Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
447 
1 
dT 
dt 
шамасы 
резервуардағы 
судың 
және 
оны 
қоршаған 
ортаның 
температурасына пропорционал, 
яғни 
k
(
T 
0
), 
мұндағы
k 
– пропорционалдық 
коэффициенті. Ендеше, 
dT 
= 
k
(
T 
0 
) 
. Айнымалыларды ажыратып, келесіні аламыз. 
dt 
dT 
= 
kdt
. 
T 
0
Алынған теңдеуді интегралдаймыз: 
немесе 
dT 
T 
15
0
= 
kdt
; 
ln(
T 
15
0
) = 
kt 
+ 
C
; 
бұдан 
T 
15
0
= 
e
kT 
+
C 
= 
e
kT
 
* 
e
C
 
= 
e
kt
 
* 
C 
T 
= 
C e
kt
 
+15
0
. 
Бұл қатынас судың салқындау заңын ӛрнектейді. 
(1) 
t 
= 0 
Алатынымыз 
болғанда 
T 
= 70 
0
болатын бастапқы шартты пайдаланып, С
1
-ді табайық. 
70= 
C e
R
*0
+15, 
немесе 
55
0
= 
C e
0
= 
C 
, 
яғни 
C 
= 55
0
. 
1 
1 
1 
1 
С
1-
дің алынған мәнін (1) теңдігіне қойып, мынаны аламыз. 
T
= 55
0
𝑒
kt
+ 15
0
(2) 
k 
шамасын табайық. Шарт бойынша, t=10 мин болғанда T = 65
0
. 
Бұл мәндерді (2) қатынасына қойып, келесіні аламыз. 
65
0
= 55
0
e
k*10
+ 15
0
, немесе 
50 
0
= 55
0
e
10
k
 
, немесе 10/11e
10k
соңғы теңдікті логарифмдеп, келесіге ие боламыз. 
𝑙𝑔10 − 𝑙𝑔11 = 10𝑘𝑙𝑔𝑙, 
бұдан
𝑘 = 
1 − 𝑙𝑔11 
10𝑙𝑔𝑒 
1 − 1,0414 
= 
10 ∙ 0,4343 
0,414 
= − 
4,343 
= −0,009532 
k 
– ның мәнін (2) қатынасқа қойып, t мен Т айнымалыларын байныстырушы 
салқындау заңын аламыз: 
T 
= 55 
0
* 
e 
0 , 009532
t 
+ 15 
0
(3) 
Бастапқы моменттен 30 минут ӛткеннен кейін 
судың 
температурасын 
табамыз. Бұл үшін 
t 
= 30 мәнін (3) теңдеуіне қоямыз. 
T 
= 55
0 
* 
e 
*30 
+ 15
0
, 
немесе 
T 
= 55
0
*
e
+15
0
. 
Есептеулер жүргізейік. 
x 
= 55 * 
e 
, 
lgx=lg55 – 0,286 
lg 
e 
= 1,7404 – 0 , 286 * 0 , 4343 = 1,7404 – 0 ,1242 = 1,6162 , 
x=41,32
≈ 41; 
Сонда 
T 
= 41 
0
+ 15 
0
= 56 
0
. 
Енді қанша уақыттан кейін резевуардағ судың температурасы 20
0
– қа тең 
болатынын табамыз. (3) қатынасына 
e 
= 20 
0
мәнін қойып, мынаны аламыз. 
бұдан 
20 
0
= 55 
0 
* 
e 
, 00932 
t
+ 15 
0 
, 
немесе 
5
0
= 55
0 
* 
e 
,009532 
t 
, 
1, 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
448 
яғни 
e
t 
0,0909, 
немесе 
0,009532 
t 
lg 
e 
= lg 0,0909 
= 2,9586 , 
t 
= 
2,9586 
=
0,009532*0,4343 
1,041 
0,009532*0,4343 
251 
мми
= 4
саг 
11 
мми 
Есептерді дифференциалдық теңдеулер тілінде жазылғаннан кейін оларды шешуге 
тырысу керек. Кейде шешімдер айқын формулалар түрінде болады, бірақ кӛбінесе оларды 
тек жақын формада ұсынуға немесе олар туралы сапалы ақпарат алуға болады. 
«Дифференциалдық теңдеулер» тақырыбы бойынша қолданбалы есептердің 
жҥйесі 
Аңдатпа 
Дифференциалдық теңдеулер негізгі математикалық түсініктердің бірі болып 
саналады. Дифференциалдық теңдеулер теориясының элементтерімен жоғары сынып 
оқушылары физика курсында дифференциалдық теңдеулерді интеграциялау жайлы 
бір қалыпты үдемелі қозғалысты қарастыруда кездеседі. Белгілі бір құбылысты 
зерттеу нәтижесінде алынатын дифференциалдық теңдеулерді сол құбылыстың 
дифференциалдық моделі деп атайды. Мақалада дифференциалдық теңдеулердің 
практикалық маңызы зор, олар механикада, физикада, астрономияда, биология мен 
химияның кӛптеген мәселелерінде кеңінен қолданатындығы жайлы айтылған. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: