§1 Классикалық теориялық физика
§12 Спектрі үздіксіз оператордың Меншікті функцияларының касиеттері
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
| §12 Спектрі үздіксіз оператордың Меншікті функцияларының касиеттері
Енді меншікті мәндерінің спектрі үздіксіз болатын операторлардың меншікті функцияларының қасиеттерін қарастыралық. Бұл функциялар әдеттегідей мына теңдеудің шешімі түрінде аныкталады: (3.39) Бірақ бұл жағдайда F шамасы үздіксіз мәндер қабылдайтын болғандықтан, бұл функцияларды спектрі дискретті операторлардын меншікті функциялары тәрізді нөмірлеудің мүмкіндігі жоқ. Сондыктан оларды әдетте деп, тікелей сол F шамасының өзімен белгілейді. Спектрі үздіксіз болғандықтан, бұл функцияларға қандай да бір қосымша шарттар да қойылмайды. Мәселен, бұл функциямен сипатталатын бөлшектердің шексіздікте болуының ықтималдылығының тығыздығы нөлден ерекше болуы мүмкін. Яғни F шамасының қандай да бір анықталған мәнінде мұндай бөлшек кеңістіктің кез келген аймағында бола алып, шектелмеген инфинитті қозғалыс жасайды. Осымен байланысты интегралы жинақталмаған, яғни бұл жағдайда толқындық функцияны әдеттегідей нормалаудың мүмкіндігі жоқ. Бұл меншікті функцияларының жиыны толықтық шартын қанағаттандырады. Яғни айнымалысына тәуелді кез келген ( ) функциясын осы меншікті функцияларының жиыны арқылы жіктеу мүмкіндігі бар. Бұл жағдайда F шамасы үздіксіз мәндер қабылдайтын болғандықтан, мұндай жіктеу дискретті спектр жағдайындағыдай қосынды түрінде емес, мынадай интеграл түрінде анықталады: ( )= . (3.40) Ал меншікті функцияларын мынадай шартты қанағаттандыратындай етіп, яғни шамасы ( ) күйінде өлшенген F мәнінің [F, F+dF] интервалында жатуының ықтималдылығын беретіндей етіп таңдап алудың мүмкіндігі бар. Онда толықтықтың қажетті шарты мына түрде жазылады: (3.41) Бұл өрнекке (3.40)-тан Ф*( ) функциясын әкеліп қоя отырып, мына теңдікті аламыз: (3.42) Бұл теңдік коэффициентінің кез келген мәнінде орындалуы үшін (3.43) болуы шарт. Бұл өрнек дискретті спектр жағдайындағы коэффициенттердің анықтамасымен сәйкес келеді. Мұндағы функциясының орнына (3.40) жіктеуін әкеліп қойсақ, мына теңдікті аламыз: (3.44) Бұл теңдік (3.45) шартты орындалғанда ғана кез келген коэффициенттері үшін дұрыс болады.Осы (3.45) өрнегі спектрі үздіксіз операторлардың меншекті функцияларын дельта-функцияға нормалау шарты болып табылады.Бұл шарт шамасы ықтималдылық мағынасына ие болу үшін қажет.Бұл (3.45) өрнегімен болғанда, функциялардың бір-біріне ортонгональ болып, ал болғанда, интегралдың жинақталмайтыны көрініп тұр. Меншекті функлиялардың толықтық шартын да оңай алуға болады. Ол үшін дельта-функцияны мына түрде жіктеу қажет. (3.46) (3.43) өрнегіне сәйкес, жіктеу коэффициенті былай анықталады: (3.47) мұны (3.46) өрнегіне апарып қоя отырып, (3.48) теңдегін аламыз, бұл меншікті функциялардың толықтық шарты. Кейбір дербес жағдайларда оператордың меншікті мәндерінің спектрі әрі үздіксіз, әрі дискретті болуы мүмкін. Бұлай болғанда функциясын меншікті функциялар жиыны арқылы мына түрде жіктейді: Сонымен қатар бұл жағдай үшін жоғарыдағы нормалау және толықтық шарттары мына түрде жалпыланады: (3.50) , (3.51) яғни дискретті спектр бойынша қосынды, ал үздіксіз спектр бойынша интеграл алынады. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|