«Прогрессиялар» ғылыми жобасында, «Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?», «Біздің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай?» деген сұрақтарға толық жауап берілген
жүктеу/скачать 149,5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер.
- 1.3. Фиббоначчи қатары.
| 1-тарау. Ғылыми әдебиеттерге шолу
Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар. Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланған. Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген… Алғашында Архимед дөңгелекке алтыбұрышты іштей сызды, сосын әр қабырғасына теңбүйірлі үшбұрыштарды салды – онекібұрыш пайда болды. Біртіндеп қабырғаларды екі еселей отырып, Архимед 24- бұрышты, 48- бұрышты, ақыр соңында 96- бұрышты алды. Салынған көпбұрыштар біртіндеп дөңгелектің ауданын жапты. Бұл әдіс Архимед өлген соң 2200 жылдан кейін заманауи геоиетрия оқулығының беттерінен көрінді. Архимед өз зерттеулерінің барысында, еселігі ¼ болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысын тапты, бұл математикадағы шектеусіз тізбектің алғашқы мысалы еді. Кейбір геометриялық және механикалық есептерді шешуде, Архимед натурал сандардың квадраттарының қосындысының формуласын қорытып шығарды алайда бұл формула оған дейін белгілі еді: Прогрессиялар арасындағы байланысқа бірінші болып, ұлы Архимед назар аударды.Архимедтің ойлары, 1544 жылы неміс математигі Михаил Штифелдің «Жалпы арифметика» деген кітабы жарыққа шыққанда белгілі болды. Ол төмендегідей таблица құрды:
Жоғарғы жолда айырмасы 1ге тең арифметикалық прогрессия, төменгі жолда еселігі 2ге тең геометриялық прогрессия орналасқан. Егер an·am=an+m және am:an=am-n тепе теңдіктерін ескерсек Штифелдің төменгі жолын былай жазуға болады:
1.2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер. Пифагор (IV ғ.б.э.д) және оның оқушылары геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді қарастырды. Үшбұрыштардағы, квадраттардағы, бесбұрыштардағы сандар тобын есептей келе, олар төмендегідей қорытындыға келді. - үшбұрышты сандар тізбегі (ап ) 1, 3, 6, 10, 15, … ; - квадраттық сандар тізбегі (bп) 1, 4, 9, 16, 25, … ; - үшбұрышты сандар тізбегі(сп) 1, 5, 12, 22, 35, .. Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік. а1 = 1, а2 = 1 + 2, а3 = 1 + 2 + 3, ап = 1 + 2 + 3 + … + п. Сондықтан: ап = (1 + п ):2·п. Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік. b1= 1, b2 = 1 + 3, bз = 1 + 3 + 5, …, bn = 1 + 3 + 5 + … + 2п- 1. бұдан, bn =(1+2n-1):2·n; bn=n2. Сандардың квадраттарының формуласына келдік. Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік. с1= 1, с2 = 1 + 4, сз = 1 + 4 + 7, …, сn = 1 + 4 + 7 + … +(1+3( п- 1)). Бұдан, сn =(1+1+3( п- 1)):2·n; сn=(3n-1)·n/2 1.3. Фиббоначчи қатары. Фиббоначчи қатары. Европалықтарда кез келген арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесі, алғаш рет Леонардо Пизанскидің шығармасында кездесті «Книга об абаке» (1202 г.) «Книгa абака» сол замандағы Батыс Европада математиканың дамуында маңызды роль атқаратын барлық арифметикалық және алгебралық мәліметтер жарияланды. Европалықтар осы кітап арқылы үнді, араб цифрларымен танысты. Фибоначчидің ең танымал «қояндардың көбеюі туралы » есебі, Фиббоначчи тізбегінің анықталуына алып келді. Фибоначчи есебі: Бір адам қояндар жұбын, қоршалған бір жерге орналастырды. Ол бір жылда қанша қояндар жұбы туатынын білгісі келді. Қояндардың табиғатында, әрбір жұп бір айдан соң, дүниеге бір жұп әкеледі; ал қояндар туғаннан кейін екі айдан соң балалайды. Егер біз алғашқы жұптың жаңа туғанын ескерсек, екінші айда да бұрынғыдай, бір жұп болады; үшінші айда – 1+1=2; төртінші айда - 2+1=3(мұндағы екі жұптың біреуі ғана ұрпақ беретінін ескереміз); бесінші айда – 3+2=5 (үшінші айда туған жұп ұрпақ берді); алтыншы айда- 5+3=8 жұп (төртінші айда туған жұптар ғана ұрпақ береді)т.с.с. «Бір жұптан жылына қанша ұрпақ тарайды»
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 және сол сияқты сандар қатары Фибоначчи қатары болып табылытынын біз білеміз. Бұл қатардың ерекшелігі: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 және т.с.с. Осылайша n- айдан кейінгі жұптардың санын uk деп белгілесек, онда u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21 және т.с.с. және бұлар ортақ заңмен реттеледі: un =un-1 + un-2 және n >2. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …шыққан сан тізбегін жалғастырсақ, Фибоначчи қатарын аламыз. Фибоначчи сандары — сандық тізбектің элементері үшіншісінен бастап әрбір сан өзінің алдындағы екі санның қосындысы болып табылады. Орта ғасырдағы математик Леонардо Пизанскидің атымен аталған. Тізбектің қарапайым қасиеттері 1. Фибоначчидің алғашқы n- санының қосындысы: u1+u2+…+un=un+2 -1. Фибоначчидің тақ нөмірлі сандарының қосындысы: u1+u3+u5+…+u2n-1=u2n. Фибоначчидің жұп нөмірлі сандарының қосындысы: u2+u4+…+u2n=u2n+1 -1. Фибоначчидің алғашқы n- санының квадраттарының қосындысы: Фибоначчи тізбегінде әрбір үшінші сан – жұп, әрбір төртіншісі 3ке бөлінеді, әрбір бесіншісі 5ке бөлінеді, әрбір он бесіншісі 10ға бөлінеді. un+m=un-1um+unum+1 (1) 1) (1) формуласындағы m=n болсын, u2n=un-1un +unu n+1 немесе u2n=un(un-1+un+1) болғандықтан un=un+1-un-1u2n =(un+1-un-1)(un+1+un-1) немесе u2n=(un+1)2-(un-1).2 болады. Ендеше Фибоначчи сандарындағы, реттік нөмірлерінің айырмашылығы екіге тең, екі санының квалраттарының айырымыда, Фибоначчи саны болады. 2) m=2n болсын u3n=(un+1)3+(un)3-(un-1)3.Егер n – орнының нөмірі болса, онда мынадай және екі иррационал санның көмегімен, Фибоначчи қатарының кез келген мүшесін (1) формуламен табуға болады. Евклидтің шығармаларында «Бастамалар» (б.э.д. 300ж) геометриялық прогрессияға байланысты ауызша теорема бар, оны мынадай теңдікпен көрсетуге болады. жүктеу/скачать 149,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|