Дәріс 13. Математикалық анализ элементтері
§5. ФУНКЦИЯНЫҢ ДӨҢЕСТІГІНІҢ БАҒЫТТАРЫН АНЫҚТАУ. ИІЛУ НҮКТЕЛЕРІ
жүктеу/скачать 423,25 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
| §5. ФУНКЦИЯНЫҢ ДӨҢЕСТІГІНІҢ БАҒЫТТАРЫН АНЫҚТАУ. ИІЛУ НҮКТЕЛЕРІ.
Анықтама. Егер узіліссіз функциясының графигінің нүктесінің аймағына сәйкес келетін бөлігі нүктесі арқылы өтетін жанамадан төмен (жогары) орналасса, онда осы нүкте аймағында оның дөңестігі жогары (төмен) бағытталған деп айтады. Үзіліссіз функцияның дөңестігінің жоғары (төмен) бағытталуының анықтамасын бойынша, , интервалында кез келген нүктесі үшін қисықтың дөңестігі жоғары бағытылған жағдайда, (қисықтың дөңестігі төмен бағытталған жағдайда, ) теңсіздігі орындалады. Мұнда қисық нүктелерінің ординаталары, ал жанама нүктелерінің ординаталары. нүктесі арқылы қисыққа жүргізілген жанаманың теңдеуі формуласымен анықталатынын біз бұрыннан білеміз (IV тарау (17) формула ). Қисықтың дөңестігінің жоғары немесе төмен бағытталуының белгілерін келтірейік. Теорема. функциясының дөңестігі жоғары бағытталған аралығындағы екінші ретті туындысы теріс, яғни сол аралықта Теорема. функциясының дөңестігі жоғары бағытталған аралығындағы екінші ретті туындысы теріс, яғни сол аралықта Бұл теоремаларды дәлелдеусіз қабылдаймыз. Жалпы, функциясының үзіліссіз бірінші және екінші ретті туындылары бар болса, функция өзінің анықталу обылысында дөңестігі жоғары және төмен бағытылған бірнеше үзіліссіз бөліктерден құралады. Анықтама. Қисықтың дөңестігінің жоғары және төмен немесе дөңестігінің төмен және жоғары бағыттарының дәл шекараларында орналасқан нүктелерді қисықтың иілу нүктелері деп атайды. Иілу нүктелері - иілу нүктелерінің абциссалары. Иілу нүктелері: нүктесінде функцияның екінші реті туындысының нөльге айналуы, сол нүктеде оның иілу нүктесінің бар болуының қажетті шарты. Егер нүктесінің аймағында екінші ретті туынды өзінің таңбасын плюстен минуске немесе минустен плюске өзгертсе, онда ол нүкте функцияның иілу нүктесі болады (иілу нүктесінің бар болуының жеткілікті шарты). Мысал келтірейік. 10. функциясын экстремумге зерттеп, қисықтың дөіестігін бағыттарын және иілу нүктесін анықтайық. Шешуі. Функцияның бірінші ретті туындысының іздейміз, . Бірінші ретті туындыны нөльге теңестіріп, сындық нүктелерінің анықтаймыз, Сонымен, сындық нүктелері: Екінші ретті туындыны анықтайық, Екінші ретті туындының сындық нүктелеріндегі мәндерінің таңбасын анықтайық, Демек, функциясының максимумы. Максимум нүктесі Екінші сындық нүктеде Демек, -функцияның минимумы. Минимум нүктесі Функцияның иілу нүктесінің абциссасын теңдігінен табамыз. Сонда, , функцияның екінші ретті туындысының нүктесінің аймағында таңбасы теріс таңбадан оң таңбаға ауысады, яғни Демек, қисықтың дөңестігінің бағытты аралығында жоғары бағытталған да, ал аралығында дөңестігі төмен бағытталған. Енді иілу нүктесінің ординатасын анықтайық, Функцияның иілу нүктесі - Сонымен, функцияның максимум нүктесі - минимум нүктесі - , иілу нүктесі - аралығында функция графигінің дөңестігі жоғары бағытталған, аралығында дөңестігі төмен бағытталған. жүктеу/скачать 423,25 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|