Ќазаќстан Республикасы білім жєне ѓылым министрлігі
Ескерту. Егер (тұрақты сан) болса, онда . 1
жүктеу/скачать 5,24 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Функцияның ақырлы шегінің бар болуы туралы Коши критерийі Теорема.
- Дәлелдеуі. Қажеттілік.
- Жеткіліктілік.
- Анықтама.
| Ескерту. Егер (тұрақты сан) болса, онда .
1-салдар. Егер бар болса, онда кез келген с саны үшін . 2-салдар. Егер бар болып, - натурал сан болса, онда Функцияның ақырлы шегінің бар болуы туралы Коши критерийі Теорема. функциясы анықталған болсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын. функциясының нүктесінде ақырлы шегі бар болуы үшін санын алсақ та оған сәйкес , теңсіздіктерін қанағаттандыратын мүшелері үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажеттілік. шегі бар дейік. Функция шегінің жағдайдағы 2-анықтамасы бойынша кез келген санына сәйкес саны табылып, . шартын қанағаттандыратын аргументтің кез келген екі мәні және үшін , (3) теңсіздіктер орындалады. Енді модуль қасиетін және осы теңсіздіктерді ескерсек, онда (3) теңсіздікті қанағаттандыратын және үшін теңсіздігі орындалады, яғни жағдайда ƒ функциясы Коши шартын қанағаттандырады. Жеткіліктілік. жағдайда ƒ функциясы Коши шартын қанағаттандыратын болсын. Берілген санына сәйкес саны табылады деп ұйғарып, теңдігін дәлелдейік. Ол үшін функция шегінің бірінші анықтамасын пайдаланып, аргумент мәндерінің ɑ-дан өзге () сандардан құралатын және а санына жинақталатын кез келген тізбегін қарастырайық. Бұл тізбек үшін жоғарыда алынған санына сәйкес нөмері табылып, тізбек шегінің анықтамасы бойынша ьарлық үшін теңсіздігі орындалады. Егер мен бірге тағы да нөмерін алсақ , онда және үшін , теңсіздіктері орындалады. Енді санының қандай шартпен алынғанын ескерсек, теңсіздігі орындалады. Алайда осы табылған шарт және нөмерлері -ден үлкен болғанда ғана орындалады. Олай болса, тізбегі- негізгі тізбек. Сондықтан да, ол жинақталатын тізбек болады. Сонымен, . Енді бұл шек тізбегі қалай таңдап алынғанына байланысты еместігін дәлелдейік. Ол үшін жоғарыда қарастырылған тізбегінен өзге тізбегін қарастырайық. Бұған сәйкес тізбегі жоғарыдағы дәлелденген тұжырым бойынша қандай болса да бір санға жинақталатыны түсінікті. Оны деп дәлелдейік. Енді осы саны сол санымен тең болатынына көз жеткізу қажет. Ол үшін қарсы жоримыз, яғни дейік, ɑ-дан өзге сандардан құрылатын және сол ɑ санына жинақталатын тізбегін қарастырайық. Алайда ƒ функциясының мәндерінен тұратын оған сәйкес тізбегінің шегі болмайды. Шынында да, тізбектің тақ және жұп орнында тұрған мүшелерінен құралған екі тізбек, жоғарыда байқағанымыздай, әр түрлі және сандарына жинақталады. Ал мұның өзі жоғарыда дәлелденген тұжырымға қайшы(яғни ƒ функциясы мәндерінің жиыны жинақталуы тиіс). Сонымен, және теңдігі орындалады. Теорема толық дәлелденді. Осыған ұқсас түрде , , жағдайлары үшін Коши шартын тұжырымдап айтып және ƒ функциясы үшін Коши критерииін дәлелдеуге болады. Жеке жағдайда, (1) шартты сәйкес мына шарттармен алмастыру керек: Мұндағы ескертеріміз, аргумент мәндерінің жағдайдағы және тізбектері а санынан кіші (үлкен ) сандардан құралған да және олардың әрқайсысы сол а санына жинақталады. Ал жағдайда бұл тізбектер ақырсыз үлкен (тұрақты таңбалы ақырсыз үлкен) тізбек болады. Анықтама. функциясы анықталған болсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын және нүктесінің сол жағында жиынының сан жетпейтін көп нүктелері бар болатын болсын. Егер де санын алсақ та оған сәйкес нүктелері үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда саны функциясының нүктесіндегі сол жақты шегі деп аталып, символы арқылы белгіленеді. жүктеу/скачать 5,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|