-қасиет. Группаның оң нейтраль элементі оған сол нейтраль элемент болады, яғни Дәлелдеу: 3-қасиет

Дәлелдеу:

группа дейік:

нің басқа бір нейтраль элементі болсын дейік. Онда нейтраль элементтің қасиеті бойынша

4-қасиет. Группаның әрбір элементіне симметриялы элемент біреу ғана:

Дәлелдеу: группаның кез келген элементін алайық.

элементтері -ға симметриялы элементтер дейік, яғни

(1)

Сонда

Дәледеу: дейік, бұл теңдіктің екі жағында оң жағынан элементін көбейтсек,

Бұдан яғни

Демек, .

(3) , (4)

Табылатыны, , элементтерінің (3), (4) теңдеулерді қанағаттандыратынын бірден тексеруге болады.

Бірмәнділігі: теңдеуінің шешімдері және болсын дейік, яғни бұдан . Енді бұл теңдікті -ға қысқартсақ, . Осы сияқты ой тұжырымдары арқылы (4) теңдеудің шешімінің біреу ғана екенін дәлелдеуге болады.

7- қасиет. Группаның кез келген элементінің көбейтіндісінің кері элементі үшін мынадай формула орынды: Дәлелдеуі бірден тексеріледі.

G – группасының кез келген элементі үшін және кез келген бүтін сандар үшін мынадай теңдіктер орынды.

Дәледеуі бірден тексеріледі: бұл қасиет группаның элементінің бүтін дәрежесі ұғымын беруге мүмкіндік туғызады.

Кез келген группасы берілсін дейік. жиынының бос емес ішкі жиындары А және В арқылы жиындарын жасауға болады.