепла к полному:
η =
Q
полезн
Q
полн
=
I
2
Rt
I
2
(R + r)t
=
R
R + r
.
КПД цепи равен единице лишь в том случае, если источник тока идеальный (r = 0).
16
Вольтметр называется идеальным, если его сопротивление бесконечно велико. Подключение идеального
вольтметра не приводит к искажениям тока в цепи.
60

12.4
Закон Ома для неоднородного участка
Простой закон Ома U = IR справедлив для так называемого однородного участка цепи — то
есть участка, на котором нет источников тока. Сейчас мы получим более общие соотношения,
из которых следует как закон Ома для однородного участка, так и полученный выше закон
Ома для полной цепи.
Участок цепи называется неоднородным, если на нём имеется источник тока. Иными слова-
ми, неоднородный участок — это участок с ЭДС.
На рис.
45
показан неоднородный участок, содержащий резистор R и источник тока. ЭДС
источника равна
E, его внутреннее сопротивление считаем равным нулю
17
.
a
R
b
E
I
Рис. 45. ЭДС «помогает» току: ϕ
a
− ϕ
b
+
E = IR
Сила тока на участке равна I, ток течёт от точки a к точке b. Этот ток не обязательно
вызван одним лишь источником
E. Рассматриваемый участок, как правило, входит в состав
некоторой цепи (не изображённой на рисунке), а в этой цепи могут присутствовать и другие
источники тока. Поэтому ток I является результатом совокупного действия всех источников,
имеющихся в цепи.
Пусть потенциалы точек a и b равны соответственно ϕ
a
и ϕ
b
. Подчеркнём ещё раз, что речь
идёт о потенциале стационарного электрического поля, порождённого действием всех источни-
ков цепи — не только источника, принадлежащего данному участку, но и, возможно, имеющихся
вне этого участка.
Напряжение на нашем участке равно: U = ϕ
a
− ϕ
b
. За время t через участок проходит заряд
q = It, при этом стационарное электрическое поле совершает работу:
A
поля
= U q = U It.
Кроме того, положительную работу совершает источник тока (ведь заряд q прошёл сквозь
него!):
A
ст
=
Eq = EIt.
Сила тока постоянна, поэтому суммарная работа по продвижению заряда q, совершаемая
на участке стационарным элетрическим полем и сторонними силами источника, целиком пре-
вращается в тепло: A
поля
+ A
ст
= Q. Подставляем сюда выражения для A
поля
, A
ст
и закон
Джоуля–Ленца:
U It +
EIt = I
2
Rt.
Сокращая на It, получаем закон Ома для неоднородного участка цепи:
U +
E = IR,
(65)
или, что то же самое:
ϕ
a
− ϕ
b
+
E = IR.
(66)
Обратите внимание: перед
E стоит знак «плюс». Причину этого мы уже указывали — ис-
точник тока в данном случае совершает положительную работу, «протаскивая» внутри себя
заряд q от отрицательной клеммы к положительной. Попросту говоря, источник «помогает»
току протекать от точки a к точке b.
Отметим два следствия выведенных формул (
65
) и (
66
).
17
Если внутреннее сопротивление источника равно r, можно просто заменить резистор R на резистор R + r.
61

1. Если участок однородный, то
E = 0. Тогда из формулы (
65
) получаем U = IR — закон
Ома для однородного участка цепи.
2. Предположим, что источник тока обладает внутренним сопротивлением r. Это, как мы
уже упоминали, равносильно замене R на R + r:
ϕ
a
− ϕ
b
+
E = I(R + r).
Теперь замкнём наш участок, соединив точки a и b. Получим рассмотренную выше полную
цепь. При этом окажется, что ϕ
a
= ϕ
b
, и предыдущая формула превратится в закон Ома
для полной цепи:
E = I(R + r).
Таким образом, закон Ома для однородного участка и закон Ома для полной цепи оба
вытекают из закона Ома для неоднородного участка.
Может быть и другой случай подключения, когда источник
E «мешает» току идти по участ-
ку. Такая ситуация изображена на рис.
46
. Здесь ток, идущий от a к b, направлен против дей-
ствия сторонних сил источника.
a
R
b
E
I
Рис. 46. ЭДС «мешает» току: ϕ
a
− ϕ
b
−
E = IR
Как такое возможно? Очень просто: другие источники, имеющиеся в цепи вне рассматрива-
емого участка, «пересиливают» источник на участке и вынуждают ток течь против
E. Именно
так происходит, когда вы ставите телефон на зарядку: подключённый к розетке адаптер вызы-
вает движение зарядов против действия сторонних сил аккумулятора телефона, и аккумулятор
тем самым заряжается!
Что изменится теперь в выводе наших формул? Только одно — работа сторонних сил станет
отрицательной:
A
ст
= −
Eq = −EIt.
Тогда закон Ома для неоднородного участка примет вид:
ϕ
a
− ϕ
b
−
E = IR,
(67)
или:
U −
E = IR,
где по-прежнему U = ϕ
a
− ϕ
b
— напряжение на участке.
Давайте соберём вместе формулы (
66
) и (
67
) и запишем закон Ома для участка с ЭДС
следующим образом:
ϕ
a
− ϕ
b
±
E = IR.
Ток при этом течёт от точки a к точке b. Если направление тока совпадает с направлением
сторонних сил, то перед
E ставится «плюс»; если же эти направления противоположны, то
ставится «минус».
62

13
Электрический ток в металлах
В этом разделе мы приступаем к подробному изучению того, как осуществляется прохождение
электрического тока в различных проводящих средах — твёрдых телах, жидкостях и газах.
Напомним, что необходимым условием возникновения тока является наличие в среде доста-
точно большого количества свободных зарядов, которые могут начать упорядоченное движение
под действием электрического поля. Такие среды как раз и называются проводниками элек-
трического тока.
Наиболее широко распространены металлические проводники. Поэтому начинаем мы с во-
просов распространения электрического тока в металлах.
Мы много раз говорили о свободных электронах, которые являются носителями свободных
зарядов в металлах. Вам хорошо известно, что электрический ток в металлическом проводнике
образуется в результате направленного движения свободных электронов.
13.1
Свободные электроны
Металлы в твёрдом состоянии имеют кристаллическую структуру: расположение атомов в про-
странстве характеризуется периодической повторяемостью и образует геометрически правиль-
ный рисунок, называемый кристаллической решёткой.
Атомы металлов имеют небольшое число валентных электронов, расположенных на внеш-
ней электронной оболочке. Эти валентные электроны слабо связаны с ядром, и атом легко
может их потерять.
Когда атомы металла занимают места в кристаллической решётке, валентные электроны
покидают свои оболочки — они становятся свободными и отправляются «гулять» по всему
кристаллу
18
. В узлах кристаллической решётки металла остаются положительные ионы, про-
странство между которыми заполнено «газом» свободных электронов (рис.
47
).
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Рис. 47. Свободные электроны
Свободные электроны и впрямь ведут себя подобно частицам газа
19
— совершая тепловое
движение, они хаотически снуют туда-сюда между ионами кристаллической решётки. Суммар-
ный заряд свободных электронов равен по модулю и противоположен по знаку общему заряду
положительных ионов, поэтому металлический проводник в целом оказывается электрически
нейтральным.
Газ свободных электронов является «клеем», на котором держится вся кристаллическая
структура проводника. Ведь положительные ионы отталкиваются друг от друга, так что кри-
сталлическая решётка, распираемая изнутри мощными кулоновскими силами, могла бы разле-
теться в разные стороны. Однако в то же самое время ионы металла притягиваются к обволаки-
18
А именно, свободные электроны перемещаются по внешним орбиталям соседних атомов. Эти орбитали пе-
рекрываются друг с другом вследствие близкого расположения атомов в кристаллической решётке, так что
свободные электроны оказываются «общей собственностью» всего кристалла.
19
Другой адекватный образ — электронное море, которое «омывает» кристаллическую решётку.
63

вающему их электронному газу и, как ни в чём не бывало, остаются на своих местах, совершая
лишь тепловые колебания в узлах кристаллической решётки вблизи положений равновесия.
Что произойдёт, если металлический проводник включить в замкнутую цепь, содержащую
источник тока? Свободные электроны продолжают совершать хаотическое тепловое движение,
но теперь — под действием возникшего внешнего электрического поля — они вдобавок начнут
перемещаться упорядоченно. Это направленное течение электронного газа, накладывающееся
на тепловое движение электронов, и есть электрический ток в металле
20
. Скорость упорядо-
ченного движения электронов в металлическом проводнике, как нам уже известно, составляет
порядка 0,1 мм/с.
13.2
Опыт Рикке
Почему мы решили, что ток в металлах создаётся движением именно свободных электронов?
Положительные ионы кристаллической решётки также испытывают на себе действие внешнего
электрического поля. Может, они тоже перемещаются внутри металлического проводника и
участвуют в создании тока?
Упорядоченное движение ионов означало бы постепенный перенос вещества вдоль направ-
ления электрического тока. Поэтому надо просто пропускать ток по проводнику на протяжении
весьма длительного времени и посмотреть, что в итоге получится. Такого рода эксперимент и
был поставлен Э. Рикке в 1901 году.
В электрическую цепь были включены три прижатых друг к другу цилиндра: два медных
по краям и один алюминиевый между ними (рис.
48
). По этой цепи пропускался электрический
ток в течение года.
Cu
Al
Cu
+
−
I
Рис. 48. Опыт Рикке
За год сквозь цилиндры прошёл заряд более трёх миллионов кулон. Предположим, что
каждый атом металла теряет по одному валентному электрону, так что заряд иона равен эле-
ментарному заряду e = 1,6 · 10
−19
Кл. Если ток создаётся движением положительных ионов,
то нетрудно подсчитать (сделайте это сами!), что такая величина прошедшего по цепи заряда
соответствует переносу вдоль цепи около 2 кг меди.
Однако после разъединения цилиндров было обнаружено лишь незначительное проникно-
вение металлов друг в друга, обусловленное естественной диффузией их атомов (и не более
того). Электрический ток в металлах не сопровождается переносом вещества, поэтому по-
ложительные ионы металла не принимают участия в создании тока.
13.3
Опыт Стюарта–Толмена
Прямое экспериментальное доказательство того, что электрический ток в металлах создаётся
движением свободных электронов, было дано в опыте Т. Стюарта и Р. Толмена (1916 год).
20
Поэтому свободные электроны называются также электронами проводимости.
64

Эксперименту Стюарта–Толмена предшествовали качественные наблюдения, сделанные че-
тырьмя годами ранее русскими физиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. Они об-
ратили внимание на так называемый электроинерционный эффект: если резко затормозить
движущийся проводник, то в нём возникает кратковременный импульс тока. Эффект объяс-
няется тем, что в течение небольшого времени после торможения проводника его свободные
заряды продолжают двигаться по инерции.
Рис. 49. Опыт Стюарта–Толмена
Однако никаких количественных результатов Ман-
дельштам и Папалекси не получили, и наблюдения их
опубликованы не были. Честь назвать опыт своим име-
нем принадлежит Стюарту и Толмену, которые не толь-
ко наблюдали указанный электроинерционный эффект,
но и произвели необходимые измерения и расчёты.
Установка Стюарта и Толмена показана на рис.
49
.
Катушка большим числом витков металлического про-
вода приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси.
Концы обмотки с помощью скользящих контактов были
подсоединены к специальному прибору — баллистиче-
скому гальванометру, который позволяет измерять про-
ходящий через него заряд.
После резкого торможения катушки в цепи возникал
импульс тока. Направление тока указывало на то, что
он вызван движением отрицательных зарядов. Изме-
ряя баллистическим гальванометром суммарный заряд,
проходящий по цепи, Стюарт и Толмен вычислили от-
ношение q/m заряда одной частицы к её массе. Оно ока-
залось равно отношению e/m для электрона, которое в
то время уже было хорошо известно.
Так было окончательно выяснено, что носителя-
ми свободных зарядов в металлах являются свободные
электроны. Как видите, этот давно и хорошо знакомый
вам факт был установлен сравнительно поздно — учитывая, что металлические проводники к
тому моменту уже более столетия активно использовались в самых разнообразных экcперимен-
тах по электромагнетизму
21
.
13.4
Зависимость сопротивления от температуры
Опыт показывает, что при нагревании металлического проводника его сопротивление увеличи-
вается. Как это объяснить?
Причина проста: с повышением температуры тепловые колебания ионов кристаллической
решётки становятся более интенсивными, так что число соударений свободных электронов с
ионами возрастает. Чем активнее тепловое движение решётки, тем труднее электронам проби-
раться сквозь промежутки между ионами
22
. Скорость упорядоченного движения электронов
уменьшается, поэтому уменьшается и сила тока (при неизменном напряжении). Это и означает
увеличение сопротивления.
21
Сравните, например, с датой открытия закона Ома — 1826 год. Дело, однако, заключается в том, что сам
электрон был открыт лишь в 1897 году.
22
Представьте себе вращающуюся проходную дверь. В каком случае труднее проскочить через неё: когда она
вращается медленно или быстро? :-)
65

t
R
0
R
0
Рис. 50. R = R(t)
Как опять-таки показывает опыт, зависимость сопротивле-
ния R металлического проводника от температуры t с хорошей
точностью является линейной:
R = R
0
(1 + αt).
(68)
Здесь R
0
— сопротивление проводника при 0
◦
C. График за-
висимости (
68
) является прямой линией (рис.
50
).
Множитель α называется температурным коэффициентом
сопротивления. Его значения для различных металлов и сплавов можно найти в таблицах.
Длина проводника l и его площадь поперечного сечения S при изменении температуры
меняются несущественно. Выразим R и R
0
через удельное сопротивление:
R = ρ
l
S
,
R
0
= ρ
0
l
S
,
и подставим эти формулы в (
68
). Получим аналогичную зависимость удельного сопротивления
от температуры:
ρ = ρ
0
(1 + αt).
Коэффициент α весьма мал (для меди, например, α = 0,0043), так что температурной зави-
симостью сопротивления металла часто можно пренебречь. Однако в ряде случаев считаться
с ней приходиться. Например, вольфрамовая спираль электрической лампочки раскаляется до
такой степени, что её вольт-амперная характеристика оказывается существенно нелинейной.
U, В
I, А
0
2
4
6
8
10
12
1
2
Рис. 51. Вольт-амперная характеристика лампочки
Так, на рис.
51
приведена вольт-амперная характеристика автомобильной лампочки. Если
бы лампочка представляла собой идеальный резистор, её вольт-амперная характеристика была
прямой линией в соответствии с законом Ома. Эта прямая изображена синим пунктиром.
Однако по мере роста напряжения, приложенного к лампочке, график отклоняется от этой
прямой всё сильнее и сильнее. Почему? Дело в том, что с увеличением напряжения ток че-
рез лампочку возрастает и больше разогревает спираль; сопротивление спирали поэтому также
увеличивается. Следовательно, сила тока хотя и продолжит возрастать, но будет иметь всё
меньшее и меньшее значение по сравнению с тем, которое предписывается «пунктирной» ли-
нейной зависимостью тока от напряжения.
66

14
Электрический ток в электролитах
Электролитом мы называем раствор (или расплав) вещества, через который может идти элек-
трический ток; при этом исходное вещество проводником тока не является.
Например, кристаллы поваренной соли NaCl не проводят ток. Дистиллированная вода —
тоже диэлектрик. Однако при растворении соли в воде получается среда, через которую ток
отлично проходит! Следовательно, солёная вода будет электролитом
23
.
Электролитами оказываются растворы солей, кислот и оснований. Прохождение тока через
эти растворы означает, что в них имеются свободные заряды. Откуда же они там берутся, если
ни в воде, ни в исходном веществе свободных зарядов не было?
14.1
Электролитическая диссоциация
Механизм, обеспечивающий появление свободных зарядов в электролите, называется электро-
литической диссоциацией. Мы ограничимся рассмотрением электролитической диссоциации в
растворах.
Вообще, диссоциация — это распад молекулы на составные части под влиянием тех или иных
факторов. В процессе электролитической диссоциации молекулы растворяемого вещества рас-
падаются на положительные и отрицательные ионы в результате действия электрических
сил со стороны молекул воды.
Многие свойства воды объясняются тем, что её молекулы являются полярными, то есть в
электрическом отношении ведут себя как диполи (напомним, что диполь — это система двух
одинаковых по модулю и противоположных по знаку зарядов, расположенных на небольшом
расстоянии друг от друга). Полярность молекул H
2
O обусловлена их геометрическим устрой-
ством (рис.
52
)
24
.
Рис. 52. Молекулы воды
Угол, образованный линиями центров атома кислорода и двух атомов водорода, составляет
примерно 104,5
◦
. Кроме того, электронные оболочки смещены в сторону кислорода. В результа-
те центры положительных и отрицательных зарядов оказываются пространственно разделён-
ными: «минусы» преобладают в кислородной части молекулы воды, а «плюсы» — в водородной
части.
Будучи диполями, молекулы воды создают вокруг себя электрическое поле и действуют
электрическими силами как друг на друга, так и на молекулы примесей
25
.
Почему же соли, кислоты и основания распадаются в воде на ионы? Всё дело в том, что
молекулы этих веществ также являются полярными. Давайте вернёмся к нашему примеру с
растворением поваренной соли NaCl.
23
Вот почему запрещено купаться во время грозы — в водоёмах всегда растворено некоторое количество солей.
При ударе молнии по воде пойдёт электрический ток.
24
Изображение с сайта
howyourbrainworks.net
.
25
Притягиваясь друг к другу противоположно заряженными частями, молекулы воды создают весьма прочные
связи. Вот почему столь велики удельная теплоёмкость и удельная теплота парообразования воды — на разрыв
этих связей требуется значительная энергия.
67

У атома натрия на внешнем электронном уровне находится один электрон. Он слабо связан с
атомом и всегда готов покинуть место своего обитания. У атома хлора на внешнем электронном
уровне семь электронов — одного как раз не хватает до полного комплекта. Атом хлора всегда
готов захватить себе недостающий электрон.
Поэтому при образовании молекулы NaCl внешний электрон атома натрия уходит к атому
хлора, и в результате молекула становится полярной — она состоит из положительного иона
Na
+
и отрицательного иона Cl
−
. Эта молекула схематически изображена на рис.
53
(атом хлора
крупнее, чем атом натрия).
Na
+
Cl
−
Рис. 53. Молекула NaCl
Иными словами, с электрической точки зрения молекула NaCl также оказывается диполем.
Взаимодействие двух сортов диполей — молекул H
2
O и NaCl — как раз и вызывает процесс
растворения.
На рис.
54
мы видим, как протекает этот процесс
26
. Более крупные зелёные шарики изоб-
ражают ионы хлора, более мелкие серые — ионы натрия.
Рис. 54. Электролитическая диссоциация: растворение NaCl в воде
Левая часть рисунка показывает ситуацию до начала растворения. Крупица соли в виде
небольшого кубического кристаллика
27
только что оказалась в воде.
Сразу же начинается «электрическая атака» со стороны молекул воды. Отрицательно за-
ряженные (кислородные) части молекул H
2
O обращаются к положительным ионам натрия, а
положительные (водородные) части молекулы воды — к отрицательным ионам хлора. Молеку-
лы NaCl начинают «растягиваться» разнонаправленными электрическими силами притяжения
к молекулам-диполям воды, и связь между ионами натрия и хлора, скрепляющая молекулу
соли, ослабевает.
В конце концов эта связь становится настолько слабой, что удары соседних частиц, совер-
шающих тепловое движение, разрушают молекулу NaCl. Она распадается на положительный
ион Na
+
и отрицательный ион Cl
−
.
26
Изображение с сайта
intro.chem.okstate.edu
.
27
Кристаллическая решётка поваренной соли имеет кубическую структуру. В вершинах куба в шахматном
порядке, крест-накрест расположены атомы натрия и хлора.
68

В правой части рис.
54
мы видим результат такого распада: вырванные из кристаллической
решётки ион хлора и ион натрия отправляются «в свободное плавание», окружённые прице-
пившимися к ним молекулами воды. Обратите внимание, что молекулы воды прилипли к отри-
цательному иону хлора своими положительными водородными частями, а к положительному
иону натрия, наоборот, повернулись их отрицательные кислородные части.
Таким образом, при растворении соли NaCl в воде появляются свободные заряды: положи-
тельные ионы Na
+
и отрицательные ионы Cl
−
(рис.
55
). Это и является необходимым условием
прохождения тока через раствор.
+
Na
+
Na
+
Na
−
Cl
−
Cl
−
Cl
Рис. 55. Раствор NaCl в воде
Описанный выше процесс растворения совершенно аналогично протекает и в случае других
примесей. Так, щёлочь KOH распадается в водном растворе на положительные ионы калия K
+
и
отрицательные ионы гидроксильной группы OH
−
. Молекула серной кислоты H
2
SO
4
при распаде
даёт два положительных иона H
+
и отрицательно заряженный ион кислотного остатка SO
2−
4
. В
растворе медного купороса CuSO
4
появляются положительные ионы меди Cu
2+
и отрицательно
заряженные ионы SO
2−
4
.
Все ли молекулы растворяемого вещества распадутся на ионы? Это зависит от ряда условий.
Степенью диссоциации называется отношение числа распавшихся молекул к общему началь-
ному числу молекул. При полном растворении вещества степень диссоциации равна 1.
Наряду с диссоциацией имеет место и обратный процесс: рекомбинация. А именно, две ча-
стицы противоположного знака могут встретиться и снова образовать нейтральную молекулу
(рекомбинировать). С течением времени в растворе устанавливается состояние динамического
равновесия: среднее число диссоциаций в единицу времени равно среднему числу рекомбина-
ций, в результате чего концентрация раствора остаётся неизменной (вспомните аналогичную
ситуацию с насыщенным паром: при динамическом равновесии пара и жидкости среднее чис-
ло вылетевших из жидкости молекул равно среднему числу молекул, вернувшихся обратно из
пара в жидкость, так что концентрация насыщенного пара неизменна).
Процессы диссоциации-рекомбинации записываются в виде следующих уравнений, отража-
ющих состояние динамического равновесия:
NaCl  Na
+
+ Cl
−
;
H
2
SO
4
 2H
+
+ SO
2−
4
;
CuSO
4
 Cu
2+
+ SO
2−
4
.
Изменение внешних условий может нарушить текущее динамическое равновесие и сместить
его в ту или иную сторону. Например, при повышении температуры увеличивается скорость
диссоциации, и концентрация положительных и отрицательных ионов в растворе возрастает.
69

14.2
Ионная проводимость
В металлах, как вы помните, имеется лишь один тип свободных зарядов — это свободные
электроны. В электролитах ситуация иная: здесь возникают свободные заряды двух типов.
1. Положительные ионы, образовавшиеся из атомов металлов или водорода.
2. Отрицательные ионы — атомные или молекулярные кислотные остатки (например, Cl
−
или SO
2−
4
), а также гидроксильная группа OH
−
.
Второе отличие от металлов заключается в том, что носители свободных зарядов в электро-
лите могут иметь заряд, равный по модулю как элементарному заряду e, так и целому числу
элементарных зарядов ze. Здесь z — валентность атома или группы атомов; например, при
растворении медного купороса имеем z = 2.
Если внешнего электрического поля нет, то свободные заряды электролита совершают лишь
хаотическое тепловое движение наряду с окружающими молекулами. Но при наложении внеш-
него поля положительные и отрицательные ионы начинают упорядоченное движение.
Поместим в сосуд с электролитом два электрода; один из электродов присоединим к поло-
жительной клемме источника тока, а другой — к отрицательной (рис.
56
). Когда речь идёт о
прохождении тока через электролиты, положительный электрод называют анодом, а отрица-
тельный — катодом
28
.
Катод
Анод
+
−
+
+
+
−
−
−
Рис. 56. Ионная проводимость электролита
В электрическом поле, возникшем между электродами, положительные ионы электролита
устремляются к «минусу» катода, а отрицательные ионы — к «плюсу» анода. Таким образом,
электрический ток в электролите образуется в результате встречного движения ионов:
положительных — к катоду, отрицательных — к аноду. Поэтому проводимость электролитов
называется ионной (в отличие от электронной проводимости металллов).
На положительном аноде имеется недостаток электронов. Отрицательные ионы, достигнув
анода, отдают ему свои лишние электроны; эти электроны отправляются по цепи к «плюсу»
источника.
Наоборот, на отрицательном катоде — избыток электронов. Положительные ионы, придя на
катод, забирают у него электроны, и это количество ушедших электронов немедленно воспол-
няется их доставкой на катод с «минуса» источника.
Таким образом, в той части цепи, которая состоит из источника тока и металлических
проводников, возникает циркуляция электронов по маршруту «анод → источник → катод».
Цепь замыкается электролитом, где электрический ток обеспечивается двусторонним движе-
нием ионов.
28
Имеется народная мудрость для запоминания знаков анода и катода: Андрей — парень положительный,
Катька — девка отрицательная ;-)
70

14.3
Электролиз
Положительные и отрицательные ионы, будучи носителями свободных зарядов, в то же время
являются частицами вещества. Поэтому важнейшее отличие тока в электролитах от тока в
металлах состоит в том, что электрический ток в электролите сопровождается переносом
вещества.
Явление переноса вещества при прохождении электрического тока через электролит назы-
вается электролизом. Законы электролиза были экспериментально изучены Фарадеем.
В процессе электролиза происходит разложение растворённого вещества на составные части
и выделение этих частей на электродах. Так, в растворе медного купороса CuSO
4
положитель-
ные ионы меди Cu
2+
идут на катод, в результате чего катод покрывается медью. Кислотный
остаток SO
2−
4
выделяется на аноде.
Естественным образом возникает вопрос о нахождении массы m вещества, выделяющего-
ся на электроде за определённое время t. Эта масса, очевидно, совпадает с массой данного
вещества, перенесённого током за время t через электролит.
Пусть m
1
— масса одного иона этого вещества, q
1
= ze — заряд иона (z — валентность
вещества). Предположим, что за время t через электролит прошёл заряд q. Число ионов, при-
шедших на электрод, тогда равно N = q/q
1
. Масса выделившегося на электроде вещества равна
суммарной массе пришедших ионов:
m = m
1
N = m
1
q
q
1
= kq.
(69)
Величина k = m
1
/q
1
является характеристикой вещества и называется его электрохимиче-
ским эквивалентом. Значения электрохимических эквивалентов различных веществ приводят-
ся в таблицах.
При протекании через электролит постоянного тока I за время t проходит заряд q = It.
Подставляя это в формулу (
69
), получим первую формулу Фарадея:
m = kIt.
(70)
Первый закон Фарадея. Масса выделяющегося на электроде вещества пропорциональна
силе тока, протекающего через электролит, и времени прохождения тока.
Теперь преобразуем выражение для электрохимического эквивалента, введя молярную мас-
су вещества:
k =
m
1
q
1
=
µ/N
A
ze
=
µ
zeN
A
.
Подставляя это выражение в (
70
), получим вторую формулу Фарадея:
m =
µ
zeN
A
It.
(71)
Второй закон Фарадея. Масса выделяющегося на электроде вещества прямо пропорцио-
нальна молярной массе этого вещества и обратно пропорциональна его валентности.
В формуле (
71
) мы видим произведение двух констант e и N
A
. Оно также является констан-
той и называется постоянной Фарадея:
F = eN
A
= 96485
Кл
моль
.
Формула (
71
) с постоянной Фарадея запишется так:
m =
µ
zF
It.
71

15
Электрический ток в газах
При обычных условиях газы состоят из электрически нейтральных атомов или молекул; сво-
бодных зарядов в газах почти нет. Поэтому газы являются диэлектриками — электрический
ток через них не проходит.
Мы сказали «почти нет», потому что на самом деле в газах и, в частности, в воздухе всегда
присутствует некоторое количество свободных заряженных частиц. Они появляются в резуль-
тате ионизирующего воздействия излучений радиоактивных веществ, входящих в состав земной
коры, ультрафиолетового и рентгеновского излучения Солнца, а также космических лучей —
потоков частиц высокой энергии, проникающих в атмосферу Земли из космического простран-
ства. Впоследствии мы вернёмся к этому факту и обсудим его важность, а сейчас заметим
лишь, что в обычных условиях проводимость газов, вызванная «естественным» количеством
свободных зарядов, пренебрежимо мала, и её можно не принимать во внимание.
На изолирующих свойствах воздушного промежутка основано действие переключателей в
электрических цепях (рис.
57
).
K
Рис. 57. Ключ K
Размыкание электрической цепи — это создание с помощью ключа K промежутка воздуха
между её контактами. Пройти сквозь этот промежуток электрический ток не сможет. Напри-
мер, небольшого воздушного зазора в выключателе оказывается достаточно, чтобы разомкнуть
электрическую цепь в вашей комнате и погасить свет.
Можно, однако, создать такие условия, при которых электрический ток в газовом проме-
жутке появится. Давайте рассмотрим следующий опыт.
Зарядим пластины воздушного конденсатора
29
и подсоединим их к чувствительному гальва-
нометру (рис.
58
, слева). При комнатной температуре и не слишком влажном воздухе гальвано-
метр не покажет заметного тока: наш воздушный промежуток, как мы и говорили, не является
проводником электричества.
+
−
Тока нет
+
−
Ток есть
Пламя
Рис. 58. Возникновение тока в воздухе
Теперь внесём в зазор между пластинами конденсатора пламя горелки или свечи (рис.
58
,
справа). Ток появляется! Почему?
29
Разумеется, напряжение на конденсаторе предполагается не очень высоким, чтобы не наступил пробой
воздуха. О том, что такое пробой газового промежутка, речь пойдёт ниже.
72

15.1
Свободные заряды в газе
Возникновение электрического тока между пластинами кондесатора означает, что в воздухе
под воздействием пламени появились свободные заряды. Какие именно?
Опыт показывает, что электрический ток в газах является упорядоченным движением за-
ряженных частиц трёх видов. Это электроны, положительные ионы и отрицательные ионы.
Давайте посмотрим, каким образом эти заряды могут появляться в газе.
При увеличении температуры газа тепловые колебания его частиц — молекул или атомов —
становятся всё интенсивнее. Удары частиц друг о друга достигают такой силы, что начинается
ионизация — распад нейтральных частиц на электроны и положительные ионы (рис.
59
).
+
e
−
e
−
+
Рис. 59. Ионизация
Степенью ионизации называется отношение числа распавшихся частиц газа к общему ис-
ходному числу частиц. Например, если степень ионизации равна 40%, то это означает, что 40%
исходных частиц газа распалось на положительные ионы и электроны.
Степень ионизации газа зависит от температуры и резко возрастает с её увеличением. У
водорода, например, при температуре ниже 10000
◦
C степень ионизации не превосходит 10%,
а при температуре выше 20000
◦
C степень ионизации близка к 100% (то есть водород почти
полностью ионизирован
30
).
Помимо высокой температуры имеются и другие факторы, вызывающие ионизацию газа.
Мы их уже вскользь упоминали: это радиоактивные излучения, ультрафиолетовые, рентге-
новские и гамма-лучи, космические частицы. Всякий такой фактор, являющийся причиной
ионизации газа, называется ионизатором.
Таким образом, ионизация происходит не сама по себе, а под воздействием ионизатора.
Одновременно идёт и обратный процесс — рекомбинация, то есть воссоединение электрона и
положительного иона в нейтральную частицу (рис.
60
).
+
e
−
e
−
+
Рис. 60. Рекомбинация
Причина рекомбинации проста: это кулоновское притяжение электронов и положительных
ионов. Устремляясь навстречу друг другу под действием электрических сил, положительный
ион и электрон встречаются и получают возможность образовать нейтральный атом (или ней-
тральную молекулу).
30
Частично или полностью ионизированный газ называется плазмой.
73

При неизменной интенсивности действия ионизатора устанавливается динамическое равно-
весие: среднее количество частиц, распадающихся в единицу времени, равно среднему количе-
ству рекомбинирующих частиц (иными словами, скорость ионизации равна скорости рекомби-
нации). Если действие ионизатора усилить (например, повысить температуру), то динамическое
равновесие сместится в сторону ионизации, и концентрация заряженных частиц в газе возрас-
тёт. Наоборот, если выключить ионизатор, то рекомбинация начнёт преобладать, и свободные
заряды постепенно исчезнут полностью.
Итак, положительные ионы и электроны появляются в газе в результате ионизации. От-
куда же берётся третий сорт зарядов — отрицательные ионы? Очень просто: электрон может
налететь на нейтральный атом и присоединиться к нему! Этот процесс показан на рис.
61
.
+
e
−
e
−
e
−
+
e
−
Рис. 61. Появление отрицательного иона
Образованные таким образом отрицательные ионы будут участвовать в создании тока на-
ряду с положительными ионами и электронами.
15.2
Несамостоятельный разряд
Если внешнего электрического поля нет, то свободные заряды совершают хаотическое тепловое
движение наряду с нейтральными частицами газа. Но при наложении электрического поля
начинается упорядоченное движение заряженных частиц — электрический ток в газе.
+
−
+
−
Ионизатор
+
+
−
e
Рис. 62. Несамостоятельный разряд
На рис.
62
мы видим три сорта заряженных частиц, возникающих в газовом промежутке
под действием ионизатора: положительные ионы, отрицательные ионы и электроны. Электри-
74

ческий ток в газе образуется в результате встречного движения заряженных частиц: поло-
жительных ионов — к отрицательному электроду (катоду), электронов и отрицательных
ионов — к положительному электроду (аноду).
С движением заряженных частиц в газовом промежутке всё ясно. А почему возникает ток
во внешней цепи?
Свободные электроны газа, попадая на анод, направляются по цепи к «плюсу» источника
тока. Отрицательные ионы отдают аноду лишний электрон и, став нейтральными частицами,
возвращаются в обратно газ; отданный же аноду электрон также устремляется к «плюсу» источ-
ника. Положительные ионы, приходя на катод, забирают оттуда электроны (и, превратившись
в нейтральные частицы, диффундируют обратно в газ), а возникший дефицит электронов на
катоде немедленно компенсируется их доставкой туда с «минуса» источника. В результате всех
этих процессов возникает упорядоченное движение электронов во внешней цепи. Это и есть
электрический ток, регистрируемый гальванометром.
Описанный процесс, изображённый на рис.
62
, называется несамостоятельным разрядом
в газе. Почему несамостоятельным? Потому для его поддержания необходимо постоянное дей-
ствие ионизатора. Уберём ионизатор — и ток прекратится, поскольку исчезнет механизм, обес-
печивающий появление свободных зарядов в газовом промежутке. Пространство между анодом
и катодом снова станет изолятором.
15.3
Вольт-амперная характеристика газового разряда
Зависимость силы тока через газовый промежуток от напряжения между анодом и катодом
(так называемая вольт-амперная характеристика газового разряда) показана на рис.
63
.
U
I
O
A
B
C
Рис. 63. Вольт-амперная характеристика газового разряда
При нулевом напряжении сила тока, естественно, равна нулю: заряженные частицы совер-
шают лишь тепловое движение, упорядоченного их движения между электродами нет.
При небольшом напряжении сила тока также мала. Дело в том, что не всем заряженным ча-
стицам суждено добраться до электродов: часть положительных ионов и электронов в процессе
своего движения находят друг друга и рекомбинируют.
С повышением напряжения свободные заряды развивают всё большую скорость, и тем мень-
ше шансов у положительного иона и электрона встретиться и рекомбинировать. Поэтому всё
большая часть заряженных частиц достигает электродов, и сила тока возрастает (участок OA).
При определённой величине напряжения (точка A) скорость движения зарядов становится
настолько большой, что рекомбинация вообще не успевает происходить. С этого момента все
заряженные частицы, образованные под действием ионизатора, достигают электродов, и ток
достигает насыщения — а именно, сила тока перестаёт меняться с увеличением напряжения.
Так будет происходить вплоть до некоторой точки B.
75

15.4
Самостоятельный разряд
После прохождения точки B сила тока при увеличении напряжения резко возрастает — начи-
нается самостоятельный разряд. Сейчас мы разберёмся, что это такое.
Заряженные частицы газа движутся от столкновения к столкновению; в промежутках меж-
ду столкновениями они разгоняются электрическим полем, увеличивая свою кинетическую
энергию. И вот, когда напряжение становится достаточно большим (та самая точка B), электро-
ны за время свободного пробега достигают таких энергий, что при соударении с нейтральными
атомами ионизируют
31
их!
Начинается так называемая ионизация электронным ударом. Электроны, выбитые из иони-
зированных атомов, также разгоняются электрическим полем и налетают на новые атомы,
ионизируя теперь уже их и порождая новые электроны. В результате возникающей электрон-
ной лавины число ионизированных атомов стремительно увеличивается, вследствие чего быстро
возрастает и сила тока.
Количество свободных зарядов становится таким большим, что необходимость во внешнем
ионизаторе отпадает. Его можно попросту убрать. Свободные заряженные частицы теперь по-
рождаются в результате внутренних процессов, происходящих в газе — вот почему разряд
называется самостоятельным.
Если газовый промежуток находится под высоким напряжением, то для самостоятельного
разряда не нужен никакой ионизатор. Достаточно в газе оказаться лишь одному свободному
электрону, и начнётся описанная выше электронная лавина. А хотя бы один свободный электрон
всегда найдётся!
Вспомним ещё раз, что в газе даже при обычных условиях имеется некоторое «естественное»
количество свободных зарядов, обусловленное ионизирующим радиоактивным излучением зем-
ной коры, высокочастотным излучением Солнца, космическими лучами. Мы видели, что при
малых напряжениях проводимость газа, вызванная этими свободными зарядами, ничтожно ма-
ла; но теперь — при высоком напряжении — они-то и породят лавину новых частиц, дав начало
самостоятельному разряду. Произойдёт, как говорят, пробой газового промежутка.
Напряжённость поля, необходимая для пробоя сухого воздуха, равна примерно 30 кВ/см.
Иными словами, чтобы между электродами, разделёнными сантиметром воздуха, проскочила
искра, на них нужно подать напряжение 30 киловольт. Вообразите же, какое напряжение необ-
ходимо для пробоя нескольких километров воздуха! А ведь именно такие пробои происходят
во время грозы — это прекрасно известные вам молнии.
31
С помощью законов сохранения импульса и энергии можно показать, что именно электроны (а не ионы),
ускоряемые электрическим полем, обладают максимальной способностью ионизировать атомы.
76

16
Полупроводники
До сих пор, говоря о способности веществ проводить электрический ток, мы делили их на про-
водники и диэлектрики. Удельное сопротивление обычных проводников находится в интервале
10
−8
— 10
−6
Ом · м; удельное сопротивление диэлектриков превышает эти величины в среднем
на 20 порядков: 10
10
— 10
16
Ом · м.
Но существуют также вещества, которые по своей электропроводности занимают промежу-
точное положение между проводниками и диэлектриками. Это полупроводники: их удельное
сопротивление при комнатной температуре может принимать значения в очень широком диа-
пазоне 10
−3
— 10
7
Ом · м. К полупроводникам относятся кремний, германий, селен, некоторые
другие химические элементы и соединения
32
. Наиболее широко примененяются кремний (Si) и
германий (Ge).
Главная особенность полупроводников заключается в том, что их электропроводность резко
увеличивается с повышением температуры. Удельное сопротивление полупроводника убывает
с ростом температуры примерно так, как показано на рис.
64
.
T
ρ
Рис. 64. Зависимость ρ = ρ(T ) для полупроводника
Иными словами, при низкой температуре полупроводники ведут себя как диэлектрики, а при
высокой — как достаточно хорошие проводники. В этом состоит отличие полупроводников от
металлов: удельное сопротивление металла, как вы помните, линейно возрастает с увеличением
температуры.
Между полупроводниками и металлами имеются и другие отличия. Так, освещение полу-
проводника вызывает уменьшение его сопротивления (а на сопротивление металла свет почти
не оказывает влияния). Кроме того, электропроводность полупроводников может очень сильно
меняться при введении даже ничтожного количества примесей.
Опыт показывает, что, как и в случае металлов, при протекании тока через полупроводник
не происходит переноса вещества. Стало быть, электрический ток в полупроводниках обуслов-
лен движением электронов.
Уменьшение сопротивления полупроводника при его нагревании говорит о том, что повы-
шение температуры приводит к увеличению количества свободных зарядов в полупроводнике.
В металлах ничего такого не происходит; следовательно, полупроводники обладают иным меха-
низмом электропроводности, чем металлы. И причина этого — различная природа химической
связи между атомами металлов и полупроводников.
32
Полупроводники чрезвычайно распространены в природе. Например, около 80% массы земной коры прихо-
дится на вещества, являющиеся полупроводниками.
77

16.1
Ковалентная связь
Металлическая связь, как вы помните, обеспечивается газом свободных электронов, который,
подобно клею, удерживает положительные ионы в узлах кристаллической решётки. Полупро-
водники устроены иначе — их атомы скрепляет ковалентная связь. Давайте вспомним, что это
такое.
Электроны, находящиеся на внешнем электронном уровне и называемые валентными, сла-
бее связаны с атомом, чем остальные электроны, которые расположены ближе к ядру. В про-
цессе образования ковалентной связи два атома вносят «в общее дело» по одному своему ва-
лентному электрону. Эти два электрона обобществляются, то есть теперь принадлежат уже
обоим атомам, и потому называются общей электронной парой (рис.
65
).
e
e
Рис. 65. Ковалентная связь
Обобществлённая пара электронов как раз и удерживает атомы друг около друга (с помо-
щью сил электрического притяжения). Ковалентная связь — это связь, существующая меж-
ду атомами за счёт общих электронных пар. По этой причине ковалентная связь называется
также парноэлектронной.
16.2
Кристаллическая структура кремния
Теперь мы готовы подробнее изучить внутреннее устройство полупроводников. В качестве при-
мера рассмотрим самый распространённый в природе полупроводник — кремний. Аналогичное
строение имеет и второй по важности полупроводник — германий.
Пространственная структура кремния представлена
33
на рис.
66
. Шариками изображены
атомы кремния, а трубки, их соединяющие, — это каналы ковалентной связи между атомами.
Рис. 66. Кристаллическая структура кремния
Обратите внимание, что каждый атом кремния скреплён с четырьмя соседними атомами.
Почему так получается?
33
Автор картинки —
Ben Mills
.
78

Дело в том, что кремний четырёхвалентен — на внешней электронной оболочке атома крем-
ния расположены четыре валентных электрона. Каждый из этих четырёх электронов готов
образовать общую электронную пару с валентным электроном другого атома. Так и происхо-
дит! В результате атом кремния окружается четырьмя пристыковавшимися к нему атомами,
каждый из которых вносит по одному валентному электрону. Соответственно, вокруг каждого
атома оказывается по восемь электронов (четыре своих и четыре чужих).
Более подробно мы видим это на плоской схеме кристаллической решётки кремния (рис.
67
).
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Рис. 67. Кристаллическая решётка кремния
Ковалентные связи изображены парами линий, соединяющих атомы; на этих линиях нахо-
дятся общие электронные пары. Каждый валентный электрон, расположенный на такой линии,
б´
ольшую часть времени проводит в пространстве между двумя соседними атомами.
Однако валентные электроны отнюдь не «привязаны намертво» к соответствующим парам
атомов. Происходит перекрытие электронных оболочек всех соседних атомов, так что любой
валентный электрон есть общее достояние всех атомов-соседей. От некоторого атома 1 такой
электрон может перейти к соседнему с ним атому 2, затем — к соседнему с ним атому 3 и так
далее. Валентные электроны могут перемещаться по всему пространству кристалла — они, как
говорят, принадлежат всему кристаллу (а не какой-либо одной атомной паре).
Тем не менее, валентные электроны кремния не являются свободными (как это имеет место
в металле). В полупроводнике связь валентных электронов с атомами гораздо прочнее, чем в
металле; ковалентные связи кремния не разрываются при невысоких температурах. Энергии
электронов оказывается недостаточно для того, чтобы под действием внешнего электрическо-
го поля начать упорядоченное движение от меньшего потенциала к большему. Поэтому при
достаточно низких температурах полупроводники близки к диэлектрикам — они не проводят
электрический ток.
16.3
Собственная проводимость
Если включить в электрическую цепь полупроводниковый элемент и начать его нагревать, то
сила тока в цепи возрастает. Следовательно, сопротивление полупроводника уменьшается с
ростом температуры. Почему это происходит?
При повышении температуры тепловые колебания атомов кремния становятся интенсивнее,
и энергия валентных электронов возрастает. У некоторых электронов энергия достигает значе-
ний, достаточных для разрыва ковалентных связей. Такие электроны покидают свои атомы и
становятся свободными (или электронами проводимости) — точно так же, как в металле. Во
79

внешнем электрическом поле свободные электроны начинают упорядоченное движение, обра-
зуя электрический ток.
Чем выше температура кремния, тем больше энергия электронов, и тем большее количе-
ство ковалентных связей не выдерживает и рвётся. Число свободных электронов в кристалле
кремния возрастает, что и приводит к уменьшению его сопротивления.
Разрыв ковалентных связей и появление свободных электронов показан на рис.
68
. На ме-
сте разорванной ковалентной связи образуется дырка — вакантное место для электрона. Дырка
имеет положительный заряд, поскольку с уходом отрицательно заряженного электрона оста-
ётся нескомпенсированный положительный заряд ядра атома кремния.
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
+
+
+
Рис. 68. Образование свободных электронов и дырок
Дырки не остаются на месте — они могут блуждать по кристаллу. Дело в том, что один из
соседних валентных электронов, «путешествуя» между атомами, может перескочить на обра-
зовавшееся вакантное место, заполнив дырку; тогда дырка в этом месте исчезнет, но появится
в том месте, откуда электрон пришёл.
При отсутствии внешнего электрического поля перемещение дырок носит случайный харак-
тер, ибо валентные электроны блуждают между атомами хаотически. Однако в электрическом
поле начинается направленное движение дырок. Почему? Понять это несложно.
На рис.
69
изображён полупроводник, помещённый в электрическое поле ~
E. В левой части
рисунка — начальное положение дырки.
Si
Si
Si
Si
Si
Si
+
~
E
~
E
Si
Si
Si
Si
Si
Si
+
~
E
~
E
Si
Si
Si
Si
Si
Si
+
~
E
~
E
Рис. 69. Движение дырки в электрическом поле
Куда сместится дырка? Ясно, что наиболее вероятны перескоки «электрон → дырка» в
направлении против линий поля (то есть к «плюсам», создающим поле). Один из таких пере-
скоков показан в средней части рисунка: электрон прыгнул влево, заполнив вакансию, а дырка,
80

соответственно, сместилась вправо. Следующий возможный скачок электрона, вызванный элек-
трическим полем, изображён в правой части рисунка; в результате этого скачка дырка заняла
новое место, расположенное ещё правее.
Мы видим, что дырка в целом перемещается по направлению линий поля — то есть туда,
куда и полагается двигаться положительным зарядам. Подчеркнём ещё раз, что направленное
движение дырки вдоль поля вызвано перескоками валентных электронов от атома к атому,
происходящими преимущественно в направлении против поля.
Таким образом, в кристалле кремния имеется два типа носителей заряда: свободные элек-
троны и дырки. При наложении внешнего электрического поля появляется электрический ток,
вызванный их упорядоченным встречным движением: свободные электроны перемещаются про-
тивоположно вектору напряжённости поля ~
E, а дырки — в направлении вектора ~
E.
Возникновение тока за счёт движения свободных электронов называется электронной про-
водимостью, или проводимостью n-типа. Процесс упорядоченного перемещения дырок на-
зывается дырочной проводимостью, или проводимостью p-типа
34
. Обе проводимости — элек-
тронная и дырочная — вместе называются собственной проводимостью полупроводника.
Каждый уход электрона с разорванной ковалентной связи порождает пару «свободный
электрон–дырка». Поэтому концентрация свободных электронов в кристалле чистого кремния
равна концентрации дырок. Соответственно, при нагревании кристалла увеличивается концен-
трация не только свободных электронов, но и дырок, что приводит к возрастанию собственной
проводимости полупроводника за счёт увеличения как электронной, так и дырочной проводи-
мости.
Наряду с образованием пар «свободный электрон–дырка» идёт и обратный процесс: реком-
бинация свободных электронов и дырок. А именно, свободный электрон, встречаясь с дыркой,
заполняет эту вакансию, восстанавливая разорванную ковалентную связь и превращаясь в ва-
лентный электрон. Таким образом, в полупроводнике устанавливается динамическое равнове-
сие: среднее число разрывов ковалентных связей и образующихся электронно-дырочных пар
в единицу времени равно среднему числу рекомбинирующих электронов и дырок. Это состо-
яние динамического равновесия определяет равновесную концентрацию свободных электронов
и дырок в полупроводнике при данных условиях.
Изменение внешних условий смещает состояние динамического равновесия в ту или иную
сторону. Равновесное значение концентрации носителей заряда при этом, естественно, изменяет-
ся. Например, число свободных электронов и дырок возрастает при нагревании полупроводника
или при его освещении.
При комнатной температуре концентрация свободных электронов и дырок в кремнии при-
близительно равно 10
10
см
−3
. Концентрация же атомов кремния — порядка 10
22
см
−3
. Иными
словами, на 10
12
атомов кремния приходится лишь один свободный электрон! Это очень ма-
ло. В металлах, например, концентрация свободных электронов примерно равна концентрации
атомов. Соответственно, собственная проводимость кремния и других полупроводников при
нормальных условиях мала по сравнению с проводимостью металлов.
16.4
Примесная проводимость
Важнейшей особенностью полупроводников является то, что их удельное сопротивление может
быть уменьшено на несколько порядков в результате введения даже весьма незначительного ко-
личества примесей. Помимо собственной проводимости у полупроводника возникает доминиру-
ющая примесная проводимость. Именно благодаря этому факту полупроводниковые приборы
нашли столь широкое применение в науке и технике.
Предположим, например, что в расплав кремния добавлено немного пятивалентного мышья-
ка (As). После кристаллизации расплава оказывается, что атомы мышьяка занимают места в
34
От первых букв латинских слов negativus (отрицательный) и positivus (положительный)
81

некоторых узлах сформировавшейся кристаллической решётки кремния.
На внешнем электронном уровне атома мышьяка имеется пять электронов. Четыре из них
образуют ковалентные связи с ближайшими соседями — атомами кремния (рис.
70
). Какова
судьба пятого электрона, не занятого в этих связях?
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
As
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Рис. 70. Полупроводник n-типа
А пятый электрон становится свободным! Дело в том, что энергия связи этого «лишнего»
электрона с атомом мышьяка, расположенным в кристалле кремния, гораздо меньше энергии
связи валентных электронов с атомами кремния. Поэтому уже при комнатной температуре
почти все атомы мышьяка в результате теплового движения остаются без пятого электрона,
превращаясь в положительные ионы. А кристалл кремния, соответственно, наполняется сво-
бодными электронами, которые отцепились от атомов мышьяка.
Наполнение кристалла свободными электронами для нас не новость: мы видели это и выше,
когда нагревался чистый кремний (без каких-либо примесей). Но сейчас ситуация принципи-
ально иная: появление свободного электрона, ушедшего из атома мышьяка, не сопровожда-
ется появлением подвижной дырки. Почему? Причина та же — связь валентных электронов с
атомами кремния гораздо прочнее, чем с атомом мышьяка на пятой вакансии, поэтому электро-
ны соседних атомов кремния и не стремятся эту вакансию заполнить. Вакансия, таким образом,
остаётся на месте, она как бы «приморожена» к атому мышьяка и не участвует в создании тока.
Таким образом, внедрение атомов пятивалентного мышьяка в кристаллическую решётку
кремния создаёт электронную проводимость, но не приводит к симметричному появлению
дырочной проводимости. Главная роль в создании тока теперь принадлежит свободным элек-
тронам, которые в данном случае называются основными носителями заряда.
Механизм собственной проводимости, разумеется, продолжает работать и при наличии при-
меси: ковалентные связи по-прежнему рвутся за счёт теплового движения, порождая свободные
электроны и дырки. Но теперь дырок оказывается гораздо меньше, чем свободных электронов,
которые в большом количестве предоставлены атомами мышьяка. Поэтому дырки в данном
случае будут неосновными носителями заряда.
Примеси, атомы которых отдают свободные электроны без появления равного количества
подвижных дырок, называются донорными. Например, пятивалентный мышьяк — донорная
примесь. При наличии в полупроводнике донорной примеси основными носителями заряда яв-
ляются свободные электроны, а неосновными — дырки; иными словами, концентрация свобод-
ных электронов намного превышает концентрацию дырок. Поэтому полупроводники с донорны-
ми примесями называются электронными полупроводниками, или полупроводниками n-типа
(или просто n-полупроводниками).
А насколько, интересно, концентрация свободных электронов может превышать концентра-
цию дырок в n-полупроводнике? Давайте проведём простой расчёт.
Предположим, что примесь составляет 0,1 %, то есть на тысячу атомов кремния приходит-
ся один атом мышьяка. Концентрация атомов кремния, как мы помним, порядка 10
22
см
−3
.
82

Концентрация атомов мышьяка, соответственно, будет в тысячу раз меньше: 10
19
см
−3
. Такой
же окажется и концентрация свободных электронов, отданных примесью — ведь каждый атом
мышьяка отдаёт по электрону. А теперь вспомним, что концентрация электронно-дырочных
пар, появляющихся при разрывах ковалентных связей кремния, при комнатной температуре
примерно равна 10
10
см
−3
. Чувствуете разницу? Концентрация свободных электронов в данном
случае больше концентрации дырок на 9 порядков, то есть в миллиард раз! Соответственно, в
миллиард раз уменьшается удельное сопротивление кремниевого полупроводника при введении
столь небольшого количества примеси.
Приведённый расчёт показывает, что в полупроводниках n-типа основную роль действитель-
но играет электронная проводимость. На фоне столь колоссального превосходства численности
свободных электронов вклад движения дырок в общую проводимость пренебрежимо мал.
Можно, наоборот, создать полупроводник с преобладанием дырочной проводимости. Так
получится, если в кристалл кремния внедрить трёхвалентную примесь — например, индий (In).
Результат такого внедрения показан на рис.
71
.
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
In
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
+
Рис. 71. Полупроводник p-типа
Что происходит в этом случае? На внешнем электронном уровне атома индия расположены
три электрона, которые формируют ковалентные связи с тремя окружающими атомами крем-
ния. Для четвёртого соседнего атома кремния у атома индия уже не хватает электрона, и в
этом месте возникает дырка.
И дырка эта не простая, а особенная — с весьма большой энергией связи. Когда в неё попадёт
электрон из соседнего атома кремния, он в ней «застрянет навеки», ибо притяжение электро-
на к атому индия весьма велико — больше, чем к атомам кремния. Атом индия превратится
в отрицательный ион, а в том месте, откуда электрон пришёл, возникнет дырка — но теперь
уже обыкновенная подвижная дырка в виде разорванной ковалентной связи в кристалличе-
ской решётке кремния. Эта дырка обычным образом начнёт блуждать по кристаллу за счёт
«эстафетной» передачи валентных электронов от одного атома кремния к другому.
Итак, каждый примесный атом индия порождает дырку, но не приводит к симметрично-
му появлению свободного электрона. Такие примеси, атомы которых захватывают «намертво»
электроны и тем самым создают в кристалле подвижную дырку, называются акцепторными.
Трёхвалентный индий — пример акцепторной примеси.
Если в кристалл чистого кремния ввести акцепторную примесь, то число дырок, порождён-
ных примесью, будет намного больше числа свободных электронов, возникших за счёт разрыва
ковалентных связей между атомами кремния. Полупроводник с акцепторной примесью — это
дырочный полупроводник, или полупроводник p-типа (или просто p-полупроводник ).
Дырки играют главную роль при создании тока в p-полупроводнике; дырки — основные
носители заряда. Свободные электроны — неосновные носители заряда в p-полупроводнике.
Движение свободных электронов в данном случае не вносит существенного вклада: электриче-
ский ток обеспечивается в первую очередь дырочной проводимостью.
83

16.5
p
–n-переход
Место контакта двух полупроводников с различными типами проводимости (электронной и
дырочной) называется электронно-дырочным переходом, или p–n-переходом. В области p–n-
перехода возникает интересное и очень важное явление — односторонняя проводимость.
На рис.
72
изображён контакт областей p- и n-типа; цветные кружочки — это дырки и
свободные электроны, которые являются основными (или неосновными) носителями заряда в
соответствующих областях.
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
A
B
C
D
n-полупроводник
p-полупроводник
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
~
E
i
Рис. 72. Запирающий слой p–n-перехода
Совершая тепловое движение, носители заряда проникают через границу раздела областей.
Свободные электроны переходят из n-области в p-область и рекомбинируют там с дырками;
дырки же диффундируют из p-области в n-область и рекомбинируют там с электронами.
В результате этих процессов в электронном полупроводнике около границы контакта оста-
ётся нескомпенсированный заряд положительных ионов донорной примеси, а в дырочном по-
лупроводнике (также вблизи границы) возникает нескомпенсированный отрицательный заряд
ионов акцепторной примеси. Эти нескомпенсированные объёмные заряды образуют так назы-
ваемый запирающий слой ABCD, внутреннее электрическое поле ~
E
i
которого препятствует
дальнейшей диффузии свободных электронов и дырок через границу контакта.
Подключим теперь к нашему полупроводниковому элементу источник тока, подав «плюс»
источника на n-полупроводник, а «минус» — на p-полупроводник (рис.
73
).
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
−
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
n-полупроводник
p-полупроводник
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
~
E
i
~
E
Рис. 73. Включение в обратном направлении: тока нет
84

Мы видим, что внешнее электрическое поле ~
E уводит основные носители заряда дальше
от границы контакта. Ширина запирающего слоя увеличивается, его электрическое поле ~
E
i
возрастает. Сопротивление запирающего слоя велико, и основные носители не в состоянии пре-
одолеть p–n-переход. Электрическое поле позволяет переходить границу лишь неосновным но-
сителям, однако ввиду очень малой концентрации неосновных носителей создаваемый ими ток
пренебрежимо мал.
Рассмотренная схема называется включением p–n-перехода в обратном направлении. Элек-
трического тока основных носителей нет; имеется лишь ничтожно малый ток неосновных но-
сителей. В данном случае p–n-переход оказывается закрытым.
Теперь поменяем полярность подключения и подадим «плюс» на p-полупроводник, а «ми-
нус» — на n-полупроводник (рис.
74
). Эта схема называется включением в прямом направлении.
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
+
n-полупроводник
p-полупроводник
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
~
E
i
~
E
I
Рис. 74. Включение в прямом направлении: ток идёт
В этом случае внешнее электрическое поле ~
E направлено против запирающего поля ~
E
i
и
открывает путь основным носителям через p–n-переход. Запирающий слой становится тоньше,
его сопротивление уменьшается. Происходит массовое перемещение свободных электронов из
n-области в p-область, а дырки, в свою очередь, дружно устремляются из p-области в n-область.
В цепи возникает ток I, вызванный движением основных носителей заряда
35
.
Односторонняя проводимость p–n-перехода используется в полупроводниковых диодах. Ди-
одом называется устройство, проводящие ток в лишь одном направлении; в противоположном
направлении ток через диод не проходит (диод, как говорят, закрыт). Схематическое изобра-
жение диода показано на рис.
75
.
Рис. 75. Диод
В данном случае диод открыт в направлении слева направо: заряды как бы текут вдоль
стрелки (видите её на рисунке?). В направлении справа налево заряды словно упираются в
стенку — диод закрыт.
35
Теперь, правда, электрическое поле препятствует току неосновных носителей, но этот ничтожный фактор
не оказывает заметного влияния на общую проводимость.
85

17
Магнитное поле. Линии
Магнитные свойства вещества известны людям давно. Магниты получили своё название от
античного города Магнесия: в его окрестностях был распространён минерал (названный впо-
следствии магнитным железняком или магнетитом), куски которого притягивали железные
предметы.
17.1
Взаимодействие магнитов
На двух сторонах каждого магнита расположены северный полюс и южный полюс. Два маг-
нита притягиваются друг к другу разноимёнными полюсами и отталкиваются одноимёнными.
Магниты могут действовать друг на друга даже сквозь вакуум! Всё это напоминает взаимодей-
ствие электрических зарядов, однако взаимодействие магнитов не является электрическим.
Об этом свидетельствуют следующие опытные факты.
• Магнитная сила ослабевает при нагревании магнита. Сила же взаимодействия точечных
зарядов не зависит от их температуры.
• Магнитная сила ослабевает, если трясти магнит. Ничего подобного с электрически заря-
женными телами не происходит.
• Положительные электрические заряды можно отделить от отрицательных (например, при
электризации тел). А вот разделить полюса магнита не получается: если разрезать магнит
на две части, то в месте разреза также возникают полюса, и магнит распадается на два
магнита с разноимёнными полюсами на концах (ориентированных точно так же, как и
полюса исходного магнита).
Таким образом, магниты всегда двухполюсные, они существуют только в виде диполей.
Изолированных магнитных полюсов (так называемых магнитных монополей — аналогов
электрического заряда) в природе не существует (во всяком случае, экспериментально они
пока не обнаружены). Это, пожалуй, самая впечатляющая асимметрия между электриче-
ством и магнетизмом.
• Как и электрически заряженные тела, магниты действуют на электрические заряды. Од-
нако магнит действует только на движущийся заряд; если заряд покоится относительно
магнита, то действия магнитной силы на заряд не наблюдается. Напротив, наэлектризо-
ванное тело действует на любой заряд, вне зависимости от того, покоится он или движется.
По современным представлениям теории близкодействия, взаимодействие магнитов осу-
ществляется посредством магнитного поля. А именно, магнит создаёт в окружающем простран-
стве магнитное поле, которое действует на другой магнит и вызывает видимое притяжение или
отталкивание этих магнитов.
Примером магнита служит магнитная стрелка компаса. С помощью магнитной стрелки
можно судить о наличии магнитного поля в данной области пространства, а также о направ-
лении поля.
Наша планета Земля является гигантским магнитом. Неподалёку от северного географиче-
ского полюса Земли расположен южный магнитный полюс. Поэтому северный конец стрелки
компаса, поворачиваясь к южному магнитному полюсу Земли, указывает на географический
север. Отсюда, собственно, и возникло название «северный полюс» магнита.
86

17.2
Линии магнитного поля
Электрическое поле, напомним, исследуется с помощью маленьких пробных зарядов, по дей-
ствию на которые можно судить о величине и направлении поля. Аналогом пробного заряда в
случае магнитного поля является маленькая магнитная стрелка.
Например, можно получить некоторое геометрическое представление о магнитном поле, если
разместить в разных точках пространства очень маленькие стрелки компаса. Опыт показывает,
что стрелки выстроятся вдоль определённых линий — так называемых линий магнитного поля.
Дадим определение этого понятия в виде следующих трёх пунктов.
1. Линии магнитного поля, или магнитные силовые линии — это направленные линии в
пространстве, обладающие следующим свойством: маленькая стрелка компаса, поме-
щённая в каждой точке такой линии, ориентируется по касательной к этой линии.
2. Направлением линии магнитного поля считается направление северных концов стрелок
компаса, расположенных в точках данной линии.
3. Чем гуще идут линии, тем сильнее магнитное поле в данной области пространства.
Роль стрелок компаса с успехом могут выполнять железные опилки: в магнитном поле ма-
ленькие опилки намагничиваются и ведут себя в точности как магнитные стрелки.
Так, насыпав железных опилок вокруг постоянного магнита, мы увидим примерно следую-
щую картину линий магнитного поля (рис.
76
).
N
S
Рис. 76. Поле постоянного магнита
Северный полюс магнита обозначается синим цветом и буквой N ; южный полюс — красным
цветом и буквой S. Обратите внимание, что линии поля выходят из северного полюса магнита
и входят в южный полюс: ведь именно к южному полюсу магнита будет направлен северный
конец стрелки компаса.
17.3
Опыт Эрстеда
Несмотря на то, что электрические и магнитные явления были известны людям ещё с антич-
ности, никакой взаимосвязи между ними долгое время не наблюдалось. В течение нескольких
87

столетий исследования электричества и магнетизма шли параллельно и независимо друг от
друга.
Тот замечательный факт, что электрические и магнитные явления на самом деле связаны
друг с другом, был впервые обнаружен в 1820 году — в знаменитом опыте Эрстеда.
Рис. 77. Опыт Эрстеда
Схема опыта Эрстеда показана
36
на рис.
77
. Над магнит-
ной стрелкой N S (N и S — северный и южный полюсы стрел-
ки) расположен металлический проводник, подключённый к
источнику тока. Если замкнуть цепь, то стрелка поворачива-
ется перпендикулярно проводнику!
Этот простой опыт прямо указал на взаимосвязь элек-
тричества и магнетизма. Эксперименты последовавшие за
опытом Эрстеда, твёрдо установили следующую закономер-
ность: магнитное поле порождается электрическими тока-
ми и действует на токи.
Картина линий магнитного поля, порождённого проводником с током, зависит от формы
проводника.
17.4
Магнитное поле прямого провода с током
Линии магнитного поля прямолинейного провода с током являются концентрическими окруж-
ностями. Центры этих окружностей лежат на проводе, а их плоскости перпендикулярны про-
воду (рис.
78
).
I
~
B
Рис. 78. Поле прямого провода с током
Для определения направления линий магнитного поля прямого тока существуют два аль-
тернативных правила.
Правило часовой стрелки. Линии поля идут против часовой стрелки, если смотреть так,
чтобы ток тёк на нас.
Правило винта
37
. Линии поля идут туда, куда надо вращать винт (с обычной правой резь-
бой), чтобы он двигался по резьбе в направлении тока.
Пользуйтесь тем правилом, которое вам больше по душе. Лучше привыкнуть к правилу
часовой стрелки — вы сами впоследствии убедитесь, что оно более универсально и им проще
пользоваться
38
.
36
Изображение с сайта
rt.mipt.ru
.
37
Или правило буравчика, или правило штопора — это уж кому что ближе ;-)
38
А потом с благодарностью вспомните его на первом курсе, когда будете изучать аналитическую геометрию.
88

На рис.
78
появилось и кое-что новое: это вектор ~
B, который называется индукцией магнит-
ного поля, или магнитной индукцией. Вектор магнитной индукции является аналогом вектора
напряжённости электрического поля: он служит силовой характеристикой магнитного поля,
определяя силу, с которой магнитное поле действует на движущиеся заряды.
О силах в магнитном поле мы поговорим позже, а пока отметим лишь, что величина и
направление магнитного поля определяется вектором магнитной индукции ~
B. В каждой точке
пространства вектор ~
B направлен туда же, куда и северный конец стрелки компаса, помещённой
в данную точку, а именно по касательной к линии поля в направлении этой линии. Измеряется
магнитная индукция в теслах (Тл).
Как и в случае электрического поля, для индукции магнитного поля справедлив принцип
суперпозиции. Он заключается в том, что индукции магнитных полей ~
B
1
, ~
B
2
, . . . , ~
B
n
, создава-
емых в данной точке различными токами, складываются векторно и дают результирующий
вектор магнитной индукции: ~
B = ~
B
1
+ ~
B
2
+ . . . + ~
B
n
.
17.5
Магнитное поле витка с током
Рассмотрим круговой виток, по которому циркулирует постоянный ток I. Источник, создающий
ток, мы на рисунке не показываем.
Картина линий поля нашего витка будет иметь приблизительно следующий вид (рис.
79
).
I
B
Рис. 79. Поле витка с током
Нам будет важно уметь определять, в какое полупространство (относительно плоскости
витка) направлено магнитное поле. Снова имеем два альтернативных правила.
Правило часовой стрелки. Линии поля идут туда, глядя откуда ток кажется циркули-
рующим против часовой стрелки.
Правило винта Линии поля идут туда, куда будет перемещаться винт (с обычной правой
резьбой), если вращать его в направлении тока.
Как видите, ток и поле меняются ролями — по сравнению с формулировками этих правил
для случая прямого тока.
89

17.6
Магнитное поле катушки с током
Катушка получится, если плотно, виток к витку, намотать провод в достаточно длинную спи-
раль (рис.
80
)
39
. В катушке может быть несколько десятков, сотен или даже тысяч витков.
Катушка называется ещё соленоидом.
Рис. 80. Катушка (соленоид)
Магнитное поле одного витка, как мы знаем, выглядит не очень-то просто. Пол´
я отдельных
витков катушки накладываются друг на друга, и, казалось бы, в результате должна получиться
совсем уж запутанная картина. Однако это не так: поле длинной катушки имеет неожиданно
простую структуру (рис.
81
).
B
~
B
I
Вид слева
Рис. 81. Поле катушки с током
На этом рисунке ток в катушке идёт против часовой стрелки, если смотреть слева (так
будет, если на рис.
80
правый конец катушки подключить к «плюсу» источника тока, а левый
конец — к «минусу»). Мы видим, что магнитное поле катушки обладает двумя характерными
свойствами.
1. Внутри катушки вдали от её краёв магнитное поле является однородным: в каждой точке
вектор магнитной индукции одинаков по величине и направлению. Линии поля — парал-
лельные прямые; они искривляются лишь вблизи краёв катушки, когда выходят наружу.
2. Вне катушки поле близко к нулю. Чем больше витков в катушке — тем слабее поле сна-
ружи неё.
Заметим, что бесконечно длинная катушка вообще не выпускает поле наружу: вне катушки
магнитное поле отсутствует. Внутри такой катушки поле всюду является однородным.
39
Изображение с сайта
en.wikipedia.org
.
90

Ничего не напоминает? Катушка является «магнитным» аналогом конденсатора. Вы же
помните, что конденсатор создаёт внутри себя однородное электрическое поле, линии которого
искривляются лишь вблизи краёв пластин, а вне конденсатора поле близко к нулю; конденса-
тор с бесконечными обкладками вообще не выпускает поле наружу, а всюду внутри него поле
однородно.
А теперь — главное наблюдение. Сопоставьте, пожалуйста, картину линий магнитного поля
вне катушки (рис.
81
) с линиями поля магнита на рис.
76
. Одно и то же, не правда ли? И
вот мы подходим к вопросу, который, вероятно, у вас уже давно возник: если магнитное поле
порождается токами и действует на токи, то какова причина возникновения магнитного поля
вблизи постоянного магнита? Ведь этот магнит вроде бы не является проводником с током!
17.7
Гипотеза Ампера. Элементарные токи
Поначалу думали, что взаимодействие магнитов объясняется особыми магнитными зарядами,
сосредоточенными на полюсах. Но, в отличие от электричества, никто не мог изолировать
магнитный заряд; ведь, как мы уже говорили, не удавалось получить по отдельности северный
и южный полюс магнита — полюса всегда присутствуют в магните парами.
Сомнения насчёт магнитных зарядов усугубил опыт Эрстеда, когда выяснилось, что магнит-
ное поле порождается электрическим током. Более того, оказалось, что для всякого магнита
можно подобрать проводник с током соответствующей конфигурации, такой, что поле этого
проводника совпадает с полем магнита.
Ампер выдвинул смелую гипотезу. Нет никаких магнитных зарядов. Действие магнита
объясняется замкнутыми электрическими токами внутри него.
Что это за токи? Эти элементарные токи циркулируют внутри атомов и молекул; они свя-
заны с движением электронов по атомным орбитам. Магнитное поле любого тела складывается
из магнитных полей этих элементарных токов.
Элементарные токи могут быть беспорядочным образом расположены друг относительно
друга. Тогда их поля взаимно погашаются, и тело не проявляет магнитных свойств.
Но если элементарные токи расположены согласованно, то их поля, складываясь, усиливают
друг друга. Тело становится магнитом (рис.
82
; магнитое поле будет направлено на нас; также
на нас будет направлен и северный полюс магнита).
Рис. 82. Элементарные токи магнита
Гипотеза Ампера об элементарных токах прояснила свойства магнитов. Нагревание и тряска
магнита разрушают порядок расположения его элементарных токов, и магнитные свойства
ослабевают. Неразделимость полюсов магнита стала очевидной: в месте разреза магнита мы
получаем те же элементарные токи на торцах. Способность тела намагничиваться в магнитном
поле объясняется согласованным выстраиванием элементарных токов, «поворачивающихся»
должным образом (о повороте кругового тока в магнитном поле читайте в следующем листке).
Гипотеза Ампера оказалась справедливой — это показало дальнейшее развитие физики.
Представления об элементарных токах стали неотъемлемой частью теории атома, разработан-
ной уже в ХХ веке — почти через сто лет после гениальной догадки Ампера.
91

18
Магнитное поле. Силы
В отличие от электрического поля, которое действует на любой заряд, магнитное поле действует
только на движущиеся заряженные частицы. При этом оказывается, что сила зависит не только
от величины, но и от направления скорости заряда.
18.1
Сила Лоренца
Сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, называется силой Лоренца.
Опыт показывает, что вектор ~
F силы Лоренца находится следующим образом.
1. Абсолютная величина силы Лоренца равна:
F = qvB sin α.
(72)
Здесь q — абсолютная величина заряда, v — скорость заряда, B — индукция магнитного
поля, α — угол между векторами ~
v и ~
B.
2. Сила Лоренца перпендикулярна обоим векторам ~
v и ~
B. Иными словами, вектор ~
F перпен-
дикулярен плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного
поля.
Остаётся выяснить, в какое полупространство относительно данной плоскости направлена
сила Лоренца.
3. Взаимное расположение векторов ~
v, ~
B и ~
F для положительного заряда q показано на
рис.
83
.
α
~
B
~
v
~
F
q
Рис. 83. Сила Лоренца
Направление силы Лоренца определяется в данном случае по одному из двух альтерна-
тивных правил.
Правило часовой стрелки. Сила Лоренца направлена туда, глядя откуда кратчайший
поворот вектора скорости частицы ~
v к вектору магнитной индукции ~
B виден против
часовой стрелки.
Правило левой руки. Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали
направление скорости частицы, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный
большой палец укажет направление силы Лоренца.
Для отрицательного заряда q направление силы Лоренца меняется на противоположное.
92

Всё вышеперечисленное является обобщением опытных фактов. Формула (
72
) позволяет
связать размерность индукции магнитного поля с размерностями других физических величин:
B =
F
qv sin α
⇒ Тл =
Н · с
Кл · м
=
В · с
м
2
.
18.2
Сила Ампера
Если металлический проводник с током поместить в магнитное поле, то на этот проводник со
стороны магнитного поля будет действовать сила, которая называется силой Ампера.
Происхождение силы Ампера легко понять. Ведь ток в металле является направленным
движением электронов, а на каждый электрон действует сила Лоренца. Все эти силы Лоренца,
действующие на свободные электроны, имеют одинаковое направление и одинаковую величину;
они складываются друг с другом и дают результирующую силу Ампера.
Направление силы Ампера определяется по тем же двум правилам, сформулированным
выше.
Правило часовой стрелки. Сила Ампера направлена туда, глядя откуда кратчайший пово-
рот тока к полю виден против часовой стрелки.
Правило левой руки. Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали на-
правление тока, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет
направление силы Ампера.
Взаимное расположение тока, поля и силы Ампера ~
F указано на рис.
84
.
l
~
F
~
B
I
α
Рис. 84. Сила Ампера
На этом рисунке проводник имеет длину l, а угол между направлениями тока и поля равен α.
Мы сейчас выведем выражение для абсолютной величины силы Ампера.
На каждый свободный электрон действует сила Лоренца:
F
1
= evB sin α,
где v — скорость направленного движения свободных электронов в проводнике.
Пусть N — число свободных электронов в данном проводнике, n — их концентрация (число
в единице объёма). Тогда:
N = nV = nSl,
где V — объём проводника, S — площадь его поперечного сечения. Получаем:
F = N F
1
= nSl · evB sin α = (envS)Bl sin α.
Мы не случайно выделили скобками четыре сомножителя. Ведь это есть не что иное, как
сила тока: I = envS (вспомните выражение силы тока через скорость направленного движения
свободных зарядов!). В результате приходим к окончательной формуле для силы Ампера:
F = IBl sin α.
(73)
93

Хорошую возможность поупражняться в нахождении направлений магнитного поля и си-
лы Ампера даёт взаимодействие параллельных токов. Оказывается, два параллельных провода
отталкиваются, если направления токов в них противоположны, и притягиваются, если направ-
ления токов совпадают (рис.
85
).
I
1
I
2
I
1
I
2
Рис. 85. Взаимодействие параллельных токов
Обязательно убедитесь в этом самостоятельно! Делаем так. Сначала берём произвольную
точку на первом проводе и определяем направление магнитного поля, создаваемого в этой
точке вторым проводом (правило вам известно — см. предыдущий листок). Ну а затем находим
направление силы Ампера, действующей на первый провод со стороны магнитного поля второго
провода.
18.3
Рамка с током в магнитном поле
В листках по термодинамике мы говорили о важности циклически работающих машин: они
снабжают нас энергией. Понимание законов термодинамики позволило сконструировать тепло-
вые двигатели, которые исправно служат нам и по сей день.
Понимание же законов электромагнетизма дало возможность создать циклическую машину
другого типа — электродвигатель.
Мы рассмотрим один из элементов электродвигателя — рамку с током в магнитном поле.
Разобравшись в её поведении, мы сможем уловить основную идею функционирования электро-
двигателя.
Пусть прямоугольная рамка 1234 может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис.
86
,
слева). Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле ~
B. Ток течёт по рамке в
направлении 1 → 2 → 3 → 4 → 1; это направление показано соответствующими стрелками.
1
2
3
4
~
F
14
~
F
23
~
F
12
~
F
34
~
B
~
n
ϕ
1
2
~
F
14
~
F
23
~
B
~
n
ϕ
ϕ
O
A
Вид справа
Рис. 86. Рамка с током в магнитном поле
Вектор ~
n называется вектором нормали; он перпендикулярен плоскости рамки и направлен
туда, глядя откуда ток кажется циркулирующим против часовой стрелки. (Иными словами,
94

вектор ~
n сонаправлен с вектором индукции магнитного поля, которое создаётся током в рамке.)
Поворот рамки измеряется углом ϕ между векторами ~
n и ~
B.
Теперь определим направления сил Ампера, которые действуют на рамку со стороны маг-
нитного поля. Эти силы расставлены на рисунке; вот вам ещё одно упражнение на правило
часовой стрелки (левой руки) — обязательно проверьте правильность указанных направлений!
Силы ~
F
12
и ~
F
34
, приложенные к сторонам 12 и 34, действуют вдоль оси вращения. Они лишь
растягивают рамку и не вызывают её вращение.
Куда более интересны силы ~
F
23
и ~
F
14
, приложеные соответственно к сторонам 23 и 14. Они
лежат в горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси вращения. Эти силы вращают рам-
ку в направлении по часовой стрелке, если смотреть справа (рис.
86
, правая часть). Вычислим
момент этой пары сил относительно оси O вращения рамки.
Пусть длина стороны 14 равна a. Тогда
F
14
= F
23
= IBa.
Пусть длина стороны 12 равна b. Плечо d силы F
14
, как видно из рис.
86
(справа) равно:
d = OA =
b
2
sin ϕ.
Таким же будет плечо силы F
23
. Отсюда получаем момент сил, вращающий рамку:
M = F
14
d + F
23
d = IBa ·
b
2
sin ϕ + IBa ·
b
2
sin ϕ = IBab sin ϕ.
Теперь заметим, что ab = S — площадь рамки. Окончательно имеем:
M = IBS sin ϕ.
(74)
В этой формуле площадь служит единственной геометрической характеристикой рамки. Это
наводит на мысль, что только площадь рамки и существенна в выражении для вращающего
момента. И действительно, можно доказать
40
, что формула (
74
) справедлива для рамки любой
формы с площадью S.
Как видно из формулы (
74
), максимальный вращающий момент равен:
M
max
= IBS.
Эта максимальная величина момента достигается при ϕ = π/2, то есть когда плоскость рамки
параллельна магнитному полю.
Вращающий момент становится равным нулю при ϕ = 0 и ϕ = π. Оба этих положения
по-своему интересны.
При ϕ = π плоскость рамки перпендикулярна полю, а векторы ~
n и ~
B направлены в раз-
ные стороны. Данное положение является положением неустойчивого равновенсия: стоит хоть
немного шевельнуть рамку, как силы Ампера начнут её вращать в том же направлении, пово-
рачивая вектор ~
n к вектору ~
B (убедитесь!).
При ϕ = 0 плоскость рамки также перпендикулярна полю, а векторы ~
n и ~
B сонаправлены.
Это — положение устойчивого равновенсия: при отклонении рамки возникает вращающий мо-
мент, стремящийся вернуть рамку назад (убедитесь!). Начнутся колебания рамки, постепенно
затухающие из-за трения. В конце концов рамка остановится в положении ϕ = 0; в этом поло-
жении вектор индукции магнитного поля рамки сонаправлен с вектором ~
B индукции внешнего
40
Разбивая рамку на бесконечно узкие полоски, неотличимые от прямоугольников.
95

магнитного поля
41
. Полезное сопоставление: рамка занимает такое положение, что её поло-
жительная нормаль ориентируется в том же направлении, что и северный конец стрелки
компаса, помещённой в это магнитное поле.
Таким образом, поведение рамки в магнитном поле становится ясным: если отклонить рамку
от положения устойчивого равновесия и отпустить, то рамка будет совершать колебания. С
точки зрения совершения механической работы это не очень хорошо: если намотать нить на
ось вращения и подвесить к нити груз, то груз будет то подниматься, то опускаться.
Но вот если исхитриться и заставить ток менять направление в нужные моменты, то вместо
колебаний рамки начнётся её непрерывное вращение и, соответственно, непрерывный подъём
подвешенного груза. Тогда-то и получится полноценный электродвигатель; идея с переменой
направления тока реализуется с помощью коллектора и щёток.
41
Вот почему при намагничивании вещества элементарные токи ориентируются так, что их поля направлены
в сторону внешнего магнитного поля.
96

19
Электромагнитная индукция
Опыт Эрстеда показал, что электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное
поле. Майкл Фарадей пришёл к мысли, что может существовать и обратный эффект: магнитное
поле, в свою очередь, порождает электрический ток.
Иными словами, пусть в магнитном поле находится замкнутый проводник; не будет ли в
этом проводнике возникать электрический ток под действием магнитного поля?
Через десять лет поисков и экспериментов Фарадею наконец удалось этот эффект обнару-
жить. В 1831 году он поставил следующие опыты.
1. На одну и ту же деревянную основу были намотаны две катушки; витки второй катушки
были проложены между витками первой и изолированы. Выводы первой катушки подклю-
чались к источнику тока, выводы второй катушки — к гальванометру
42
. Таким образом,
получались два контура: «источник тока — первая катушка» и «вторая катушка — галь-
ванометр». Электрического контакта между контурами не было, только лишь магнитное
поле первой катушки пронизывало вторую катушку.
При замыкании цепи первой катушки гальванометр регистрировал короткий и слабый
импульс тока во второй катушке.
Когда по первой катушке протекал постоянный ток, никакого тока во второй катушке не
возникало.
При размыкании цепи первой катушки снова возникал короткий и слабый импульс тока
во второй катушке, но на сей раз в обратном направлении по сравнению с током при
замыкании цепи.
Вывод.
Меняющееся во времени магнитное поле первой катушки порождает (или, как говорят,
индуцирует) электрический ток во второй катушке. Этот ток называется индукционным
током.
Если магнитное поле первой катушки увеличивается (в момент нарастания тока при за-
мыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в одном направлении.
Если магнитное поле первой катушки уменьшается (в момент убывания тока при размы-
кании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в другом направлении.
Если магнитное поле первой катушки не меняется (постоянный ток через неё), то индук-
ционного тока во второй катушке нет.
Обнаруженное явление Фарадей назвал электромагнитной индукцией (т. е. «наведение
электричества магнетизмом»).
2. Для подтверждения догадки о том, что индукционный ток порождается переменным маг-
нитным полем, Фарадей перемещал катушки друг относительно друга. Цепь первой ка-
тушки всё время оставалась замкнутой, по ней протекал постоянный ток, но за счёт пере-
мещения (сближения или удаления) вторая катушка оказывалась в переменном магнит-
ном поле первой катушки.
Гальванометр снова фиксировал ток во второй катушке. Индукционный ток имел одно
направление при сближении катушек, и другое — при их удалении. При этом сила ин-
дукционного тока была тем больше, чем быстрее перемещались катушки.
42
Гальванометр — чувствительный прибор для измерения малых токов.
97

3. Первая катушка была заменена постоянным магнитом. При внесении магнита внутрь вто-
рой катушки возникал индукционный ток. При выдвигании магнита снова появлялся ток,
но в другом направлении. И опять-таки сила индукционного тока была тем больше, чем
быстрее двигался магнит.
Эти и последующие опыты показали, что индукционный ток в проводящем контуре возника-
ет во всех тех случаях, когда меняется «количество линий» магнитного поля, пронизывающих
контур. Сила индукционного тока оказывается тем больше, чем быстрее меняется это количе-
ство линий. Направление тока будет одним при увеличении количества линий сквозь контур, и
другим — при их уменьшении.
Замечательно, что для величины силы тока в данном контуре важна лишь скорость изме-
нения количества линий. Что конкретно при этом происходит, роли не играет — меняется ли
само поле, пронизывающее неподвижный контур, или же контур перемещается из области с
одной густотой линий в область с другой густотой.
Такова суть закона электромагнитной индукции. Но, чтобы написать формулу и произ-
водить расчёты, нужно чётко формализовать расплывчатое понятие «количество линий поля
сквозь контур».
19.1
Магнитный поток
Понятие магнитного потока как раз и является характеристикой количества линий магнитного
поля, пронизывающих контур.
~
B
Рис. 87. Φ = BS
Для простоты мы ограничиваемся случаем однородного
магнитного поля. Рассмотрим контур площади S, находящий-
ся в магнитном поле с индукцией ~
B.
Пусть сначала магнитное поле перпендикулярно плоскости
контура (рис.
87
).
В этом случае магнитный поток Φ определяется очень про-
сто — как произведение индукции магнитного поля на пло-
щадь контура:
Φ = BS.
(75)
Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор ~
B образует угол α с нормалью к плоскости
контура (рис.
88
).
~
B
~
B
⊥
α
Рис. 88. Φ = BS cos α
Мы видим, что теперь сквозь контур «протекает» лишь
перпендикулярная составляющая ~
B
⊥
вектора магнитной ин-
дукции ~
B (а та составляющая, которая параллельна контуру,
не «течёт» сквозь него). Поэтому, согласно формуле (
75
), име-
ем: Φ = B
⊥
S. Но B
⊥
= B cos α, поэтому
Φ = BS cos α.
(76)
Это и есть общее определение магнитного потока в случае
однородного магнитного поля. Обратим внимание на следую-
щие две ситуации.
• Если вектор ~
B перпендикулярен плоскости контура, то α = 0. Тогда cos α = 1, и мы снова
приходим к формуле (
75
).
• Если вектор ~
B параллелен плоскости контура (то есть α = 90
◦
), то cos α = 0 и магнитный
поток становится равным нулю (магнитное поле вообще не «течёт» сквозь контур).
98

А как определить магнитный поток, если поле не является однородным? Укажем лишь
идею. Поверхность контура разбивается на очень большое число очень маленьких площадок,
в пределах которых поле можно считать однородным. Для каждой площадки вычисляем свой
маленький магнитный поток по формуле (
76
), а затем все эти магнитные потоки суммируем.
Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). Как видим,
Вб = Тл · м
2
= В · с.
(77)
Почему же магнитный поток характеризует «количество линий» магнитного поля, прони-
зывающих контур? Очень просто. «Количество линий» определяется их густотой (а значит,
величиной B — ведь чем больше индукция, тем гуще линии) и «эффективной» площадью, про-
низываемой полем (а это есть не что иное, как S cos α). Но множители B и S cos α как раз и
образуют магнитный поток!
Теперь мы можем дать более чёткое определение явления электромагнитной индукции, от-
крытого Фарадеем.
Электромагнитная индукция — это явление возникновения электрического тока в зам-
кнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
19.2
ЭДС индукции
Каков механизм возникновения индукционного тока? Это мы обсудим позже. Пока ясно одно:
при изменении магнитного потока, проходящего через контур, на свободные заряды в контуре
действуют некоторые силы — сторонние силы, вызывающие движение зарядов.
Как мы знаем, работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда
вокруг контура называется электродвижущей силой (ЭДС):
E = A
ст
/q. В нашем случае, когда
меняется магнитный поток сквозь контур, соответствующая ЭДС называется ЭДС индукции и
обозначается
E
i
.
Итак, ЭДС индукции
E
i
— это работа сторонних сил, возникающих при изменении маг-
нитного потока через контур, по перемещению единичного положительного заряда вокруг
контура.
Природу сторонних сил, возникающих в данном случае в контуре, мы скоро выясним.
19.3
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Сила индукционного тока в опытах Фарадея оказывалась тем больше, чем быстрее менялся
магнитный поток через контур.
Если за малое время ∆t изменение магнитного потока равно ∆Φ, то скорость изменения
магнитного потока — это дробь ∆Φ/∆t (или, что то же самое, производная ˙
Φ магнитного потока
по времени).
Опыты показали, что сила индукционного тока I прямо пропорциональна модулю скорости
изменения магнитного потока:
I ∼
∆Φ
∆t
.
Модуль поставлен для того, чтобы не связываться пока с отрицательными величинами (ведь
при убывании магнитного потока будет ∆Φ < 0). Впоследствии мы это модуль снимем.
Из закона Ома для полной цепи мы в то же время имеем: I ∼
E
i
. Поэтому ЭДС индукции
прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
E
i
∼
∆Φ
∆t
.
(78)
99

ЭДС измеряется в вольтах. Но и скорость изменения магнитного потока также измеряется в
вольтах! Действительно, из (
77
) мы видим, что Вб/с = В. Стало быть, единицы измерения обе-
их частей пропорциональности (
78
) совпадают, поэтому коэффициент пропорциональности —
величина безразмерная. В системе СИ она полагается равной единице, и мы получаем:
E
i
=
∆Φ
∆t
= | ˙
Φ|.
(79)
Это и есть закон электромагнитной индукции или закон Фарадея. Дадим его словесную фор-
мулировку.
Закон электромагнитной индукции Фарадея. При изменении магнитного потока, про-
низывающего контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная модулю скорости
изменения магнитного потока.
19.4
Правило Ленца
Магнитный поток, изменение которого приводит к появлению индукционного тока в контуре,
мы будем называть внешним магнитным потоком. А само магнитное поле, которое создаёт
этот магнитный поток, мы будем называть внешним магнитным полем.
Зачем нам эти термины? Дело в том, что индукционный ток, возникающий в контуре, созда-
ёт своё собственное магнитное поле, которое по принципу суперпозиции складывается с внеш-
ним магнитным полем. Соответственно, наряду с внешним магнитным потоком через контур
будет проходить собственный магнитный поток, создаваемый магнитным полем индукционного
тока.
Оказывается, эти два магнитных потока — собственный и внешний — связаны между собой
строго определённым образом.
Правило Ленца. Индукционный ток всегда имеет такое направление, что собственный маг-
нитный поток препятствует изменению внешнего магнитного потока.
Правило Ленца позволяет находить направление индукционного тока в любой ситуации.
Рассмотрим некоторые примеры применения правила Ленца.
Предположим, что контур пронизывается магнитным полем, которое возрастает со време-
нем (рис.
89
). Например, мы приближаем снизу к контуру магнит, северный полюс которого
направлен в данном случае вверх, к контуру.
I
Внешнее поле возрастает
Поле индукционного тока
Рис. 89. Магнитный поток возрастает
Магнитный поток через контур увеличивается. Индукционный ток будет иметь такое на-
правление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал увеличению внешнего маг-
нитного потока. Для этого магнитное поле, создаваемое индукционным током, должно быть
направлено против внешнего магнитного поля.
100

Индукционный ток течёт против часовой стрелки, если смотреть со стороны создаваемого
им магнитного поля. В данном случае ток будет направлен по часовой стрелке, если смотреть
сверху, со стороны внешнего магнитного поля, как и показано на (рис.
89
).
Теперь предположим, что магнитное поле, пронизывающее контур, уменьшается со вре-
менем (рис.
90
). Например, мы удаляем магнит вниз от контура, а северный полюс магнита
направлен на контур.
I
Внешнее поле убывает
Поле индукционного тока
Рис. 90. Магнитный поток убывает
Магнитный поток через контур уменьшается. Индукционный ток будет иметь такое на-
правление, чтобы его собственный магнитный поток поддерживал внешний магнитный поток,
препятствуя его убыванию. Для этого магнитное поле индукционного тока должно быть на-
правлено в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле.
В этом случае индукционный ток потечёт против часовой стрелки, если смотреть сверху, со
стороны обоих магнитных полей.
19.5
Взаимодействие магнита с контуром
Итак, приближение или удаление магнита приводит к появлению в контуре индукционного
тока, направление которого определяется правилом Ленца. Но ведь магнитное поле действует
на ток! Появится сила Ампера, действующая на контур со стороны поля магнита. Куда будет
направлена эта сила?
Если вы хотите хорошо разобраться в правиле Ленца и в определении направления силы
Ампера, попробуйте ответить на данный вопрос самостоятельно. Это не очень простое упраж-
нение. Рассмотрите четыре возможных случая.
1. Магнит приближаем к контуру, северный полюс направлен на контур.
2. Магнит удаляем от контура, северный полюс направлен на контур.
3. Магнит приближаем к контуру, южный полюс направлен на контур.
4. Магнит удаляем от контура, южный полюс направлен на контур.
Не забывайте, что поле магнита не однородно: линии поля расходятся от северного полюса
и сходятся к южному. Это очень существенно для определения результирующей силы Ампера.
Результат получается следующий.
Если приближать магнит, то контур отталкивается от магнита. Если удалять маг-
нит, то контур притягивается к магниту. Таким образом, если контур подвешен на нити,
то он всегда будет отклоняться в сторону движения магнита, словно следуя за ним. Распо-
ложение полюсов магнита при этом роли не играет.
Результат этот можно объяснить и из совершенно общих соображений — при помощи закона
сохранения энергии.
101

Допустим, мы приближаем магнит к контуру. В контуре появляется индукционный ток. Но
для создания тока надо совершить работу! Кто её совершает? В конечном счёте — мы, пере-
мещая магнит. Мы совершаем положительную механическую работу, которая преобразуется в
положительную работу возникающих в контуре сторонних сил, создающих индукционный ток.
Итак, наша работа по перемещению магнита должна быть положительна. Это значит, что
мы, приближая магнит, должны преодолевать силу взаимодействия магнита с контуром, кото-
рая, стало быть, является силой отталкивания.
Теперь удаляем магнит. Повторите, пожалуйста, эти рассуждения и убедитесь, что между
магнитом и контуром должна возникнуть сила притяжения.
19.6
Закон Фарадея + Правило Ленца = Снятие модуля
Выше мы обещали снять модуль в законе Фарадея (
79
). Правило Ленца позволяет это сделать.
Но сначала нам нужно будет договориться о знаке ЭДС индукции — ведь без модуля, стоящего в
правой части (
79
), величина ЭДС может получаться как положительной, так и отрицательной.
Прежде всего, фиксируется одно из двух возможных направлений обхода контура. Это на-
правление объявляется положительным. Противоположное направление обхода контура назы-
вается, соответственно, отрицательным. Какое именно направление обхода мы берём в каче-
стве положительного, роли не играет — важно лишь сделать этот выбор.
Магнитный поток через контур считается положительным (Φ > 0), если магнитное поле,
пронизывающее контур, направлено туда, глядя откуда обход контура в положительном на-
правлении совершается против часовой стрелки. Если же с конца вектора магнитной индукции
положительное направление обхода видится по часовой стрелке, то магнитный поток считается
отрицательным (Φ < 0).
ЭДС индукции считается положительной (
E
i
> 0), если индукционный ток течёт в положи-
тельном направлении. В этом случае направление сторонних сил, возникающих в контуре при
изменении магнитного потока через него, совпадает с положительным направлением обхода
контура.
Наоборот, ЭДС индукции считается отрицательной (
E
i
< 0), если индукционный ток течёт в
отрицательном направлении. Сторонние силы в данном случае также будут действовать вдоль
отрицательного направления обхода контура.
Итак, пусть контур находится в магнитном поле ~
B. Фиксируем направление положительного
обхода контура. Предположим, что магнитное поле направлено туда, глядя откуда положитель-
ный обход совершается против часовой стрелки. Тогда магнитный поток положителен: Φ > 0.
Предположим, далее, что магнитный поток увеличивается (∆Φ/∆t > 0). Согласно правилу
Ленца индукционный ток потечёт в отрицательном направлении (рис.
91
).
I (течёт в отрицательном направлении)
~
B (магнитный поток возрастает)
Положительный обход
Рис. 91. Магнитный поток возрастает ⇒
E
i
< 0
Стало быть, в данном случае имеем
E
i
< 0. Знак ЭДС индукции оказался противоположен
знаку скорости изменения магнитного потока. Проверим это в другой ситуации.
102

А именно, предположим теперь, что магнитный поток убывает (∆Φ/∆t < 0). По правилу
Ленца индукционный ток потечёт в положительном направлении. Стало быть,
E
i
> 0 (рис.
92
).
I (течёт в положительном направлении)
~
B (магнитный поток убывает)
Положительный обход
Рис. 92. Магнитный поток возрастает ⇒
E
i
> 0
Таков в действительности общий факт: при нашей договорённости о знаках правило Ленца
всегда приводит к тому, что знак ЭДС индукции противоположен знаку скорости изменения
магнитного потока:
E
i
= −
∆Φ
∆t
= − ˙
Φ.
(80)
Тем самым ликвидирован знак модуля в законе электромагнитной индукции Фарадея.
19.7
Вихревое электрическое поле
Рассмотрим неподвижный контур, находящийся в переменном магнитном поле. Каков же меха-
низм возникновения индукционного тока в контуре? А именно, какие силы вызывают движение
свободных зарядов, какова природа этих сторонних сил?
Пытаясь ответить на эти вопросы, великий английский физик Максвелл открыл фундамен-
тальное свойство природы: меняющееся во времени магнитное поле порождает поле электри-
ческое. Именно это электрическое поле и действует на свободные заряды, вызывая индукцион-
ный ток.
Линии возникающего электрического поля оказываются замкнутыми, в связи с чем оно было
названо вихревым электрическим полем. Линии вихревого электрического поля идут вокруг
линий магнитного поля и направлены следующим образом.
Пусть магнитное поле увеличивается. Если в нём находится проводящий контур, то индук-
ционный ток потечёт в соответствии с правилом Ленца — по часовой стрелке, если смотреть с
конца вектора ~
B. Значит, туда же направлена и сила, действующая со стороны вихревого элек-
трического поля на положительные свободные заряды контура; значит, именно туда направлен
вектор напряжённости вихревого электрического поля.
~
E
~
B (увеличивается)
Рис. 93. Вихревое электрическое поле при увеличении магнитного поля
103

Итак, линии напряжённости вихревого электрического поля направлены в данном случае
по часовой стрелке (смотрим с конца вектора ~
B, (рис.
93
).
Наоборот, если магнитное поле убывает, то линии напряжённости вихревого электрического
поля направлены против часовой стрелки (рис.
94
).
~
E
~
B (уменьшается)
Рис. 94. Вихревое электрическое поле при уменьшении магнитного поля
Теперь мы можем глубже понять явление электромагнитной индукции. Суть его состоит
именно в том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Данный
эффект не зависит от того, присутствует ли в магнитном поле замкнутый проводящий контур
или нет; с помощью контура мы лишь обнаруживаем это явление, наблюдая индукционный
ток.
Вихревое электрическое поле по некоторым свойствам отличается от уже известных нам
электрических полей: электростатического поля и стационарного поля зарядов, образующих
постоянный ток.
1. Линии вихревого поля замкнуты, тогда как линии электростатического и стационарного
полей начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.
2. Вихревое поле непотенциально: его работа перемещению заряда по замкнутому контуру
не равна нулю. Иначе вихревое поле не могло бы создавать электрический ток! В то же
время, как мы знаем, электростатическое и стационарное поля являются потенциальными.
Итак, ЭДС индукции в неподвижном контуре — это работа вихревого электрического поля
по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура.
Пусть, например, контур является кольцом радиуса r и пронизывается однородным пере-
менным магнитным полем. Тогда напряжённость E вихревого электрического поля одинакова
во всех точках кольца. Работа A силы F , с которой вихревое поле действует на заряд q, равна:
A = F · 2πr = qE · 2πr.
Следовательно, для ЭДС индукции получаем:
E
i
=
A
q
= 2πrE.
19.8
ЭДС индукции в движущемся проводнике
Если проводник перемещается в постоянном магнитном поле, то в нём также появляется ЭДС
индукции. Однако причиной теперь служит не вихревое электрическое поле (оно вообще не
появляется — ведь магнитное поле постоянно), а действие силы Лоренца на свободные заряды
проводника.
104

Рассмотрим ситуацию, которая часто встречается в задачах. В горизонтальной плоскости
расположены параллельные рельсы, расстояние между которыми равно l. Рельсы находятся в
вертикальном однородном магнитном поле ~
B. По рельсам движется тонкий проводящий стер-
жень P N со скоростью ~
v; он всё время остаётся перпендикулярным рельсам (рис.
95
).
l
M
K
~
v
~
F
q
~
B
v∆t
P
P
0
N
N
0
Рис. 95. Движение проводника в магнитном поле
Возьмём внутри стержня положительный свободный заряд q. Вследствие движения этого
заряда вместе со стержнем со скоростью ~
v на заряд будет действовать сила Лоренца:
F = qvB.
Направлена эта сила вдоль оси стержня, как показано на рисунке (убедитесь в этом сами — не
забывайте правило часовой стрелки или левой руки!).
Сила Лоренца ~
F играет в данном случае роль сторонней силы: она приводит в движение
свободные заряды стержня. При перемещении заряда q от точки N к точке P наша сторонняя
сила совершит работу:
A = F l = qvBl.
(Длину стержня мы также считаем равной l.) Стало быть, ЭДС индукции в стержне окажется
равной:
E
i
=
A
q
= vBl.
(81)
Таким образом, стержень P N аналогичен источнику тока с положительной клеммой P и
отрицательной клеммой N . Внутри стержня за счёт действия сторонней силы Лоренца проис-
ходит разделение зарядов: положительные заряды двигаются к точке P , отрицательные — к
точке N .
Допустим сначала, что рельсы не проводят ток. Тогда движение зарядов в стержне постепен-
но прекратится. Ведь по мере накопления положительных зарядов на торце P и отрицательных
зарядов на торце N будет возрастать кулоновская сила, с которой положительный свободный
заряд q отталкивается от P и притягивается к N — и в какой-то момент эта кулоновская сила
уравновесит силу Лоренца. Между концами стержня установится разность потенциалов, равная
ЭДС индукции (
81
).
Теперь предположим, что рельсы и перемычка KM являются проводящими. Тогда в цепи
возникнет индукционный ток; он пойдёт в направлении P → K → M → N (от «плюса ис-
точника» P к «минусу» N ). Предположим, что сопротивление стержня равно r (это аналог
внутреннего сопротивления источника тока), а сопротивление участка P KM N равно R (сопро-
тивление внешней цепи). Тогда сила индукционного тока найдётся по закону Ома для полной
цепи:
I =
E
i
R + r
=
vBl
R + r
.
105

Замечательно, что выражение (
81
) для ЭДС индукции можно получить также с помощью
закона Фарадея. Сделаем это.
За время ∆t наш стержень P N проходит путь v∆t и занимает положение P
0
N
0
(рис.
95
).
Площадь контура возрастает на величину площади прямоугольника P P
0
N
0
N :
∆S = S
P P
0
N
0
N
= lv∆t.
Магнитный поток через контур увеличивается. Приращение магнитного потока равно:
∆Φ = B∆S = Blv∆t.
Скорость изменения магнитного потока положительна и равна ЭДС индукции:
E
i
=
∆Φ
∆t
= Blv.
Мы получили тот же самый результат, что и в (
81
).
Направление индукционного тока, заметим, подчиняется правилу Ленца. Действительно,
раз ток течёт в направлении P → K → M → N , то его магнитное поле направлено противо-
положно внешнему полю ~
B и, стало быть, препятствует возрастанию магнитного потока через
контур.
На этом примере мы видим, что в ситуациях, когда проводник движется в магнитном поле,
можно действовать двояко: либо с привлечением силы Лоренца как сторонней силы, либо с
помощью закона Фарадея. Результаты будут получаться одинаковые.
106

20
Самоиндукция
Самоиндукция является частным случаем электромагнитной индукции. Оказывается, что элек-
трический ток в контуре, меняющийся со временем, определённым образом воздействует сам
на себя.
Ситуация 1. Предположим, что сила тока в контуре возрастает. Пусть ток течёт против часовой
стрелки; тогда магнитное поле этого тока направлено вверх и увеличивается (рис.
96
).
I (увеличивается)
E
вихр
~
B (увеличивается)
Рис. 96. Вихревое поле препятствует увеличению тока
Таким образом, наш контур оказывается в переменном магнитном поле своего собственно-
го тока. Магнитное поле в данном случае возрастает (вместе с током) и потому порождает
вихревое электрическое поле, линии которого направлены по часовой стрелке в соответствии с
правилом Ленца.
Как видим, вихревое электрическое поле направлено против тока, препятствуя его возраста-
нию; оно как бы «тормозит» ток. Поэтому при замыкании любой цепи ток устанавливается не
мгновенно — требуется некоторое время, чтобы преодолеть тормозящее действие возникающего
вихревого электрического поля.
Ситуация 2. Предположим теперь, что сила тока в контуре уменьшается. Магнитное поле
тока также убывает и порождает вихревое электрическое поле, направленное против часовой
стрелки (рис.
97
).
I (уменьшается)
E
вихр
~
B (уменьшается)
Рис. 97. Вихревое поле поддерживает убывающий ток
Теперь вихревое электрическое поле направлено в ту же сторону, что и ток; оно поддержи-
вает ток, препятствуя его убыванию.
Как мы знаем, работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положи-
тельного заряда вокруг контура — это ЭДС индукции. Поэтому мы можем дать такое опреде-
ление.
Явление самоиндукции состоит в том, что при изменении силы тока в контуре возникает
ЭДС индукции в этом же самом контуре.
При возрастании силы тока (в ситуации 1) вихревое электрическое поле совершает отрица-
тельную работу, тормозя свободные заряды. Стало быть, ЭДС индукции в этом случае отри-
цательна.
107

При убывании силы тока (в ситуации 2) вихревое электрическое поле совершает положи-
тельную работу, «подталкивая» свободные заряды и препятствуя убыванию тока. ЭДС индук-
ции в этом случае также положительна
43
.
20.1
Индуктивность
Мы знаем, что магнитный поток, пронизывающий контур, пропорционален индукции магнит-
ного поля: Φ ∼ B. Кроме того, опыт показывает, что величина индукции магнитного поля
контура с током пропорциональна силе тока: B ∼ I. Стало быть, магнитный поток через по-
верхность контура, создаваемый магнитным полем тока в этом самом контуре, пропорционален
силе тока: Φ ∼ I.
Коэффициент пропорциональности обозначается L и называется индуктивностью контура:
Φ = LI.
(82)
Индуктивность зависит от геометрических свойств контура (формы и размеров), а также от
магнитных свойств среды, в которую помещён контур
44
. Единицей измерения индуктивности
служит генри (Гн).
Допустим, что форма контура, его размеры и магнитные свойства среды остаются посто-
янными (например, наш контур — это катушка, в которую не вводится сердечник); изменение
магнитного потока через контур вызвано только изменением силы тока. Тогда ∆Φ = L∆I, и
закон Фарадея
E
i
= −∆Φ/∆t приобретает вид:
E
i
= −L
∆I
∆t
= −L ˙
I.
(83)
Благодаря знаку «минус» в (
83
) ЭДС индукции оказывается отрицательной при возрастании
тока и положительной при убывании тока, что мы и видели выше.
Рассмотрим два опыта, демонстрирующих явление самоиндукции при замыкании и размы-
кании цепи.
В первом опыте к батарейке подключены параллельно две лампочки, причём вторая —
последовательно с катушкой достаточно большой индуктивности L (рис.
98
). Ключ вначале
разомкнут.
1
L
2
Рис. 98. Самоиндукция при замыкании цепи
При замыкании ключа лампочка 1 загорается сразу, а лампочка 2 — постепенно. Дело в том,
что в катушке возникает ЭДС индукции, препятствующая возрастанию тока. Поэтому макси-
мальное значение тока во второй лампочке устанавливается лишь спустя некоторое заметное
время после вспыхивания первой лампочки.
43
Нетрудно убедиться в том, что знак ЭДС индукции, определённый таким образом, согласуется с правилом
выбора знака для ЭДС индукции, сформулированным в предыдущем разделе.
44
Улавливаете аналогию? Ёмкость конденсатора зависит от его геометрических характеристик, а также от
диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора.
108

Это время запаздывания тем больше, чем больше индуктивность катушки. Объяснение про-
стое: ведь тогда больше будет напряжённость вихревого электрического поля, возникающего в
катушке, и потому батарейке придётся совершить б´
ольшую работу по преодолению вихревого
поля, тормозящего заряженные частицы.
Во втором опыте к батарейке подключены параллельно катушка и лампочка рис.
99
). Со-
противление катушки много меньше сопротивления лампочки.
L
Рис. 99. Самоиндукция при размыкании цепи
Ключ вначале замкнут. Лампочка не горит — напряжение на ней близко к нулю из-за мало-
сти сопротивления катушки. Почти весь ток, идущий в неразветвлённой цепи, проходит через
катушку.
При размыкании ключа лампочка ярко вспыхивает! Почему? Ток через катушку начинает
резко убывать, и возникает значительная ЭДС индукции, поддерживающая убывающий ток
(ведь ЭДС индукции, как видно из (
83
), пропорциональна скорости изменения тока).
Иными словами, при размыкании ключа в катушке появляется весьма большое вихревое
электрическое поле, разгоняющее свободные заряды. Под действием этого вихревого поля че-
рез лампочку пробегает импульс тока, и мы видим яркую вспышку. При достаточно большой
индуктивности катушки ЭДС индукции может стать существенно больше ЭДС батарейки, и
лампочка вовсе перегорит.
Лампочку-то, может, и не жалко, но в промышленности и энергетике данный эффект яв-
ляется серьёзной проблемой. Так как при размыкании цепи ток начинает уменьшаться очень
быстро, возникающая в цепи ЭДС индукции может значительно превышать номинальные на-
пряжения и достигать опасно больших величин. Поэтому в агрегатах, потребляющих большой
ток, предусмотрены специальные аппаратные меры предосторожности (например, масляные
выключатели на электростанциях), препятствующие моментальному размыканию цепи.
20.2
Электромеханическая аналогия
Нетрудно заметить определённую аналогию между индуктивностью L в электродинамике и
массой m в механике.
1. Чтобы разогнать тело до заданной скорости, требуется некоторое время — мгновенно
изменить скорость тела не получается. При неизменной силе, приложенной к телу, это
время тем больше, чем больше масса m тела.
Чтобы ток в катушке достиг своего максимального значения, требуется некоторое время;
мгновенно ток не устанавливается. Время установления тока тем больше, чем больше
индуктивность L катушки.
2. Если тело налетает на неподвижную стену, то скорость тела уменьшается очень быстро.
Стена принимает на себя удар, и его разрушительное действие тем сильнее, чем больше
масса тела.
109

При размыкании цепи с катушкой ток уменьшается очень быстро. Цепь принимает на се-
бя «удар» в виде вихревого электрического поля, порождаемого убывающим магнитным
полем тока, и этот «удар» тем сильнее, чем больше индуктивность катушки. ЭДС индук-
ции может достичь столь больших величин, что пробой воздушного промежутка выведет
из строя оборудование.
На самом деле эти электромеханические аналогии простираются довольно далеко; они каса-
ются не только индуктивности и массы, но и других величин, и оказываются весьма полезными
на практике. Мы ещё поговорим об этом в листке про электромагнитные колебания.
20.3
Энергия магнитного поля
Вспомним второй опыт с лампочкой, которая не горит при замкнутом ключе и ярко вспыхи-
вает при размыкании цепи. Мы непосредственно наблюдаем, что после размыкания ключа в
лампочке выделяется энергия. Но откуда эта энергия берётся?
Берётся она, ясное дело, из катушки — больше неоткуда. Но что за энергия была запасена
в катушке и как вычислить эту энергию? Чтобы понять это, продолжим нашу электромехани-
ческую аналогию между индуктивностью и массой.
Чтобы разогнать тело массы m из состояния покоя до скорости v, внешняя сила долж-
на совершить работу A. Тело приобретает кинетическую энергию, которая равна затраченной
работе: K = A = mv
2
/2.
Чтобы после замыкания цепи ток в катушке индуктивности L достиг величины I, источник
тока должен совершить работу по преодолению вихревого электрического поля, направленного
против тока. Работа источника идёт на создание тока и превращается в энергию магнитного
поля созданного тока. Эта энергия запасается в катушке; именно эта энергия и выделяется
потом в лампочке после размыкания ключа (во втором опыте).
Индуктивность L служит аналогом массы m; сила тока I является очевидным аналогом
скорости v. Поэтому естественно предположить, что для энергии магнитного поля катушки
может иметь место формула, аналогичная выражению для кинетической энергии:
W =
LI
2
2
(84)
(тем более, что правая часть данной формулы имеет размерность энергии — проверьте!).
Формула (
84
) действительно оказывается справедливой. Уметь её выводить пока не обяза-
тельно, но если вы знаете, что такое интеграл, то вам не составит труда понять следующие
рассуждения.
Пусть в данный момент сила тока через катушку равна I. Возьмём малый промежуток
времени dt. В течение этого промежутка приращение силы тока равно dI; величина dt считается
настолько малой, что dI много меньше, чем I.
За время dt по цепи проходит заряд dq = Idt. Вихревое электрическое поле совершает при
этом отрицательную работу:
dA
вихр
=
E
i
dq =
E
i
Idt = −L
dI
dt
Idt = −LIdI.
Источник тока совершает такую же по модулю положительную работу dA (сопротивлением
катушки, напомним, мы пренебрегаем, так что вся работа источника совершается против вих-
ревого поля):
dA = −dA
вихр
= LIdI.
110

Интегрируя это от нуля до I, найдем работу источника A, которая затрачивается на создание
тока I:
A =
I
Z
0
LIdI =
LI
2
2
.
Эта работа превращается в энергию W магнитного поля созданного тока, и мы приходим к
формуле (
84
).
111

21
Электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряже-
ния, происходящие в электрической цепи; кроме того, это периодические изменения напряжён-
ности электрического поля и индукции магнитного поля, возникающие и распространяющиеся
в окружающем пространстве.
Знакомство с электромагнитными колебаниями мы начнём с рассмотрения процессов, про-
исходящих в колебательном контуре.
21.1
Колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединён-
ными конденсатором и катушкой. Колебательный контур является простейшей системой, в
которой могут происходить электромагнитные колебания.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнутся свободные
электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в
катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без
какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через T . Сопротивление катушки будем
считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности
будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: t = 0. Заряд конденсатора равен q
0
, ток через катушку отсутствует
(рис.
100
). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
+q
0
−q
0
Рис. 100. t = 0
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как
только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая
возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину x
0
и в начальный момент отпущен. Началь-
ная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода: 0 < t < T /4. Конденсатор разряжается, его заряд в данный
момент равен q. Ток I через катушку нарастает (рис.
101
).
+q
−q
I
Рис. 101. 0 < t < T /4
112

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятству-
ет нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия. Маятник движется влево к положению равновесия; скорость v маятника посте-
пенно увеличивается. Деформация пружины x (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти: t = T /4. Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла
максимального значения I
0
(рис.
102
). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
I
0
Рис. 102. t = T /4
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт
уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального
значения v
0
. Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: T /4 < t < T /2. Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется
заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис.
103
).
−q
+q
I
Рис. 103. T /4 < t < T /2
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убыва-
ющий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой край-
ней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти: t = T /2. Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять
равен q
0
(но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис.
104
). Сейчас начнётся обратная
перезарядка конденсатора.
−q
0
+q
0
Рис. 104. t = T /2
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Дефор-
мация пружины максимальна и равна x
0
.
113

Третья четверть: T /2 < t < 3T /4. Началась вторая половина периода колебаний; процессы
пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис.
105
).
−q
+q
I
Рис. 105. T /2 < t < 3T /4
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: t = 3T /4. Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и
снова равен I
0
, но на сей раз имеет другое направление (рис.
106
).
I
0
Рис. 106. t = 3T /4
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью v
0
, но
на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: 3T /4 < t < T . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис.
107
).
+q
−q
I
Рис. 107. 3T /4 < t < T
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней
левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: t = T . Обратная перезарядка конденсатора
завершена, ток равен нулю (рис.
108
).
+q
0
−q
0
Рис. 108. t = T
114

Данный момент идентичен моменту t = 0, а данный рисунок — рисунку
100
. Совершилось
одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы
будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут про-
должаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном
колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на кон-
денсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся
энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки
и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия
маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
21.2
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катуш-
ки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость C, индуктивность катушки равна L.
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспре-
деляется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен q
0
, а ток отсут-
ствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия W контура
сосредоточена в конденсаторе:
W =
q
2
0
2C
.
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I
0
, а конденсатор раз-
ряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
W =
LI
2
0
2
.
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен q и через катушку течёт
ток I, энергия контура равна:
W =
q
2
2C
+
LI
2
2
.
Таким образом,
q
2
2C
+
LI
2
2
=
q
2
0
2C
=
LI
2
0
2
.
(85)
Соотношение (
85
) применяется при решении многих задач.
21.3
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и мас-
сой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими
и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (
85
):
kx
2
2
+
mv
2
2
=
kx
2
0
2
=
mv
2
0
2
.
(86)
115

Здесь, как вы уже поняли, k — жёсткость пружины, m — масса маятника, x и v — текущие
значения координаты и скорости маятника, x
0
и v
0
— их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (
85
) и (
86
), мы видим следующие соответствия:
q ←→ x;
(87)
I ←→ v;
(88)
L ←→ m;
(89)
1/C ←→ k.
(90)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для пери-
ода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
T = 2π
r m
k
.
B соответствии с аналогиями (
89
) и (
90
) заменяем здесь массу m на индуктивность L, а
жёсткость k на обратную ёмкость 1/C. Получим:
T = 2π
√
LC .
(91)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (
91
) даёт верное выражение для пе-
риода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре при-
ведём её более строгий вывод.
21.4
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется
со временем по закону синуса или косинуса.
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими.
Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда
конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как
положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет;
пусть это будет направление против часовой стрелки (рис.
109
).
q
Рис. 109. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной (I > 0), если ток течёт в положительном направлении.
В противном случае сила тока будет отрицательной (I < 0).
Заряд конденсатора q — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток
(т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае q —
заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: ˙
q = I (при ином выборе
знаков могло случиться ˙
q = −I). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если I > 0, то
заряд q левой пластины возрастает, и потому ˙
q > 0.
116

Величины q = q(t) и I = I(t) меняются со временем, но энергия контура остаётся неизмен-
ной:
q
2
2C
+
LI
2
2
= W = const.
(92)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: ˙
W = 0. Берём производную по
времени от обеих частей соотношения (
92
); не забываем, что слева дифференцируются сложные
функции
45
:
2q ˙
q
2C
+
L · 2I ˙
I
2
= ˙
W = 0.
Подставляя сюда ˙
q = I и ˙
I = ¨
q, получим:
qI
C
+ LI ¨
q = 0,
I

q
C
+ L¨
q

= 0.
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
q
C
+ L¨
q = 0.
Перепишем это в виде:
¨
q +
1
LC
q = 0.
(93)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида ¨
q + ω
2
0
q = 0, где
ω
2
0
= 1/LC. Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т. е.
по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
ω
0
=
1
√
LC
.
(94)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в конту-
ре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний
равен:
T =
2π
ω
0
= 2π
√
LC .
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
q = q
0
cos(ω
0
t + α).
(95)
Циклическая частота ω
0
находится по формуле (
94
); амплитуда q
0
и начальная фаза α опреде-
ляются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при t = 0
заряд конденсатора максимален и равен q
0
(как на рис.
100
); ток в контуре отсутствует. Тогда
начальная фаза α = 0, так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой q
0
:
q = q
0
cos ω
0
t = q
0
cos

t
√
LC

.
(96)
45
Если y = y(x) — функция от x, то по правилу дифференцирования сложной функции производная от
квадрата нашей функции будет равна: (y
2
)
0
= 2yy
0
.
117

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение
(
96
), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
I = ˙
q = −q
0
ω
0
sin ω
0
t.
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону
синуса:
I = −I
0
sin ω
0
t = −I
0
sin

t
√
LC

.
(97)
Амплитуда силы тока равна:
I
0
= q
0
ω
0
=
q
0
√
LC
.
Наличие «минуса» в законе изменения тока (
97
) понять не сложно. Возьмём, к примеру,
интервал времени 0 < t < T /4 (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: I < 0. Поскольку ω
0
= 2π/T , фаза колебаний
находится в первой четверти: 0 < ω
0
t < π/2. Синус в первой четверти положителен; стало
быть, синус в (
97
) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для
обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (
97
).
А теперь посмотрите на рис.
107
. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает
наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т. е. графики функций (
96
) и (
97
). Для на-
глядности представим эти графики в одних координатных осях (рис.
110
).
t
q, I
0
q = q(t)
I = I(t)
Рис. 110. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот,
нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
cos

ϕ +
π
2

= − sin ϕ,
запишем закон изменения тока (
97
) в виде:
I = −I
0
sin ω
0
t = I
0
cos

ω
0
t +
π
2

.
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда q = q
0
cos ω
0
t, мы видим, что фаза
тока, равная ω
0
t + π/2, больше фазы заряда ω
0
t на величину π/2. В таком случае говорят, что
ток опережает по фазе заряд на π/2; или сдвиг фаз между током и зарядом равен π/2; или
разность фаз между током и зарядом равна π/2.
118

Опережение током заряда по фазе на π/2 графически проявляется в том, что график тока
сдвинут влево на π/2 относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего
максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода
как раз и соответствует разности фаз π/2).
21.5
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической
вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей
силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к
источнику синусоидального напряжения (рис.
111
).
∼
U
C
L
Рис. 111. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt,
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой ω (и с периодом,
соответственно, T = 2π/ω). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру
свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте ω
0
= 1/
√
LC.
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты ω: амплитуда тем
больше, чем ближе ω к собственной частоте контура ω
0
. При ω = ω
0
наступает резонанс — резкое
возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем
листке, посвящённом переменному току.
119

22
Переменный ток. 1
Переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания, вызываемые в электриче-
ской цепи источником переменного (чаще всего синусоидального) напряжения.
Переменный ток присутствует всюду. Он течёт по проводам наших квартир, в промышлен-
ных электросетях, в высоковольтных линиях электропередач. И если вам нужен постоянный
ток, чтобы зарядить аккумулятор телефона или ноутбука, вы используете специальный адап-
тер, выпрямляющий переменный ток из розетки.
Почему переменный ток распространён так широко? Оказывается, он прост в получении и
идеально приспособлен для передачи электроэнергии на большие расстояния. Подробнее об этих
вопросах мы поговорим позже — в разделе, посвящённом производству, передаче и потреблению
электрической энергии.
А сейчас мы рассмотрим простейшие цепи переменного тока. Будем подключать к источнику
синусоидального напряжения поочерёдно:
• резистор сопротивлением R;
• конденсатор ёмкости C;
• катушку индуктивности L.
Изучив поведение резистора, конденсатора и катушки в цепи переменного тока, мы затем
подключим их одновременно и исследуем прохождение переменного тока через колебательный
контур, обладающий сопротивлением.
Напряжение на клеммах источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt.
(98)
Как видим, напряжение может быть положительным и отрицательным. Каков смысл знака
напряжения?
Всегда подразумевается, что выбрано положительное направление обхода контура. Напря-
жение считается положительным, если электрическое поле зарядов, образующих ток, имеет
положительное направление. В противном случае напряжение считается отрицательным.
Начальная фаза напряжения не играет никакой роли, поскольку мы рассматриваем процес-
сы, установившиеся во времени. При желании вместо синуса в выражении (
98
) можно было бы
взять косинус — принципиально от этого ничего не изменится.
Текущее значение напряжения U (t) в момент времени t называется мгновенным значением
напряжения.
22.1
Условие квазистационарности
В случае переменного тока возникает один тонкий момент. Предположим, что цепь состоит из
нескольких последовательно соединённых элементов.
Если напряжение источника меняется по синусоидальному закону, то сила тока не успевает
мгновенно принимать одно и то же значение во всей цепи — на передачу взаимодействий между
заряженными частицами вдоль цепи требуется некоторое время.
Между тем, как и в случае постоянного тока, нам хотелось бы считать силу тока одинаковой
во всех элементах цепи. К счастью, во многих практически важных случаях мы действительно
имеем на это право.
Возьмём, к примеру, переменное напряжение частоты ν = 50 Гц (это промышленный стан-
дарт России и многих других стран). Период колебаний напряжения: T = 1/ν = 0,02 с.
120