Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Сызықты дифференциалдық жүйелердің орнықтылғы туралы жалпы теоремалар
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1-анықтама.
- 1-теорема.
- Ескерту.
| Сызықты дифференциалдық жүйелердің орнықтылғы туралы жалпы теоремалар.
Сызықты дифференциалдық жүйені қарастырайық Мұнда: және біртексіз жүйеге сәйкес сызықты біртекті жүйе былай жазылады 1-анықтама. Егер сызықты жүйенің барлық шешімдері орнықты(орнықсыз) болса, онда оны Ляпунов бойынша орнықты(толығынан орнықсыз) деп атайды. жүйенің бірқалыпты және асимптотикалық орнықтылықтары да дәл осылай анықталады. 1-теорема. Бос мүшесі кез келген болатын жүйенің орнықты болуы үшін сәйкес біртекті жүйенің нөлдік шешімінің орнықты болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі. Қажеттілігі. жүйенің орнықты шешімі деп есептейік, яғни жүйенің кез келген шешімі үшін Ал жүйенің кез келген екі шешімінің айырымы сәйкес біртекті жүйенің шешімін береді. Оны деп белгілесек, яғни , онда Бұл жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығын білдіреді. Ескерту. Қандай да болмасын бос мүшесі(дербес жағдайда жүйенің ең болмағанда бір шешімінің орнықтылығы жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығын беріп тұр. Жеткіліктілігі. Біртекті жүйенің нөлдік шешімі орнықты болсын. Онда үшін жүйенің мына теңсіздікті қанағаттандыратын кез келген шешімі теңсіздігін қанағаттандырады. Ал жүйенің кез келген шешімін жүйенің екі шешімінің айырмасы түрінде өрнектеуге болады. Айталық және айырмасы -ны беретін жүйенің сәйкес кез келген және дара шешімдері болсын, яғни . Онда ⇒ Бұл шешімінің орнықтылығын білдіреді. кез келген дара шешім болғандықтан, жүйе орнықты. Салдарлар. 1. Ең болмағанда бір шешімі орнықты(орнықсыз) болатын сызықты жүйе орнықты(орнықсыз). 2. Сызықты біртексіз дифференциалдық жүйе орнықты болу үшін сәйкес біртекті жүйенің орнықты болуы қажетті және жеткілікті. Бұл орнықтылық мағынасында жүйе мен жүйенің шешімдерінің тәртібі бірдей екенін білдіреді. Шынында да, егер жүйенің фундаментальдық матрицасы болса, жүйенің жалпы шешімі мына түрде: ал жүйенің жалпы шешімі: түрінде болады. -кез келген тұрақты вектор, Сондықтан ара қашықтықтарының бірдейлігі(сақталуы) мағынасында интегралдық қисықтар өрісі мен интегралдық қисықтар өрісі топологиялық эквивалент. Айырмашылық тек интегралдық қисықтардың орналасу «өсінің» бірінші жағдайда қисық , ал екінші жағдайда түзу болғандығында. 1-теорема бірқалыпты және асимптотикалық орнықтылықтар үшін де дұрыс. Асимптотикалық орнықтылық үшін 2 салдар орындалады. Сонымен жүйенің орнықтылығын зерттеу үшін жүйенің орнықтылығын зерттеу жеткілікті. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|