Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 446 1 Сабақ барысы: Әр түрлі жүйелердің (техникалық, экономикалық, экологиялық және т.б.) әрекеттерін зерттеу кӛбінесе жүйенің параметрлерін де, олардың ӛзгеру жылдамдығын да қамтитын теңдеулерді талдауға және шешуге әкеледі, олардың аналитикалық ӛрнегі туынды болып табылады. Туындылары бар мұндай теңдеулерді дифференциалдық теңдеулер деп атаймыз. Жарнама саласындағы келесі мысалды қарастырайық. Мысал : Жаңа тауарларды сатуды ұйымдастырған кезде сауда кәсіпорындары кӛбінесе жарнама қызметтеріне жүгінуге мәжбүр болады. Соңғысы сәтті және заманауи болуы үшін жаңа ӛнім туралы ақпаратты оның әлеуетті сатып алушылары арасында тарату Заңын білу қажет. Қарастырылып отырған процеске қатысты келесі болжамдармен кӛрсетілген үлгі түрін табамыз. N – жаңа тауарды әлеуетті сатып алушылардың жалпы саны болсын, x(t) – уақыт ӛте келе жаңа тауардың сатылымға түскені туралы білетін сатып алушылар саны, [N-x(t)] – тауар туралы әлі ақпараты жоқ сатып алушылар саны. Ӛнім туралы ақпарат сатып алушылар арасында олардың ӛзара байланысы арқылы таратылады делік. Аз уақыт ішінде тек екі сатып алушының кездесуі мүмкін деп санаймыз және бұл кездесудің ықтималдығы P-ге тең деп санаймыз, кездесу кезінде ӛнім туралы білетін сатып алушы ӛнім туралы әлі ақпараты жоқ сатып алушымен кездесу ықтималдығы (N-x)/N. Содан кейін t моментіндегі x(t) шамасының ӛзгеру жылдамдығы px(N-x)/N ӛнім туралы алғаш білген сатып алушылар санының жүйелі күтуіне тең болады. Осылайша біз мына теңдеуді аламыз d X = p X (N– X ) немесе x ' = p X (N– X ) dt N N Бұл теңдеу x мәнін және оның туындысын x ' қамтиды, яғни дифференциалдық теңдеу. Алынған теңдеуді шеше отырып x шамасының t-ге тәуелділік түрін табамыз: x = N —pt , мұндағы А параметрі белгілі бір уақытта x=x0 жағдайына сүйене отырып 1+ A e t=t0 таңдалады. Есеп 1 Егер дене М(0,4) нүктесінен бастап v = 2 t + 3 t 2 жылдамдығымен қозғала бастаса онда осы дененің Ох осі бойындағы қозғалу заңын табыңыз. Шешуі: Түзу сызықты қозғалыста жылдамдық жолдың уақыт бойынша туындысы болып табылады. Жолды х арқылы белгілеп, v = dx dt екенін аламыз. Сонда dx = 2 t + 3 t 2 , dt немесе dx = (2 t + 3 t 2 ) dt Интегралдап, келесіні аламыз: x = t 2 + t 3 + С . Бастапқы шарттарды пайдаланып С- тұрақтысын табамыз. t = 0 болғанда x = 4 болғандықтан, бұл мәндерді жалпы шешімге қойып, C = 4 екенін табамыз. Сонымен, дененің қозғалу заңы мына түрге ие x = t 2 + t 3 + 4 . Есеп 2 Ашық резервуалардағы судың алғашқы температурасы 70 0 болатын, 10 минуттан кейін судың температурасы 65 0 болды, резервуарды қоршаған ортаның температурасы 15 0 . Анықтау керек: бастапқы моменттен 30 минут ӛткеннен кейінгі резервуардың температурасын, резервуардағы судың температурасы 20 0 – қа тең болатын уақыт моментін. жүктеу/скачать 12,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|