Анықтама.А және В жиындары берiлсiн. Егер А және В жиындарының арасындағы f сәйкестiгi бойынша А жиынының әрбiр элементiне В жиынының бiр ғана элементi сәйкес қойылса, f сәйкестiгiн А жиынынан В жиынына бейнелеу деп атаймыз. Белгiлеуi: f: AB. Егер bВ элементi f бейнелеуi бойынша аА элементiнiң бейнесi болса, оны f(a)=b теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы а элементi f бейнелеуі бойынша b элементiнiң алғашқы бейнесi, ал b элементi а элементiнiң бейнесi деп аталады.
В жиынының алғашқы бейнесі бар элементтерінен тұратын ішкі жиынын
Imf=f(A)=y:yB үшiн f(x) = у болатындай xА табылады} арқылы белгiлеймiз. Бұл жиынды f бейнелеуi бойынша А жиынының В жиынындағы бейнесi деп атаймыз.
Ендi бейнелеулердiң арнайы түрлерiне тоқталайық.
Анықтама.А және В жиындары берiлсiн. Егер f: AB бейнелеуi үшiн ImfВ жиынының кез келген элементiнiң бiр ғана алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген x1,x2 элементтерi үшiн
f(x1) = f(x2) теңдігінен x1 x2 болатыны шығады.
Егер жоғарыдағы шарты орындалса, онда f бейнелеуiн әрмәнді инъективтi бейнелеу деп атаймыз.
Анықтама. Егер f: AB бейнелеуi кезiнде В жиынының әрбiр элементiнiң алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген bВ үшiн аА табылып, f(a)= b теңдiгi орындалса, онда f бейнелеуiн А жиынының В жиынына тұтас (съюрективтi) бейнелеу деп атаймыз.
Анықтама. Егер f: AB бейнелеуi әрмәнді инъективтi және тұтас (съюрективтi) бейнелеу болса, онда f бейнелеуi бірге-бір сәйкестiк биекция)немесе бірге-бір бейнелеу деп аталады.
Сонымен, қысқартажазсақ:
f – биекция болады сонда тек сонда ғана, егер
x,yA үшiн
Кез келген yB үшiн f(x) = y болатындай xA табылады.
шарттары орындалса.
Кез келген үшiн 1A(a)=a теңдiгi орындалатын 1A:AA функциясы бiрлiк функция деп аталады.
Егер f: AB және бейнелеулері үшін сәйкестігін үшін шартымен анықтасақ, бұл сәйкестік бейнелеу болады және оны және бейнелеулерінің композициясы (бернесі) деп айтамыз.
Белгілеуі: .
Егер f: AB, және берілсе, олардың композициясы үшін әруақытта келесі
терімділік:
қасиеті орындалады.
Егер f: AB бейнелеуі үшін бейнелеуі табылып, теңдігі орындалса, яғни кез келген үшін болса, онда бейнелеуі f бейнелеуіне кері бейнелеу деп аталып, ол түрінде белгіленеді.
1
№ 3
дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Қатынастар.
2. Бинарлы қатынастар және берілу тәсілдері.
3. Бинарлы қатынастарға қолданылатын амалдар және олардың қасиеттері. Дәрістің қысқаша мазмұны:
Анықтама. Бос емес А жиыны берiлсiн. Мұндеғы n – оң бүтiн сан, онда n жиынының кез келген iшкi жиынын А жиынында анықталған n-орынды қатынас деп атаймыз.
1-орынды қатынастар унарлық, 2-орынды қатынастар бинарлық, 3-орынды қатынастар тернарлық қатынастар деп аталады. Практикада негiзiнен унарлық және бинарлық қатынастармен жұмыс iстеймiз. Әсiресе, төменде келтiрiлетiн арнайы бинарлық қатынастар математикада кеңінен қолданыс тапқан.
Осы бөлімде R арқылы А жиынында анықталған бинарлық қатынасты белгiлеуге келіселік. Сонымен бірге, парының R қатынасына тиістілігін (а,b)R, немесе aRb таңбалаулардың бірімен белгілейміз.
Бiздiң курсымызда ерекше маңызды және жиi кездесетiн арнайы бинарлық қатынастарды анықтайық.
Егер кез келген элементi үшiн (x,x)R болса, онда R қатынасы рефлексивтi қатынас деп аталады.
Егер кез келген x,y элементтерi үшiн шарты орындалса, онда R қатынасы симметриялы деп аталады.
Егер кез келген элементтерi үшiн және шарты орындалса, онда қатынасы транзитивтi деп аталады.
Кез келген үшiн болса, онда қатынасы иррефлексивтi деп аталады.
Кез келген x,y үшiн және болғандығынан xy теңдiгi орындалса, онда қатынасы антисимметриялы деп аталады.
Анықтамадан рефлексивті және иррефлексивті, симметриялы және антисимметриялы қатынастар біріне бірі толықтауыш жиындар болуы міндетті емес екенін көреміз.
