Глоссарийлар

жүктеу/скачать 4,79 Mb.

бет	58/61
Дата	06.01.2022
өлшемі	4,79 Mb.
	#14375

1 ... 53 54 55 56 57 58 59 60 61

Жазықтықтағы түзу

Талқылайтың сұрақтар:

1.Бұрыштық коэфицтентімен берілген теңдеу.

2. Белгілі бағытта белгілі нүкте арқылы өтетін түзүдін теңдеуі.

3. Екі белгілі нукте арқылы өтетін түзүдін теңдеуі.

4. Кесіндідегі түзүдін теңдеуі.

5. Жазықтықтағы түзүдін жалпы теңдеуі.

6. Жазықтықта теңдеу бойынша түзүді салу.

Тапсырма.

А(-2;4), В(6;-2) нүктелер берілген. А және В нүктелері арқылы өтетің түзүдін теңдеуін құр.
теңдеуімен берілген түзүді сал.

3. 2 тапсырмадағы түзүдің теңдеуін бұрыштық коэфициентпен және жалпы түрінде жаз.
Практическое занятие № 7

Тема: Векторное пространство.

Екінші ретті сызықтардың жалпы теңдеуі. екінші ретті сызық түрін анықтау.
Шеңбер: анықтамасы, жалпы және конондық теңдеуі. мысалдар.
Эллипс: анықтамасы, жалпы және конондық теңдеуі. мысалдар. эллипс фокустарының координаталары, эксцентрисасы.
Гипербола: анықтамасы, жалпы және конондық теңдеуі. мысалдар. гипербола фокустарының координаталары, ассимптоталары. кері пропорционал тәуелділік.
Парабола: анықтамасы, жалпы және конондық теңдеуі. мысал. парбола директрисасының теңдеуі.

Тапсырма

Сызық типін анықта және оның центрін тап:

а) 9x²+ y² – 36x – 2y + 28 = 0;

б) x²+ y² – 4x + 8y – 16 = 0.

2. Қисық типін анықта және оның фокустарының координаталарын тап:

а) 5x²– 4y² – 20 = 0;

б) 2x²– 8x + y + 5 = 0.
Литература: [14], стр. 48 - 51

Практическое занятие № 8-9

Тема: Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых.

КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУ МЕН ЖАЗЫҚТЫҚ

Талқылау сұрақтары

Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі. кесіндідегі жазықтық таңдеуі.
Кеңістіктегі екі жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттары.
Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеу. кеңістіктегі теңдеудің канондық теңдеуі. кеңістіктегі екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі.
Кеңістіктегі екі түзудің параллельдік және перпендикулярлық шарттары.
Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Тпсырмалар

1. М₁(3; –1; 2) и М₂(–1; 2; 5) нүктелері берілген. векторына перпендикуляр М₁нүктесі арқылы өтетін жазықтық теңдеуін жаз.

2. М₀(2; –1; –3) нүктесі арқылы 3х + y – z – 8 = 0. жазықтығына перпендикуляр түзудің параметрлік теңдеуін жаз.

Практическое занятие № 10-11

Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс, гипербола, парабола.

Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

Точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров окружности.
Центр совпадает с точкой С (1;-1) и прямая является касательной к окружности.

Решение: уравнение определяет окружность радиуса с центром .

Чтобы найти центр окружности найдем середину отрезка АВ, который по условию является диаметром.

О: и . Т.е. координаты центра окружности будут О(2;4).

Теперь найдем радиус окружности АО: .

Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом:

Чтобы найти радиус окружности, вычислим расстояние от центра окружности до касательной.

Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом:

Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями: и .

Решение: из уравнений найдем координаты центров окружностей: и . Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

,

Ответ: .

3. Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .

Решение: преобразуем уравнение окружности:

Из этого уравнения найдем центр О(-2;3).

Теперь составим уравнение прямой проходящей через точку О и перпендикулярную прямой . Коэффициент , , , т.е. ,

Ответ:
4. Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает, касается или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

Решение: Преобразуем уравнение окружности

Радиус равен . Центр окружности О (1,5;-1).

Найдем расстояние от центра окружности до прямой и сравним с радиусом.

, т.е. прямая пересекает окружность.

Решение: Преобразуем уравнение окружности

Радиус равен . Центр окружности О (4;-1).

Найдем расстояние от центра окружности до прямой и сравним с радиусом.

, т.е. прямая является касательной к окружности.

Решение: . Радиус равен . Центр окружности О (0;0).

Найдем расстояние от центра окружности до прямой и сравним с радиусом.

, т.е. прямая проходит вне окружности.
5. Дан эллипс . Найти его 1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

Решение: приведем данное уравнение к каноническому виду: . Для этого разделим уравнение на 225: .

полуоси равны и ;
расстояние между фокусами равно 2с, т.е. чтобы найти координаты фокусов надо найти с: . и .
Эксцентриситет равен ,
Т.к. , директрисы определяются уравнениями: , т.е.

6. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду: .

Т.е. фокусы имеют координаты: и . Фокусы находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Малая ось равна , т.е. .

ОА=ОВ, отсюда делаем вывод, что четырехугольник есть ромб. А(0;2) и

В(0;-2).

. Зная координаты точек ромба видим, что , а . Подставим найденные значения в формулу и получим: кв. ед.

Ответ: 16 кв. ед.

7. Дана точка на эллипсе ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки .

Решение: фокальные радиусы есть отрезки и . Чтобы найти уравнения прямых, содержащих фокальные радиусы, достаточно найти координаты фокусов и по формулам найти искомые уравнения. . Т.е. фокусы имеют координаты: и .

Ответ: и
8. Найти точки пересечения прямой и эллипса .

Решение: решим систему уравнений:

, , .

Ответ: и

9. Дана гипербола . Найти 1) полуоси, 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

Решение: запишем уравнение гиперболы в каноническом виде, т.е. в виде формулы .

.

1) и ;

2) ; т.е. фокусы имеют координаты и

3) , ;

4) , ;

5) ,
10. Эксцентриситет гиперболы , расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М и до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

Решение: Каждая директриса обладает следующим свойством: если – расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы: .

Отсюда , т.е.

Ответ: 12.

11. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы

Решение: (1), а из выведем: .

В то же время (2). т.к. фокус имеет координаты , то (3). Из (2) и (3) выводим, что . Найдем .

Теперь запишем каноническое уравнение гиперболы:

12. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

1) ; 2) .

Решение: запишем каноническое уравнение параболы: или .

1) распишем так: . Отсюда . Параметр положительный, следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОХ.

2) распишем так: , отсюда . Параметр положительный, следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОУ.
13. Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7.

Решение: фокальный радиус произвольной точки параболы может быть вычислен по формуле: .

Из найдем : , т.е. .

Ответ: 12

14. Определить точки пересечения прямой и параболы .

Решение: решим систему уравнений.

,

,

Ответ: (-6;9) и (2;1).

Литература: [12], [13], [16]

Практическое занятие № 12

Тема: Различные способы задания плоскости.

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2;1;-1) и имеет нормальный вектор

Решение: Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку и имеющую нормальный вектор .

Т.о.

2. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Общее уравнение плоскости имеет вид: найдем координаты вектора

Задача свелась к составлению уравнения плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор:

3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно двум векторам и .

Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно двум векторам записывается в следующем виде: .

Т.о.

4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки и параллельно вектору

Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через две точки и параллельно вектору записывается в следующем виде: .

5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки , и .

Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через три точки , и

записывается в следующем виде: .

6. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости.

Решение: Условие параллельности двух плоскостей .

1) ,

плоскости параллельны.

2) ,

плоскости не параллельны.

3) ,

плоскости параллельны.
7. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости.

Решение: Условие перпендикулярности двух плоскостей

1) ,

плоскости перпендикулярные.

2) ,

плоскости перпендикулярные.

3) ,

плоскости не перпендикулярные.
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к плоскостям: и .

Решение:

9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно к плоскости: .

Решение: Условие параллельности двух плоскостей , т.е.

10. Дано уравнение плоскости . Написать для нее уравнение «в отрезках».

Решение: Данное уравнение является общим уравнением прямой: . Уравнение «в отрезках» имеет вид: , где , , .

, ,

Т.о. уравнение «в отрезках» будет иметь вид: .
11. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Решение: , , есть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат).

, ,
12. Привести к нормальному виду общее уравнение плоскости:

1)

2)

Решение: общее уравнение плоскости приводится к нормальной форме следующим образом: /

Если положительно, то перед корнем ставим знак «-», и наоборот.

1) берем положительный знак, т.к. число отрицательное.

2) . Берем отрицательный знак, т.к. число положительное.

.
13. Составить уравнение прямой:

1) Проходящей через две точки и

2) Если дана точка, принадлежащая прямой и направляющий вектор.

и

- каноническое уравнение.

14. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:

1) вектору

Параметрические уравнение прямой имеют вид:

Т.о.

2) параллельно прямой .

3) параллельно прямой

15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение:

Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 13-14

Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними. Поверхности вращения.

Показать, что плоскости , , пересекаются в одной точке. Найти ее координаты.

Решение:

Ответ: (2;1;1)

Вычислить расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

Решение: расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

Найдем уравнение плоскости :

Ответ: 4.

Определить двухгранный угол между следующими плоскостями:

1) и .

Решение:

2)

.

Установить расположение плоскости относительно сферы в каждом из следующих случаев:

Решение: из уравнения сферы находим координаты центра сферы, затем находим расстояние от точки до плоскости и сравниваем с радиусом сферы.

С(3;-3;3)

, плоскость является касательной к сфере.

Решение: С(-1;-2;11)

Внутри окружности

Литература: [12], [13], [16]

Практическое занятие № 15

Тема: Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
Составить уравнение сферы, если:

1) Сфера проходит через точку А(2;-1;-3) и имеет центр С(3;-2;1).

Решение: В декартовых координатах сфера, имеющая центр и радиус , определяется уравнением . Чтобы найти радиус сферы, вычислим длину отрезка АС по формуле:

Уравнение сферы запишется в виде:

2) Сфера имеет центр С(3;-5;-2) и плоскость является касательной к сфере.

Решение: чтобы найти радиус сферы вычислим расстояние от точки С до плоскости .

Уравнение сферы запишется в виде:

2. Составить уравнение сферы радиуса , касающейся плоскости в точке .

Решение: Расстояние от центра сферы до плоскости равно

Возьмем точку ,

Уравнение сферы запишется в виде:

3. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно каждой из следующих сфер (внутри нее, вне или на поверхности сферы):

1)

Из уравнения видно, что радиус , центр сферы С(3;-1;1). Чтобы определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной радиуса.

АС:

, значит, точка находится вне сферы.

2)

Из уравнения видно, что радиус , центр сферы С(-14;11;-12). Чтобы определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной радиуса.

АС:

, значит, точка находится на поверхности сферы.

3)

Из уравнения видно, что радиус , центр сферы С(6;1;2). Чтобы определить положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной радиуса.

АС:

, значит, точка находится внутри сферы.

4. Определить вид поверхности второго порядка.

Приведем к каноническому виду:

данная поверхность есть эллипсоид.

2)

данная поверхность есть гиперболоид.
Литература: [12], [13], [16]

Раздел 5 – Методические рекомендаций по СРСП

Тема: Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Обратная матрица.