Дәріс 13. Математикалық анализ элементтері

жүктеу/скачать 423,25 Kb.

бет	8/12
Дата	11.12.2022
өлшемі	423,25 Kb.
	#56522

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(хⁿ)' = пх^n-1 (5)
формуласымен есептелінеді.
Математикалык индукция әдісін қолданып, (5) формуланы дәлелдеңдер.
Енді п бүтін теріс сан, яғни п = -т, ал т натурал сан болатын жағдайды қарастырайық. Бөліндінің туындысын табу ережесін және (5) формуланы колданып, (х^п)' = (x^-m)′=(1/ x^m)′=(1′• x^m-(x^m)′)/(x^m)²=(-mx^m-1)/ x^2m=-mx ^-m-1=nx^n-1 аламыз. Демек, кез келген бүтін п үшін (хⁿ)'=nxⁿ^-1
тендігі ақиқат болады.
4 -мысал. а) у = х⁶; ә) у =1/2•x⁸-3/x⁷ туындысын есептейік.
Шешуі: у′ = (х⁶)′=6•x^6-1=6x⁵;
ә) у′ =(1/2•x⁸-3/x⁷)′=1/2•(x⁸)′-3•(x^-7)′=1/2•8x⁷-3•(-7)•x^-7-1=4х⁷ + 21/x⁸.
Жауабы: 6x ⁵;4х⁷ + 21/x⁸.
5-мысал. Егер f(х) = x⁴/(x³+1) болса, онда f '(1) неге тең?
Шешуі: f '(х)=( x⁴/(x³+1))′=((x⁴)′• (x³+1)- (x⁴)• (x³+1)′)/(x³+1)²= =(4x³•(x³+1)-x⁴•3x²)/(x³+1)²=(4x⁶+4x³-3x⁶)/ (x³+1)²=(x⁶+4x³)/ (x³+1)².
f′(1)=(1+4)/(1+1)²=5/4.
Жауабы:5/4.
§15. күрделі функцияның туындысы
функциясы берілсін. Айнымалы жиынында, ал функция мәндерінің жиыны болсын. Айнымалы өз кезегінде айнымалы - ке тәуелді функция болса, яғни онда -аргументі бойынша жиынында анықталған күрделі функция болады (I тарау, 8).
Енді осындай функциялардың туындылары қалай анықталады, осы мәселеге тоқталамыз.
Егер функциясының нүктесінде, ал функциясының нүктесінде туындылары бар болса, онда күрделі функцияның соңғы аргумент бойынша туындысы бар болады, ол туынды мына
(18)
формуламен анықталады.
1-есеп. Күрделі функцияның туындысын табыңыз:
а)
Шешуі.
Сонымен,

Күрделі функциялардың туындыларының кестесі

1	кез келген нақты сан .
2
3	-иррационал сан
4
5
6
7
8
9
10
11
12	,
13

Жаттығулар

функциялары үшін келесі кестені толтырыңыз.

0,5	-0,5	0,1	-0,1	0,001	-0,001

Мұнда
= аргумент өсімшесі,

функция өсімшесі
функциясының графигінің (x₀; y₀) және (x₀+; y₀+;) нүктелерінен өтетін қиюшының бұрыштық коэффициентін табыңыз:

Туындының анықтамасын пайдаланып, келесі функциялардың нүктесіндегі туындыларын табыңыз:

Функциялардың туындыларын табыңыз:

теңдеулерін шешіңіз:
4.14.
4.15.
теңсіздігін шешіңіз:
4.16.
4.17.
Функциялардың туындыларын табыңыз:
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
теңдеулерін шешіңіз:

4.22.

4.23.
нүктесіндегі функцияның туындысының мәнін есептеңіз.

функциясының және нүктелерінен өтетін қиюшының теңдеуін жазыңыз:

§1. ӨСПЕЛІ, КЕМІМЕЛІ, КЕМІМЕЙТІН, ӨСПЕЙТІН ЖӘНЕ ТҰРАҚТЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ БЕЛГІЛЕРІ
Анықтама. Үзіліссіз функциясының анықталу облысында немесе оның бір бөлігінде аргументінің мына, , теңсіздігін қанағаттандыратын кез келгендері үшін: теңсіздігі орындалса, ол функцияны осы аралықта өспелі (кемімелі) аол теңсіздігі орындалса, онда кемімейтін (өспейтін) деп атайды.
Анықтама. Үзіліссіз функциясы анықталу облысының немесе оның қайсы бір бөлігінің кез келген нүктелерінде тұрақты бір ғана сандық мәнді қабылдаса, онда ол осы аралықта тұрақты функция, яғни мұндағы С кез келген нақты сан.
Мысалдар. 1⁰. , , функциясының өспелі, кемімелі болу жағдайларының қарастырайық.
а) болған жағдайдағы , көрсеткіштік функцияны қарастырамыз. Функцияның анықталу облысы мәндерінің өзгеру облысы .
Кез келген нүктелеі үшін Демек, функциясы, болғанда - өспелі.б) , көрсеткіштік функцияны алайық. Функцияның анықталу облысы - ал функция мәндерінің облысы .
Бұл жағдайда теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Демек, функция – кемімелі.
2⁰. функциясын алайық. Функцияның анықталу облысы - ал функция мәндерінің облысы - . аралығында функция кемімелі, себебі үшін , ал аралығында функция өспелі, себебі

Теорема. Егер дифференциалданатын функциясының туындысы қайсы бір аралықта оң таңбалы (теріс таңбалы) болса, онда функция сол аралықта өспелі (кемімелі).
Теорема. Егер дифференциалданатын функцияның туындысы қайсы бір аралықта теріс емес ( оң емес) болса, онда ол сол аралықта кемімейтін ( өспейтін) функция деп аталады. Мысалдар
Мысалдар. 4⁰. а) көрсекіштік функциясын алайық. Осы функцияның аралығында өспелі функция екенін білеміз. Функциясының бірінші ретті туындысы , ал . Олай болса
б) көрсеткіштік функцияның кемімелі екендігін білеміз. Функциясы туындысы . болғандықтан аралығында.
Теорема. Егер дифференциалданатын функциясын туындысы қайсы бір аралықта нөльге тең болса онда сол аралықта функция тұрақты, яғни .
1-есеп. функциясының өспелі және кемімелі аралықтарын табыңыз.
Шешуі. . Функция өспелі болу үшін оныі туындысы оң болу керек, яғни теңсіздігін шешсек өсу аралығы шығады. Ал кему аралығында функцияның туындысы теріс, яғни . Мұнан функцияның кесһмі аралығы , шығады.

жүктеу/скачать 423,25 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12