2-мысал. А, А, А, Е, И, К. М. М. Т. Т әріптері берілген. а) олардан 10 әріптен құралатын сөздерді неше тәсілмен құрастыруға болады? ә) «МАТЕМАТИКА» сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а) Алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. Бұл әріптердің барлығы да әртүрлі десек, онда небары алмастыру жасауға болады. Бірақ біздің мысалымызда А әрпі үш рет қайталанып отыр. Егер А-дан өзге қалған әріптер әртүрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар саны
болар еді. Бірақ А-дан басқа М әрпі екі рет және Т әрпі де екі рет қайталанып отыр. Сондықтан алмастырулардың жалпы саны мынаған тең болады:
ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз, оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар нәтижелердің саны - 151200. Бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына қолайлы жағдайлар саны біреу-ақ. Олай болса, мұның ықтималдығы
Мұны бірден деп жазуға болады. Сонымен, барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 10!. Ал аталған сөздің пайда болуына қолайлысы m=3!·2!·2! болады.
Бұл мысалдардан шыққан нәтижелерді пайдаланып қорытынды жасайық:
М жиыны a1, a2,….ak элементтерінен құралсын. Мұндағы a1 элементі n1 рет, a2 элементі n2 рет, ... , ak элементі nk рет қайталанатын болсын (n1+n2+….+nk=N ). Сонда N элементтен берілген n1, n2,….nk -дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:
(1)
3-мысал. Алдыңғы мысалдағы «Математика» сөзінің әріптерінен неше алмастыру жасауға болады?
Шешуі. Бұған жауап беру үшін (1) формуланы пайдаланамыз, сонда N=10, М әрпінің қайталану саны n1 = 2!, A әрпінің қайталану саны n2 = 3!, Т әрпінің қайталану саны n3 = 2!, қалған әріптер бір реттен енеді. Демек,
