Дәріс 13. Математикалық анализ элементтері
Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері
жүктеу/скачать 423,25 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 22- сурет. Теорема-3
| 6.4 Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері тұралы теоремаларды қарастырайық. Теорема-1 (Вейерштрасстың 1-ші теоремасы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде шенелген болады. Теорема-2 (Вейерштрасстың 2-ші теоремасы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда оның осы кесіндіде ең үлкен және кіші мәндері бар болады, яғни , мұнда –функцияның ең кіші мәні, ал – функцияның ең үлкен мәні. Ескерту. Вейерштрасстың 1-ші теоремасы оның 2-ші теоремасының салдары, себебі ең үлкен және ең кіші элементтері бар сандар жиыны осы екі сандармен жоғарыдан және төменнен шенелген болады (22-сурет). 22- сурет. Теорема-3 (Больцано-Кошидың 1-ші теоремасы). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса және кесіндінің шеткі нүктелерінде әр түрлі таңбалы мәндер қабылдаса, онда аралығынан теңдігі орындалатындай (функция нольге айналатын) ең болмағанда бір с нүктесі табылады. Бұл теоремалардың дәлелдеуін келтірмейміз.Теоремалардың дұрыстығын төмендегі суреттегі функция графиктерінен аңғару қиын емес (23-сурет). 23- сурет. Теорема-4 (Больцано-Кошидың 2-ші теоремасы (аралық мән тұралы теорема). Егер функциясы қайсы бір аралықта үзіліссіз болса және осы аралықтың қандай да бір екі және нүктелерінде әр түрлі және мәндерін қабылдаса, онда А мен В мәндерінің арасында жатқан С нақты саны да осы функцияның мәні болады. Дәлелдеуі. кесіндісінде үзіліссіз функциясы кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтыны, кесіндісінде (жиында) үзіліссіз функцияның анықтамасынан белгілі. Теореманың шарты бойынша, және , ал С осы (А, В) аралығындағы кез келген функцияның мәніне тең сан болсын. кесіндісінде үзіліссіз функциялардың айырымына тең, осы кесіндіде үзіліссіз функциясын алайық. болатындығы айқын. Олай болса, 3-ші теорема бойынша, нүктеде орындалады. Соңғы теңдіктерден, теңдігі шығады және мұнда жоғарыда алғанымыз бойынша. Теорема дәлелденді. Салдар. Егер үзіліссіз функциясының D анықталу облысы қандай да бір аралық болса, онда бұл функцияның Е мәндерінің жиыны да қандай да бір аралықты құрайды. Дәлелдеуін оқу құралынан қарауға болады. жүктеу/скачать 423,25 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|