§1 Классикалық теориялық физика
§10 Операторлардың меншікті мәндері және меншікті функциялары
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
| §10 Операторлардың меншікті мәндері және меншікті функциялары
Кванттық жүйелердің қасиеттерін тәжірибе жүзінде зерттеу барысында қандай да бір физикалық шамалар өлшеніп, нәтижесінде нақтылы сандар алынады. Сондықтан кванттық механиканың математикалық аппараты осы өлшенген шамаларды теориялық тұрғыдан есептеуге мүмкіндік беруі тиіс. Жоғарыда әрбір физикалық шамаға оператор сәйкес қойылатыы жөнінде айтылады. Олай болса, осы операторлар сәйкес физикалық өлшеудің нәтижелерімен қалай байланысқан деген сұрақ туады. Енді осы сұрақтарға жауап беріп көрелік. Ол үшін алдымен шамасы енгізіледі. Бұл шамаға сәйкес келетін оператор түрінде анықталады. Мұндағы берілген F шамасының толқындық функциясымен сипатталатын күйдегі орташа мәні. Бұл өрнекті шамасы заттық сан болғандықтан, егер эрмитті оператор болса, онда операторы да эрмитті оператор болып табылады. Енді осы F шамасының орташа мәнінен орташа квадраттық ауытқуын, яғни дисперсиясын анықтадық. Ол мынаған тең : (3.20) Классикалық физикада дисперсия – әрқашан да оң шама. Мұндағы эрмиттік оператор болғандықтан, кванттық дисперсия да оң шама және ол өзінің классикалық физикадағы мағынасын сақтайды деп есептеуге болады. Шындығында , Сонымен, бұл өрнек кез келген физикалық шаманың толқындық функциясымен сипатталатын күйіндегі орташа мәнінен орташа квадраттық ауытқуын есептеуге мүмкіндік береді. Дисперсияның нөлден өзгеше болуы, жалпы жағдайда, әрбір жекелеген өлшеу кезінде алынатын нәтижелердің әр түрлі болып, бір-біріне сәйкес келмейтінін көрсетеді. Осы жерде мынадай қабылдамай, тек нақтылы бір ғана мәнге ие бола алады ? Әрине, бұл шарт, жоғарыдағы өрнектен көрініп тұрғандай, дисперсияның мәні нөлге тең болатын күйлер үшін орындалады. Оң шаманың интегралы нөлге айналу үшін кеңістіктің барлық нүктелерінде сол шаманың өзі нөлге тең болуы шарт. Яғни (3.21) Міне, осы өрнекті қанағаттандыратын толқындық функциялаымен сипатталатын күйлерде ғана шамасы нақтылы мәндерге ие бола алады. Осы (3.21) өрнегіне -тің шамасын қоя отырып, бұл күйлер үшін (3.22) Теңдеуін аламыз. Бұл белгісіз функциясына қатысты біртекті, сызықты теңдеу. Бұл теңдеудің шешімі болып табылатын толқындық функциялар нақтылы физикалық күйлерді сипаттайтын болғандықтан, олар бірмәнділік, үздіксіздік және шектілік шарттарын қанағаттандыру тиіс. Жалпы жағдайда бұл шарттар орындала бермейді, олар осы теңдеудің параметрлері болып табылатын шамасының қандай да бір белгілі мәндерінде ғана орындалуы мүмкін. Параметрдің осы ерекше мәндерін берілген операторының меншікті мәндері, ал бұл меншікті мәндерге сәйкес келетін теңдеудің шешімдері осы операторлардың меншікті функциялары деп аталады. Операторлардың меншікті мәндерінің жиынын оның спектрі деп атайды. Егер оператордың меншікті мәндері дискретті болса, онда спектр дискретті, ал ол үздіксіз мәндер қабылдаса , онда спектр үздіксіз немесе тұтас. Әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін меншікті функцияларды сәйкес меншікті мәндермен мына түрде нөмірлеп жазады Мұндағы меншікті мәндер мен меншікті функцияларды анықтайтын n бүтін саны кванттық сан деп аталады. Жоғарыда айтылғандай, шамасы сәйкес операторының меншікті функциясы болып табылатын функциясымен сипатталатын күйде өлшенсе, онда ол нақтылы анықталмаған мәнге ие болады. Бұл қортындының кванттық механиканың салдарын саралаудағы маңызы өте зор. Ал егер жүйенің күйін сипаттап тұрған толқындық функция операторының бірде-бір меншікті функциясымен сійкес келмесе, онда бұл күйде шамасын өлшеу барысында әр жолы әр түрлі, бірақ әйтеуір меншікті мәндердәі біріне тең болатын мәндер аламыз. Яғни меншікті мәндердің шамасын меншікті функцияға тең болмайтын кез келген күйде өлшеген кезде алатын нәтижелердің мүмкін болатын мәндерінің жиынын береді екен. Меншікті мәндердің физикалық мағынасының өзі де осында. Егер әрбір меншікті мәнге тек бір ғана меншікті функция сәйкес келсе, онда меншікті мәндер спектрі айнымаған деп аталады. Кейбір жағдайларда бір ғана меншікті мәнге бір-бірінен сызықтық тәуелсіз бірнеше меншікті функциялары сәйкес келуі мүмкін. Онда берілген шама бұл күйлердің әрқайсысында нақтылы мәнге ие болады да, сәйкес меншікті мәндер спектрі айныған деп аталады. Ал α саны берілген n меншікті мәнінің айну еселігін береді. Эрмитті оператордың меншікті мәндерінің маңызды қасиеттерінің бірі – оның әрқашан нақтылы сан болатындығы . сонымен қатар эрмитті оператордың меншікті мәндерінің осы операторлардың меншікті функцияларымен сипатталатын күйлердегі шамалардың орташа мәндеріне ие екеніне де оңай көз жеткізуге болады. Шындығында , Яғни операторлардың меншікті мәндері орташа мәндердің дербес жағдайы болып табылады екен. Ал орташа мән нақтылы сан болғандықтан, меншікті мәндер де нақтылы. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|