Екінші ретті айырымдық теңдеуді айдау әдісімен шешу

y ^ 

xy ^  0 ,5 ^y

x

 1 ,

24. 
    - айнымалы,
    

x  [ 2; 2 ,3 ]

аралығында жоғарыдағы теңдеуді және осы

аралықтың екі шеткі нүктелерінде шекаралық шарттарын қанағаттандыратын y=y(x) шешімін табу керек:

y ( 2 ) 

2 y ^( 2 )  1

.

y ( 2 ,3 )  2 ,15

Қуалау әдісін қолданып берілген шектік есептің шешімін табу, 

және h=0,01.

Шешім:
0

n


 10  3

 x


i

h


 x ₀

 ih , i  1, 2 ,.., n  1;

x  2 ,

x  2 ,3

тор енгізейік. Егер

h  0 ,05

деп алсақ онда n 

b  a

h

2 ,3  2



0 ,05

 6 .

24. 
     y ( x _i ) белгілейміз және дифференциалдық теңдеудегі туындыларды
    i
    
    

шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз. Орталық-айырымдық қатынастар қолданамыз. Дифференциалдық теңдеу келесі түрге келтіріледі:
y  2 y  y y  y y

i  1 i i 1 _{ x} i  1 i 1 _{ 0 ,5} i _{ 1;}

i  1, 2 ,...,

n  1

i
2


h 2 h x _i

Ұқсас мүшелерін жинақтау арқылы:

1

^y i 1 ⁽ ₂

h

• 
  ^{x i} ) 
  

2 h
2

y _i ( ₂

h
0 ,5

 ) 

x _i
1

^y i  1 ⁽ ₂

h

• 
  x _i
  

2 h
)  1 .

Теңдеудің екі жағын да h 2 көбейтеміз:

^y i 1
(1  0 ,5 hx ) 
y ( 2 
i

0 ,5 h ²

) 

x _i
^y i  1
(1  0 ,5 hx

)  h ² .

Шекаралық шарттар келесідей жазылады:

i

i

_ y ₀



 2 y ^  1

.
0

 ^y n

 2 ,15

y ^ туындыны шекті-айырымды қатынастармен алмастырамыз:
0

y ^ 
0


y  y _{0 .}

h
1

Яғни, теңдеудің шекаралық шарттар келесідей жазылады:



_ y ₀  2



y  y _{0  1}

h ^.
1

^ 2 ,15
y



 n

Ұқсас мүшелерін жинақтау арқылы:

h  2

y ₀ 

h

y ²  1 ,

h
1

y ( h  2 ) 
2 y ₁

 h ,

2

y  y 
0

1

2  h

h _.

h  2

Сонымен y табуға арналған келесі жүйе құрылды:
0

i



 ^{y i  1}


(1  0 ,5 hx ) 

y ( 2 
i

0 ,5 h ²

) 

x _i
^y i  1
(1  0 ,5 hx ) 
h ² ,
i

i  1, 2 ,...,
n  1



_ y ₀



n  1

2



i

2  h

y  ^.

h  2
1

h

 ^y _n





 0 y  2 ,15

Осы жүйе - n+1 сызықтық теңдеулерден тұратын n+1

y _i ,

i  0 ,1, 2 ,..., n

белгісіздері бар жүйе.

y _i ,

i  0 ,1, 2 ,..., n

дискретті функция

y ( x )

функцияны

жұықтайды. Осындай жүйелерді қуалау әдісімен шешу тиімді.

Берілген есеп үшін:

i

a  (1  0 ,5 hx
i

_i );
b  (1  0 ,5 hx
_i );
c  2 

0 ,5 h ²

;
i


x _i
f   h ² ,
i  1, 2 ,...,



n  1_







2

2
i





,

¹ 2  h

h

,






¹ h  2

 0 ,

 2 ,15 ^

_


2

Қуалау әдісінің жинақтылық шарты орындалады:



i

i

2



1

a  0 ,
i


b  0 ,

c  a _i

• 
  b _i ,
  

 1,  1

Тура қуалау: Алдымен  ,  коэффициенттерін есептеп табамыз:
i i

  

1



1

2

,

2  h

^ i  1 ^

b_{i ,}

c   a
i i

i

i  1, 2 , ,
n  1

.

h a   f


  
1

1


^{, } i  1

_ i i i _,

i  1, 2 , ,

n  1

h  2
n

2 3 4

n

i


c  

i ^a i

Осы формулалардың көмегімен есептеледі.
2 3 4

Кері қуалау:

 ,  ,  ,.....,  ;

 ,  ,  ,.....,  ;

   

Алдымен
n


y есептейміз

y  ^{2 n 2}  2 ,15

, одан кейін функцияның

1  
n



2 n

қалған

^y n 1 ^{, y} n  2 ^{, y} n  3 ^{, ,}

y ₁ , y ₀

мәндері табылады:

y _i
  y 

 ,

Сонымен:

i  1 i  1

i  1

i  n  1, n  2 , ,

1, 0 .

a  2 ; b
i

i

 2 , 3; c
i

 2 ;
h  0 ,01 ; n 

( b  a )

h




 30 ; 
 1,005025
1

;  ₂

 0 ;

 0 ,00503 ;




1


₂ 2 ,15 ;

f   0 ,0001 .

4. 
   Лапластың айырымдық операторының қасиеті.
   

Ғылыми зерттеулер нәтижесінде операторлық есептеу теориясында Лаплас бойынша түрлендірілетін функцияларды ғана пайдалану, оның қолданылу өрісін тарылтатындығы байқалды. Бұл кемшіліктен құтылу үшін Хевисайдтың белгілеулеріне қайта оралып, функция ұғымын жалпылау қажеттігі туды. Осындай қажеттілікпен байланысты жарыққа шыққан польша математигі Я. Микусинскийдің «Операторлық есептеу» деп аталатын еңбегі алғашқы операторлық көзқарасқа қайта оралудың бастамасы болды.

Операторлық әдістің мәнін қысқаша былай сипаттауға болады:

Нақты айнымалы t-ның  функциясы берілсін дейік. Бұл функцияның Лаплас түрлендіруі ( -түрлендіру) мына түрде болсын

Бұл теңдіктің оң жағындағы жинақталатын меншіксіз интеграл.

 түрлендіруін пайдаланып әрбір Лаплас бойынша түрлендірілетін түпнұсқа деп аталатын  функциясына оның бейнесі деп аталатын комплекс айнымалының  функциясын сәйкес келтіруге болады.

Лаплас түрлендіруінің тамаша қасиеттері бар. Мысалы,  түпнұсқасын  бойынша дифференциалдауға  функциясын р комплекс айнымалысына көбейту амалы сәйкес келеді. Сонымен, түпнұсқаны дифференциалдау және интегралдау амалдарына бейнелер кеңістігінде қарапайым алгебралық амалдар, яғни  бейнесін р санына көбейту және бөлу амалдары сәйкес келеді.

Берілген  бейнесі бойынша оған сәйкес  түпнұсқасын табу үшін Лапластың кері түрлендіруін ( түрлендіру) пайдалануға болады.

5. 
   Айырымдық схеманың тұрақтылығы.
   

Дифференциалды есепті айырымдық схемамен алмастырған кезде шыққан

сызықты теңдеулер жүйесінің оң жағы белгілі бір қателіктермен беріледі (бастапқы және шекаралық шарттарды пайдаланған кезде жіберілген қателер). Және осы теңдеулер жүйесін шешкен кезде қателер жіберілуі мүмкін (дөңгелектенген кезде, басқа да кездейсоқ қателер). Егер айырымдық схеманы шешу кезінде бастапқы қателер өсетін болса, ондай схемалар іс жүзінде жарамсыз болып табылады.

Ондай айырымдық схемаларды орнықсыз схемалар деп атайды. Ал, егер айырымдық схеманы шешкен кезде бастапқы қателер өспейтін болса, онда ондай схемаларды орнықты схемалар дейміз. Мысалы (4.9) айырымдық схемасы бастапқы мәннен үзіліссіз тәуелді екенін, яғни бастапқы мән бойынша орнықты екенін көреміз. Ал (4.11) айырымдық схемасы  шарты орындалған кезде орнықсыз, яғни  нөлге ұмтылғанда шексіздікке ұмтылатынын көрдік.

6. 
   Нейман белгісі
   

Орнатылған теорияның аксиоматизациясы (Эрнст Зермело және Авраам Франкель) математиканың нақты практикасында қолданылатын барлық жиынтықтарды салуға мүмкіндік беретін бірқатар қағидалар арқылы шешілді, бірақ бұл оның пайда болу мүмкіндігін нақты жоққа шығарған жоқ. өздеріне тиесілі жиынтықтар. 1925 жылғы докторлық диссертациясында фон Нейман бұл мүмкіндікті екі қосымша әдіспен қалай жоюға болатындығын көрсетті: іргетастың аксиомасы және ұғымы сынып.¹¹

Осы жаңа аксиоманың басқаларға қосылуы қайшылықтар тудырмайтындығын көрсету үшін фон Нейман демонстрация әдісін ұсынды («ішкі модельдер әдісі» деп аталады), кейіннен бұл теорияда маңызды құралға айналды. Нейман фон әдісімен өзіне тиесілі емес барлық жиынтықтардың класын жасауға болады, бірақ ол a тиісті сынып және жиын емес.

7. 
   Айырымдық схеманың жинақтылығы.
   

Берілген есепті айырымдық есептермен алмастырғанда, осы айырымдық есептің шешуі берілген есептің шешуін қаншалықты дәл жуықтайды және торлардың қадамдарын кішірейткен сайын қандай шапшаңдықпен дәл шешімге жинақталады деген мәселені қарастырайық.

Айталық,  облысында сызықты дифференциалды теңдеу

 (4.1)

және оның қосымша шарты

 (4.2)

берілсін. Мұнда  берілген функциялар ,  сызықты дифференциалды оператор. (4.1)-(4.2) есебінің бір ғана шешуі бар деп ұйғарамыз. Енді  облысын  торымен жабайық.  түйіндердің тығыздығын анықтайтын параметр болсын. (4.1)-(4.2) есебін

 , (4.3)

 (4.4)

айырымдық есебімен алмастырайық. Мұндағы  белгілі торлық функциялар. (4.3)-(4.4) есебінің шешуі  торында анықталған торлық функция.  параметрін өзгерту арқылы, яғни  торының тығыздығын өзгерту арқылы (4.3)-(4.4) есебінің  тан тәуелді шешулерінің  жиынын аламыз.

(4.1)-(4.2) есебінің шешуін (4.3)-(4.4) есебінің шешуі қаншалықты жуықтайтындығын  -торлық функциялар кеңістігінде қарастырамыз.

Айталық,  функциясының  торының түйіндеріндегі, яғни  болсын.

Енді айырымдық схеманың шешуінің дәлдігін былай белгілесек:

 , (4.5)

 (4.6)

есебін аламыз. Мұндағы

шамалары жуықтау қателігі (апроксимация қателігі). Яғни (4.1)-(4.2) есебін (4.3)-(4.4) есебімен алмастырғандағы жіберілген қате.

Енді  шамаларын бағалау үшін оларды тиісінше  шекті өлшемді торлық функциялар жиынында жатады деп есептеп, осы жиындарда  нормаларын енгізейік.

Анықтама-1 Егер  шарттары орындалса, онда (4.3)-(4.4) айырымдық схемасы (4.1)-(4.2) есебіноның шешуінде  тың  дәрежесіндегі дәлдікпен жуықтайды (аппроксимациялайды) дейді. Мұндағы 

8. 
   Тор функциясының кеңістігі
   

Жай немесе дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шешкенде торлық немесе айырымдық деп аталатын, сандық әдістер жиі қолданылады. Ал теңдеулердің шешуі, - торлық функция деп аталады да сандық кесте түрінде орындалады.

Енді осы тор және торлық функцияларға түсінік берейік:

1. Бір өлшемді кеңістіктегі тор және торлық функция.

Айталық, кесіндісінде жататын саны шектеулі кез-келген

нүктелер жиыны берілсе, оны тор деп атаймыз, ал осы нүктелердегі функцияның мәнін торлық функция деп атаймыз. Егер торлық нүктелер үшін



шарты орындалса, онда торды деп белгілейміз. Ал нүктесін тордың түйіні (торабы деп те атайды) дейміз, нүктелерін шеттік нүкте дейміз.

Егер шарты орындалса, онда торын бірқалыпты тор дейді. Мұнда тордың қадамы деп аталады. Бұл жағдайда тор параметріне тәуелді. Яғни нөлге ұмтылған жағдайда торының тығыздығы ұлғая түседі. Ал функциясының нүктелер жиынындағы мәндерін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер саны жоғарыдан шектелген болса, онда торлық функцияларды векторлық функция деп қарастыруға болады, яғни

.

Торлық функциялардың бір-біріне жақындығын көбінесе норма арқылы бағалайтындықтан, торлық функцияның нормасы деген анықтама енгіземіз.

Анықтама. Егер торлық функциялар жиынында

сандық функциясы үшін

1. 
   егер
   
2. 
   (С-кез-келген сан)
   
3. 
   (үшбұрыштар теңсіздігі)
   

шарттары орындалса, онда санын торлық функциясының нормасы және деп белгілейді.

Осы анықтаманы қанағаттандыратын норманы әртүрлі жолмен алуға болады.

Жалпы торлық функциялардың нормаларын басқа да жолдармен анықтауға болады.

Айталық, торлық функциялары , ал торлық функцияларының нүктелеріндегі жуық мәндері болсын, онда және функцияларының бір-біріне жуықтығын

шамасы арқылы бағалаймыз.

2. Екі өлшемдегі кеңістіктегі тор және торлық функция.

Айталық, () жуықтығында шекарасы болатын формасы күрделі облысы берілсін және осы облыста анықталған жеткілікті үзіліссіз функция болсын. Енді облысына

, , , ,

түзу сызықтарын жүргіземіз. Мұндағы шамалары ретімен және айнымалылары бойынша алынған тордың қадамдары деп аталады. Осы түзу сызықтардың қиылысу нүктелерін түйіндер (торап) деп атаймыз.

Егер екі түзудің түйіндері - болса, онда оларды ішкі түйіндер дейміз, ал түзулерінің шекарасымен қиылысқан нүктелерді шеттік түйіндер деп атаймыз. Егер екі түйін бір-бірімен және остері бойынша немесе -дегі ара қашықтықта жатса, көрші тораптар дейміз. Егер түйіні үшін ең болмағанда бір көрші түйін -да жатпаса, онда оны шекаралық түйін дейміз.

1-суретте белгілері ішкі , белгілері шекаралық, шеттік түйіндерді көрсетеді.

Ішкі нүктелер жиынын- шеттік нүктелер жиынын- деп белгілесек, онда түйіндер жиынын облысын жапқан тор деп дейміз .

1-сурет .

Егер болса, онда торды квадрат, ал болса, онда тіктөртбұрышты тор дейді. (Кейбір жағдайларда үшбұрышты т.б. торлар болуы мүмкін) тізбегін торлық функциялар жиыны деп атаймыз. Егер үзіліссіз функциялар кеңістігі болса, функциясының нормасын

деп белгілесек, онда торлық функциялардың нормасын

деп белгілейміз, немесе тізбегін вектор деп қарасақ

онда

деп алуға болады.

Егер қарастырып отырған функциямыз облысында

нормасына сәйкес квадраты бойынша интегралданатын болса, онда

нормасын қолдануға болады.

Егер торлық функциялары торлық функцияларының жуық мәндері болса, онда олардың жуықтығын, жоғарыда көрсеткендей ,

нормасы арқылы анықтайды.

Көпөлшемді функциялар үшін де, жоғарыда көрсетілгендей, тордың, торлық функциялардың және олардың жуықтауына анықтама енгізуге болады

9. 
   Максималды мән принципі
   

Понтрягиннің максималды принципі ішінде қолданылады оңтайлы бақылау қабылдау үшін ең жақсы бақылауды табу теориясы динамикалық жүйе бір күйден екінші күйге, әсіресе күй немесе кіріс басқару элементтері үшін шектеулер болған жағдайда.^[1] Онда бұл туралы айтылған қажетті кез-келген оңтайлы басқару үшін, екі нүктелі Гамильтон жүйесін деп аталатын оңтайлы күй траекториясымен бірге шекаралық есеп, плюс максималды шарты Гамильтониан.^[a] Бұл қажетті шарттар белгілі бір дөңес жағдайларда мақсат пен шектеу функцияларында жеткілікті болады.^[2][3]

Максималды принципті 1956 жылы орыс математигі тұжырымдады Лев Понтрягин және оның студенттері,^[4][5] және оны алғашқы қолдану зымыранның ұшу жылдамдығын максимизациялауға қатысты болды.^[6] Нәтиже классикалық идеяларды қолдана отырып шығарылды вариацияларды есептеу.^[7] Сәл кейін мазасыздық оңтайлы бақылаудың бірі а-ның бірінші ретті мүшесін қарастырады Тейлор мазасыздыққа қатысты кеңейту; дүрбелеңді нөлге жіберу вариациялық теңсіздікке алып келеді, одан максималды принцип шығады.^[8]

Оңтайлы басқару теориясының маңызды кезеңі ретінде қарастырылады,^[1] максималды принциптің маңыздылығы мынада: Гамильтонды максимизациялау бастапқы шексіз өлшемді басқару мәселесіне қарағанда әлдеқайда жеңіл; а-ны көбейтудің орнына кеңістік, мәселе а-ға айналды бағытта оңтайландыру.^[9] Осыған ұқсас логика әкеледі Беллманның оптималдылық принципі, уақыттың аралық нүктелерінде оңтайлы траектория оңтайлы болып қала беретінін, басқарудың оңтайлы мәселелеріне қатысты көзқарас.^[10] Нәтижесінде Гамильтон-Якоби-Беллман теңдеуі оптимум үшін қажетті және жеткілікті шартты қамтамасыз етеді және мойындайды тікелей кеңейту стохастикалық оңтайлы басқару мәселелеріне дейін, ал максималды принцип жоқ.^[8] Алайда, Гамильтон-Джакоби-Беллман теңдеуінен айырмашылығы, ол бүкіл мемлекеттік кеңістікті жарамды ету үшін ұстап тұруы керек, Понтрягиннің максималды қағидасы есептеу тиімділігі жағынан әлдеқайда тиімді, өйткені ол көрсеткен шарттар тек белгілі бір траектория бойынша өтуі керек.^[1]

10. 
    Екі қабатты схемалар
    

Анық сұлбаларға қарағанда әрбір айырымдық сұлба (3) әрбір жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздік мәні болады, сондықтан осы мәндерді алдыңғы қабаттағы белгілі шешім   арқылы табуға болмайды. Олар айқындалмаған сұлба деп аталады. Айырымдық сұлба (3) сызықтық үшнүктелі теңдеулерден тұрады, яғни әрбір теңдеу берілген қабаттың үш нүктесінде белгісіздік функциясы болады. Прогонка әдісі бойынша шешіледі. Берілген бастапқы және шекаралық шарттарБерілген мысалда қосқабатты сұлбаны қарастырдық, яғни әрбір айырымдық теңдеуге қос қабаттан тұратын функцияның мәні кіреді, ол-шешімі табылған - астыңғы, және түйнектерінде шешімі ізделініп жатқан- жоғарғы.  

11. 
    Кранк-Николсонның Сұлбасы.
    

Белгілі және белгісіз сұлбаның жылуөткізгіштік теңдеуінің оңай түрімен қарастырайық.

(2.20)

Қайда θ – шекті-әртүрлігінің барлық бөлшек сұлбасы, 1−θ – барлық белгілі бөлшек үшін, 0≤θ≤1. θ=1 тең болғанда толық белгісіз сұлба, θ=0 – барлық белгілі сұлба, ал θ=1/2 - Кранк-Николсон сұлбасы болады. Кранк-Николсон
(θ=1/2) сұлбасына аппроксимация реті құрылады,яғни т.с.с. уақыт бойынша бір ретке жоғары болады, жай белгілі және белгісіз сұлбаға қарағанда.

Белгісіз және белгілі сұлбаның уақытқа абсолютті орнықты (2.20), яғни 1/2≤θ≤1 және орнықты шарттарға сәйкес 0≤θ<1/2 белгіленеді.

Сонымен, Кранк-Николсон сұлбасы (2.20) және θ=1/2 абсолютті орнықты және уақыт бойынша екінші ретті аппроксимацияға және

кеңістіктегі х айнымалыға сәйкес келеді.

12. 
    Үш қабатты схемалар
    

Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады (диффузия).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады

. (2.1)

Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына

u(x,t) түрде берілсе

(2.2)

Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0, (2.4)

онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-

уақыттық ауданында бөлінуі

температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе

j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту

(2.15)

^uk +1 есептемей (2.15)
j

байланысында анықталады. (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.

Егер (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,

(2.16)

онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.

(2.17)

Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын САТЖ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл САТЖ формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді.

13. 
    Ішектің тербеліс теңдеуін шешу схемасының орнықтылығын зерттеу...
    

Шектің екі шеткі нүктесіне бекітілген нүктенің орын ауыстыруы туралы есепті шешу керек. Ол нүкте шектің берілген орны мен қандай да бір бастапқы жылдамдықпен толқын жасайды.

Математикалық модель: толқын теңдеуді шешу керек (шектің тербеліс теңдеуі)

Бұл жерде , мұндағы – шектің тартылуы, – шектің сызықты тығыздығы.

– тепе тең орынға қатысты шектің нүктесінің орын ауыстыруы және бірінші текті шектік шарттар (Дирихле есебі)

u(x,у) .

Бастапқы шарттар берілген:

Қадам 1. Шешуді көбейтінде түрінде іздейміз u(x,t)=X(x)T(t),

T ^(t)  X (x)  a² X ^(x) T (t) ,

X ^ _{ a2} T ^ _,

X T

шектік шарттармен

X ^(x)   ² X (x)  0

дифференциалдық теңдеудің нөлдік

емес шешімін табу керек.

Қадам 4. Штурм – Лиувилль есебінің шешімі.

Х(х) = С₁cosλx + С₂ sinλx.

_{ } k

- Штурм – Лиувилль есебінің меншікті мәндері.

k _q

Х(х) = С_2к sin ^{ kx} ,

q

_sin  kx

q

- Штурм – Лиувилль есебінің меншікті функциялары.

Қадам 5. Математикалық модельдің шешуі

T^//(t) + ² a² T(t) = 0,

T(t) = Acosλat + Bsinλat,
,

,

,

,

.

14. 
    
    жүктеу/скачать 0,83 Mb.
    
    Достарыңызбен бөлісу: