§1 Классикалық теориялық физика
Сызықтық және эрмитті операторлар
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
| Сызықтық және эрмитті операторлар. Кванттық механиканың операторлары белгілі бір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен, суперпозиция принципі орындалу үшін операторлардың сызықтық болуы шарт. Сызықтық операторлар деп мынанадай
(3.6) шартты қанағаттандыратын операторларды айтады. Мұндағы α және β , жалпы жағдайда , кез келген комплексті сан. Сонымен қатар, кванттық механиканың операторлары өзіне-өзі түйіндес немесе, басқа сөзбен айтқанда, эрмитті болуы тиіс. Эрмитті операторлар туралы айтпастан бұрын , алдымен берілген операторға эрмитті түйіндес операторларға тоқтала кетелік. Берілген операторына эрмитті түйіндес операторлары деп мынадай шартты (3.7) қанағаттандыратын операторды айтады. Бұл өрнектің мәнісін түсіну үшін төмендегі анықталған, транспонирленген операторын енгіземіз. (3.8) Мұндағы <~> белгісі толқындық функциялардың орындарының ауысқанын көрсетеді. Бұдан әрі (3.7) және (3.8) өрнектерінің сол жақтарын теңестіре отырып, = алуға болады, немесе . Яғни берілген операторға эрмитті түйіндес оператор сол алғашқы операторды транкпонирлеп , одан соң комплексті түйіндеу арқылы алынады екен. Әрине, жалпы жағдайда эрмитті түйіндес операторы бастапқы операторына тең болмайды. Бірақ, дербес жағдайда бұл екі оператор бір-біріне тең болуы, яғни мынадай теңдік орындалуы мүмкін : (3.9) Міне осы шартты қанағаттандыратын операторлар эрмитті операторлар деп аталады. Ал не себепті кванттық механиканың операторларының эрмитті болуы талап етіледі ? Бұл сұраққа жауап беру үшін алдымен мынадай шаманы есептелік. Бұл жерден көрініп тұрғандай, эрмитті операторларға сійкес келетін физикалық шаманың орташа мәні әрқашанда заттық сан болады екен. Операторлардың эрмитті болуына талап етудің негізгі себебі осында. Сонымен, кванттық механиканың операторларының сызықтық блуы суперпозиция принципі орындалу үшін , ал эрмитті болуы бақыланылатын шамалардың орташа мәндерінің заттық сан болуы үшін қажет. Енді берілген операторға эрмитті түйіндес операторды қалай табуға болатынын қарастырайық. Бұл есепті шешу үшін берілген операторға арнап (3.7) өрнегінің сол жағын жазамыз да , оны түрлендіре отырып , теңдіктің оң жағындағы өрнекке алып келеміз. Сонда нәтижесінде алынған оператор біз іздеп отырған операторды береді. Яғни Бұл жерде біз бастапқы интегралдың мәнін бөліктеп интегралдау әдісімен есептедік және толқындық функциялардың шексіздікте нөлге тең екенін ескердік. Алынған нәтижені (3.7) өрнегімен салыстыра отырып, екенін көреміз. Өрнектігі минус таңбасының салдарынан берілген оператор өзіне эрмитті түйіндес операторға тең емес. Тура осы жолмен , керісінше, операторының эрмитті екенін де оңай дәлелдеп көрсетуге болады. Егер берілген оператор өзіне эрмитті түйіндес оператордан тек таңбасымен ғана өзгешеленетін болса, яғни болса, онда мұндай операторларды антиэрмитті операторлар деп атайды. Жоғарыдағы қарастырған d/dx операторы антиэрмитті оператордың мысалы болып табылады. Енді екі, және эрмитті операторының көбейтіндісі қандай жағдайда, эрмиттә оператор болаынын анықталық : Біз бұл жерде өз кезегімен операторларының эрмиттік екенін пайдаландық. Символды түрде теңдікті қысқаша былай жазуға болады: Сонымен, бұл өрнектен көрініп тұрғандай , екі эрмитті оператордың көбейтіндісіне эрмитті түйіндес болатын оператор бастапқы операторлардың кері ретпен алған көйбейтіндісіне тең екен. Әрине жалпы жағдайда бұл көбейтінді эрмитті емес. Эрмитті болу үшін олар міндетті түрде бір-бірімен коммутацияланатын екі эрмитті оператордың көбейтіндісі ғана эрмитті болады екен. Дегенмен, операторларының бір-бірімен коммутациялануын талап етпей-ақ, олардың көмегімен әрқашан эрмитті болатын мынадай сызықтық комбинациялар құруға болады : 3.10) Бұл жердегі операторларының эрмитті екеніне көз жеткізу оңай . Жорамал бірлік Егер берілген операторға эрмитті түйіндес оператор бастапқы оператордың кері операторына тең, яғни болса, онда теңдігі орындалады да, мұндай операторлар унитарлы операторлар деп аталады. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|