4-есеп. °=(х1°,х2°,х3°) нүктесінен
α: А1х1 +А2х2 +А3х3 +B = 0 жазықтығына дейін қашықтықты табу керек.
Жазықтық теңдеуін қалыпты түрге келтірейік:
() = p, p≠0.
13- суреттен -0 α- жазықтығының кез келген = (х1,х2,х3) нүктесімен берілген °=(х01,х02,х03) нүктесінің айырымы болатын -° векторының векторына проекциясының абсолют шамасы ізделініп отырған °- нен α – жазықтығына дейінгі - қашықтығы болатынын көруге болады:
d= Пp,(-°) = (°-° ,)=(,)-(°,)=\p-(° ,)\=\(°,)-p. Бұл теңдікті жазықтық параметрлері бойынша жазсақ, алатынымыз:
Суреттен, егер ° және - доғал бұрыш жасайды, сондықтан (x°,)-p>0 немесе (°,)>р, ал ° мен 0(0,0,0) нүктелері α - жазықтығының бip жағында жатса, онда (-°,) - сүйір бұрыш, сондықтан (°, ) - р < 0 немесе (°, ) < рболатынын көруге болады.
3. Кеңістіктегі түзу. Кеңістіктегі кез келген L -түзуін қарастырайық (14-сурет).
-сурет
Ол түзуде жатқан °= (х°1х°2,х3°) нүктесі және х° нүктесінен шығатын L түзуінде жатқан векторы берілсін. L - түзуінде жатқан кез келген нүктені = (х1, х2, х3) арқылы белгілейік.
Онда -° векторын -°= t •, t - сан, түрінде жазуға болады (сурет). Erep t параметрі (-,+,) аралығындағы мәндерді қабылдаса, онда теңдеуі бүкіл L -түзуін береді. Міне сондықтан
-° = t, - < t < + (1.27)
теңдігін: ° нүктесі арқылы өтетін және векторы бойымен бағытталған түзудің векторлық теңдеуі деп атайды. (1.27)- ні координаталар бойынша келесі үш тендеулер жүйесі түрінде жазуға болады:
Бұл теңдеуді түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп атайды.
Теңдеуді t - параметрін шығарып, келесі түрде жазуға болады:
(1.28)
(1.28) - ні түзудің канондық (дағдылы) теңдеулері дейді. векторын L түзуінің бағыттаушы векторы деп атайды.
Ескерту. сандарының бipeyi немесе екeyi нөлге тең болуы мүмкін. Ыңғайлы болғандықтан ондай жазуды символдық түрде қалдырады.
Екі жазықтықтың теңдеулері жалпы түрде берілсін:
A1x + A2y+A3z + С-= 0 (1.29)
В1х+ В2у + B3z + D = 0.(1.30)
Егер олардағы белгісіздердің сәйкес коэффициенттері пропорционал болса:
,
онда (1.29) және (1.30) жазықтықтар параллель, ал коэффициенттерімен қоса бос мүшелері де пропорционал болса:
,
онда (1.29) және (1.30) жазықтықтары беттесетіні белгілі.
Олай болмаса (1.29) және (1.30) жазықтықтар түзу бойымен қиылысады және (1.29) және (1.30) теңдеулер жүйесі кеңістіктегі түзулердің жалпы теңдеулері деп аталады. Бұл жағдайда келесі анықтауыштардың еңболмағанда біреуі нөлге тең болмайды:
Анық болуы үшін болсын. Онда (1.29), (1.30) теңдеулерді х - пен у - ке қатысты шешсек:
α,β,μ,ν - қандай да бip сандар. Бұл теңдеулерді z - ке қатысты шеше отырып
екендігін аламыз.
Бұл (1.29), (1.30) тендеулерімен берілген түзудің канондық тендеуі.
теңдеулерімен берілген түзудің арасындағы φбұрышы олардың сәйкес және =(b1,b2,b3) бағыттаушы векторларының арасындағы бұрышқа φ=(,) тең болғандықтан:
(1.31)
(1.31) - теңдіктен екі түзудің перпендикулярлық белгісін:
және екі түзудің параллельдік белгісін:
жаза аламыз.
р: Ах + By + Cz + D = 0 жазықтығы мен
L: түзуінің арасындағы φбұрышын
формуласымен табуға болады. Мұндағы =900-=(, ). Өйткені (15-сурет) шамасы р жазықтығының =(A,B,C) нормалі мен L – түзуінің бағыттауышы векторы арасындағы =(,), бұрыштың косинусына тең .
(1.31) формуладан
а) түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін:
,
б) түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісін:
(1.32)
аламыз.
Соңғы шартқа қосымша Ах0 +By0 + Cz0 +D = 0 теңдігі орындалса L түзуі р жазықтығында жатқаны.
