Жоғары математикадан типтік есептер жинағЫ 2-бөлім
Қисық сызықты және беттік интегралдар тақырыбына арналған типтік есептер
жүктеу/скачать 3,79 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Тапсырмаларды шығару жолы 1а.
- 3 Дифференциалдық теңдеулер 3.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
- Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу
- Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер
- Қос аргумент бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу.
| 2.2.1 Қисық сызықты және беттік интегралдар тақырыбына арналған типтік есептер
1. Төмендегі L сызығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеу керек, мұндағы L берілген А мен В нүктелерін қосатын түзу.
2. Бірінші текті беттік интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координаттар жазықтығымен қиғандағы бөлігі.
Тапсырмаларды шығару жолы 1а. L сызығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеу керек, мұндағы L берілген мен нүктелерін қосатын түзу. Шешуі: АВ түзуінің теңдеуі немесе болады. , осыдан
1ә. L сызығы бойынша қисық сызықты интегралды есептеу керек, мұндағы L берілген мен нүктелерін қосатын түзу. Шешуі: АВ түзуінің теңдеуі немесе болады. , осыдан . 2. интегралын есептеу керек, мұндағы : жазықтығының І октанттағы бөлігі. Шешуі: Жазықтық теңдеуі: . Бұдан . бетінің Оху жазықтығына проекциясы х+у=1, x=0, y=0 түзулерімен шектелген D үшбұрышы болады. Осы үшбұрышта х 0-ден 1-ге дейін өзгереді. 3 Дифференциалдық теңдеулер 3.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Дифференциалдық теңдеу деп айнымалы шамаға, ізделінді функцияға және оның туындыларына (немесе дифференциалына) байланысты болатын теңдеуді айтады. Егер айнымалы шама біреу болса, онда теңдеуді қарапайым дифференциалдық теңдеу, ал айнымалы шама екеу немесе одан көп болса, онда оны дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Дифференциалдық теңдеудің құрамына енетін туындының ең үлкен ретін дифференциалдық теңдеудің реті дейді. - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек, - бас туындыға қатысты шешілген теңдеу. Енді бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді қарастырайық. Ары қарай «қарапайым дифференциалдық теңдеу» орнына «дифференциалдық теңдеу» деп айтылады. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп түріндегі теңдеуді айтады. Егер бұл теңдік арқылы шешілсе, яғни түрінде жазылса, онда соңғы теңдеу туындысы арқылы шешілген дифференциалдық теңдеу делінеді. - бұл бірінші ретті теңдеудің дифференциалды түрі деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын дифференциалданатын функциясын айтады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін іздеу үрдісін дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп атайды. Егер теңдеу айқын түрде немесе қандайда бір теңдеуі түрінде айқын емес түрде шешілсе, онда теңдеу интегралданған деп аталады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтайтын теңдеуі осы теңдеудің интегралы деп аталады. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп кез келген бір тұрақты С–дан тәуелді және келесі шарттарды қанағаттандыратын функциясын айтады: а) ол С тұрақтының кез келген мәнінде дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады; ә) бастапқы шарт х=х0 болғанда у=у0 қандай болмаса да функциясы берілген бастапқы шартты қанағаттандыратындай мәнін табуға болады. Егер дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі түрінде берілсе, онда оны дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы дейді. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешіміндегі С тұрақтысына мәнін берсек, онда - теңдеудің дербес шешімі деп аталады, ал жалпы интегралы үшін дербес интегралы дейді. алғашқы шартын қанағаттандыратын теңдеуінің дербес шешімін (интегралын) табу есебі Коши есебі деп аталады. Егер және функциялары нүктесінің аймағында үздіксіз болса, онда Коши есебінің алғашқы шартын қанағаттандыратын бір ғана шешімі болады. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер деп түрінде берілген теңдеуді айтады. Теңдеуінің екі жағын - ке бөліп, - қа көбейтсек, онда Оны интегралдасақ болады, яғни берілген теңдеудің жалпы интегралын аламыз. Бірінші ретті айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуді түрінде жазуға болады. Енді теңдеуінің екі жағын көбейтіндісіне бөлсек: теңдеуі шығады. Бұл теңдеуде х пен у айнымалылары ажыратылған: dx дифференциалының алдындағы коэффициент тек х - ке, ал dy алдындағысы тек у - ке байланысты. Оны интегралдасақ болады, яғни берілген теңдеуінің жалпы интегралын аламыз. Қос аргумент бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу. Егер кез келген саны үшін теңдігі орындалса, онда функциясы және айнымалылары бойынша өлшемді біртекті функция деп, ал санын функцияның біртектілік көрсеткіші деп атайды. Егер дифференциалдық теңдеуінің оң жағы 0 көрсеткішті біртекті функция болса, онда дифференциалдық теңдеудің өзін біртекті дифференциалдық теңдеу деп атайды. Егер және функциялары бірдей өлшемді біртекті функциялар болса, онда теңдеуін қос аргумент бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу дейді. Біртекті дифференциалдық теңдеуді шешу үшін теңдігі арқылы жаңадан функциясын енгіземіз. Осы алмастырудан кейін берілген дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу болады. жүктеу/скачать 3,79 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|