Анықтама: Қисықтың берілген нүктесіндегі қисықтығы деп, жанаманың бұрылу бұрышының доғаның ұзындығына қатынасы аталады, .
Теорема: Екі рет туындысы бар -қисығының әрбір нүктесінде k қисықтығы бар. k=
Қисықтықты есептеу - қисықтың қисықтығын есептеу формуласы. Декарттық координатада:
Егер қисық жазық болса:
Егер қисық айқын түрде берілсе,
немесе
Анықтама:Тегіс қисықтың -дегі бұралуы деп, бинормаль векторының бұрылу бұрышының нүктеде керетін доғасының ұзындығына қатынасын атайды.
Теорема: Үш рет үзіліссіз дифференциалданатын тегіс қисықтың қисықтығы нөлден өзгеше әрбір нүктесінде анықталған абсолютті бұралу бар болады. Абсолютті бұралу Френе формуласындағы 2-ші коэфициенке тең.
Кез келген параметр бойынша бұралуды есептеу: - бұралуды натурал параметр бойынша есептеу формуласы.
- бұралуды кез келген параметр бойынша есептеу формуласы.
- параметрлік түрде берілген қисық үшін бұралуды есептеу формуласы.
Мысалдар: а) M(2, 0, 1) нүктесіндегі , , , қисығының қисықтығы мен бұралуын табу керек.
Шешуі: t параметрін табамыз:
Қисықтың қисықтығы мен бұралуын табу үшін t параметрі бойынша үшінші ретке дейінгі туындыларын табамыз:
болғанда ; болғанда ;
болғанда .
векторлық көбейтіндіні табамыз
аралас көбейтіндіні табамыз
Табылған мәндерді формулаға қойып, қисықтық пен бұралуды табамыз:
