«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

164 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
численного  моделирования  (
0
.
0

t
)  не  может  быть  принята  как  реальная  скорость 
br
v
 
движения  бризеров. 
Численные 
эксперименты 
показывают 
существенную 
разность 
между 
значениями 
v

 
и 
br
v
: 
0




br
be
v
v
V
,  которая  может  быть  обоснована  наличием  внутренней  динамики  степени  свободы 
бризерных  решений.  Компьютерные  эксперименты  показали,  что  в  пределах 
81
.
0
0
.
0



v
 
значение 
V

 
увеличивается  пропорционально 
9
.
0
...,
,
1
.
0
,
0
.
0

n

, 
9
,...,
1
,
0

n
.  При 
95
.
0
81
.
0



v
 
значение 
V

 
остается  положительным  (
0


V
),  но  ее  изменение  зависит  не  только  от 
v

 
и 
n

,  а  также  от 
выявленного в настоящей работе эффекта сброса бризером (1) О(3) ВНСМ сгустка энергии, а именно от значения 
BE
DH
 
плотности ее энергии.
 
 
Литература
: 
1. 
Муминов  Х.Х.,  Чистяков  Д.Ю.  Новый  тип  бионных  возбуждений  в  модели  классического  антиферромагнетика 
Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2004, т. 
XLVII
, №9
-
10, с. 45
-50. 
2. 
Муминов  Х.Х.,  Шокиров  Ф.Ш.  Пороги  устойчивости  новых  одномерных  бризерных  решений  нелинейной  сигма
-
модели теории поля // Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №8, с. 606 –
 611. 
3. 
Муминов  Х.Х.,  Шокиров  Ф.Ш.  Бризерные  решения  одномерной  О(3)  векторной  нелинейной  сигма
-
модели  –
 
энергия  связи  и  частотный  предел  //  Современные  методы  теории  функций  и  смежные  проблемы:  материалы 
Воронежской зимней математической школы. –
 
Воронеж: ВГУ, 2011 г., с. 227
-230. 
4. 
Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий новых одномерных бризерных решений О(3) векторной 
нелинейной сигма модели и бризеров уравнения синус
-
Гордона // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, 
№1, с. 35 –
 41. 
 
 
Дилноза Рахмонова
 
(Худойбердиева)
 
(Фергана, Узбекистан)
 
 
ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
 
ЛАВРЕНТЕВА
-
БИЦАДЗЕ.
 
 
Пусть 

 
–
 
область  плоскости 
xOy
,  ограниченная  при 
0
x і
, 
0
y і
 
дугой 
s
 
окружности 
2
2
1
x
y
+
=
, 
при 
0
x і
, 
0
y Ј
 
прямой 
1
x
y
-
=
,  при 
0
x Ј
, 
0
y і
 
прямой 
1
y
x
-
=
,  а  при 
0
x Ј
, 
0
y Ј
 
прямой 
1
x
y
+
= -
. 
0
{( , ) :
0,
0}
x y
x
y
   


,
1,
{( , ) :
0,
0,( 1) (
)
0}
k
k
x y
x
y
x
y
   





, 
2,
{( , ) :
0,
0,( 1) (
)
0}
k
k
x y
x
y
x
y
   





, 
,3
{( , ) :
0,
0,
k
x y
x
y
   


 
( 1) (
)
0}
k
x
y



, 
1, 2
k =
, 
а 
1
2
A A
1
(
)
OA
, 
1
2
B B
1
(
)
OB
, 
1
2
Q Q
1
2
(
,
)
OQ OQ
, 
2
2
A B
 
2
0
2
0
(
,
)
A Q B Q
, 
2
1
A B
2
2
(
)
A Q
, 
2
1
B A
2
1
(
)
B Q
, 
0
OQ
 
–
 
отрезки  прямых 
0
y =
, 
0
x =
, 
0
x
y
+
=
, 
1
x
y
+
= -
, 
1
y
x
-
=
, 
1
x
y
-
=
, 
x
y
=
 
соответственно,  где 
(0, 0)
O
, 
1
(1, 0)
A
, 
1
(0,1)
B
, 
2
( 1, 0)
A -
, 
2
(0, 1)
B
-
, 
0
( 1/ 2, 1/ 2)
Q -
-
, 
1
(1/ 2, 1/ 2)
Q
-
, 
2
( 1/ 2,1/ 2)
Q -
. 
Рассмотрим уравнений
 
 
 
0
2
3
,
1
1
,
,
;
0
,
,
,
xx
yy
xx
yy
j k
j
k
u
u
x y
u
u
x y






 



   






 (1) 
Уравнение  (1)  в  области 

 
принадлежит  смешанному  типу,  а  именно:  в 
0

- 
эллиптическому  типу,  а  в 
,
j k

 (
1, 2
j

, 
1,3
k

) 
–
 
гиперболическому типу.
 
Задача 
F
. 
Найти  регулярное  в  области 


1
2
1
2
1
2
0
\ A A
B B
Q Q
OQ




 
решения 
( , )
u x y
 
уравнения (1) удовлетворяющее условиям
 
 
   
0
,
,
,
,
u x y
x y
x y




; (2) 
1
1
1
1
,
,
( )
2
2
2
2
y
y
y
y
u
u
g y




















, 
1
0
y
  
; (3) 
1
( , 0)
(
, 0)
( )
u x
u
x
f x
 

, 
0
1
x
 
; (4) 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
165 
 
 
2
(0, )
(0,
)
( )
u
y
u
y
f y



, 
0
1
y
 
; (5) 
0
0
( , )
( , )
y
y
lim
u x y
lim
u x y
y
y







, 
( 1, 0)
(0, 1)
x
 

; (6) 
0
0
( , )
( , )
x
x
lim
u x y
lim
u x y
x
x







, 
( 1, 0)
(0, 1)
y
 

. (7) 
Здесь 
( , ), ( ),
( )
j
x y g t
f t



1, 2
j

 
–
 
заданные  функции,  причем 
     
,
,
x y
xy
x y




, 
1


, 
 
 
,
x y
C



; 
   
 
 
2
1
2
,
0,1
0,1
f t
f
t
C
C


, 
1
(0)
0
f
=
, 
1
1
2
(1,0)
(0,1)
( 1)
(1)
(1)
g
f
f
j
j
+
+
-
=
+
. 
Докажем однозначную разрешимость задачи.
 
Пусть 
( , )
u x y
 
–
 
решение  задачи
 
F
.  Принимая  во  внимание  условия  (6)
,  (7) 
и 
( , )
( )
u x y
C
О W
, 
введем обозначения
 
 
1
1
0
2
2
0
( ,0)
( ),
lim
( , )
( ),
(0, )
( ),
lim
( , )
( ).
y
y
x
x
u x
x
u x y
x
u
y
y
u x y
y














 (8) 
 
Тогда
 
1
( )
x

, 
2
2
(
)
[0,1]
(0,1)
t
C
C

 

,  а 
1
( )
x

, 
2
2
(
)
(0,1)
t
C
n ±
О
. 
Поэтому
 
функцию 
( , )
u x y
, как решение задачи Коши для уравнения (1)
, 
в областях
 
,
j k
W
, 
1, 2
j =
, 
1,3
k =
 
можно
 
представить 
в виде 
[ ] 
 




 
1
1
1
1
1
,
2
2
x y
x y
u x y
x
y
x
y
t dt















, (9) 
 




 
2
2
2
1
1
,
2
2
y x
y x
u x y
y
x
y
x
t dt















 (10) 
Кроме того, из условия 
( , )
( )
u x y
C
 
 
задачи 
F
 
следует, что
 
 
0
0
lim
( , )
lim
( , ), 0
(1/ 2)
y
x
y
x
u x y
u x y
x
® - -
® - +
=
Ј
Ј
; (11) 
 
0
0
lim
( , )
lim
( , ), 0
(1/ 2)
x
y
x
y
u x y
u x y
y
® - -
® - +
=
Ј
Ј
; (12) 
 
0
0
lim
( , )
lim
( , ), ( 1/ 2)
0
x
y
x
y
u x y
u x y
y
® -
® +
=
-
Ј
Ј
. (13) 
 
Подставляя  функции,  определяемые  равенствами  (9)  и  (10),  в  (11),  после  некоторых  преобразований, 
получим
 
 
 
1
2
1
2
0
( )
(
)
x
x
x
t
t
dt





 







, 
0
1
x
 
. (14) 
Аналогично, используя формулы (9), (10) и равенство (12), имеем
 
 
 
2
1
1
2
0
( )
(
)
x
x
x
t
t
dt





 
 





, 
0
1
y
 
. (15) 
Теперь  с  помощью  равенства  (13)  и  условия  (3),  находим  соотношение  между 
1
( )
x

, 
2
( )
x

 
и 
1
( )
x

, 
2
( )
x

 
при 
1
0
x
-
<
<
. С этой целью в области 
1,3

 
введем в рассмотрение функцию
 
[
]
1
1
( , )
( , )
( , ),
( , )
W x y
u x y
u x x y y x y
=
-
, 
где 
1
( , )
x x y
y
=
, 
1
( , )
y x y
x
=
. (16) 
 

166 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Очевидно, что если 
1,3
( , )
x y

, то 
1
1
2,3
( ,
)
x y

. Если учесть это и равенство (13), условие (3), а 
также свойства функции 
( , )
u x y
 
в 
1,3

 
и 
2,3

, то
 
нетрудно убедиться, что функция 
( , )
W x y
 
удовлетворяет 
условиям
 
 
0
xx
yy
W
W


, 
1,3
( , )
x y ОW
; (17) 
 
( , )
0
W y y =
, 
( 1/ 2)
0
y
-
Ј
Ј
; 
[ (
1) / 2,(
1) / 2]
( )
W
y
y
g y
 


,
1
0
y
- Ј
Ј
. (18) 
А  это  является  задаче  Гурса  для  уравнения  (17)  в  характеристическом  треугольнике,  решение  которой 
единственно и выписывается в виде:
 


( , )
W x y
g y
x


. (19) 
Из этой формулы получим
 
 
2
0
lim
( , )
( )
x
W x y
y
g y




, 
 
0
lim
( , )
x
x
W x y
g y


 
. 
 
С другой стороны из (16) следует, что
 
0
lim
( , )
(0, )
( ,0)
x
W x y
u
y
u y



, 
0
lim
( , )
(0, )
( ,0)
x
x
x
x
W x y
u
y
u y



. 
Сопоставляя последние две пары равенств и учитывая обозначения (8) и пологая 
y
x

, имеем
 
 
2
1
(
)
(
)
x
x
g
x


 
 

, 
0
1
x
 
 (20) 
 
2
1
(
)
(
)
x
x
g
x



 
  

, 
0
1
y
 
. (21) 
В силу условий (4) и (5) из (20) следует, что
 
 
1
2
1
( )
( )
x
x
g x




, 
0
1
x
 
, (22) 
где 
 
 
1
1
1
( )
( )
g x
f x
f x
g
x




. 
Вычитая (15) из (14) и принимая во внимание (20) и (21), имеем
 
 
 
1
2
1
2
0
( )
( )
x
x
x
t
t
dt












, 
0
1
x
 
. (23) 
Следовательно, задача 
F
 
эквивалентна следующей задаче 
 
1
F
: найти
 
регулярное в области 
0

 
решение, 
 
0
( , )
u x y
C


 
удовлетворяющее условиям (2), (22) и (23).
 
Сначала докажем однозначную разрешимость задачи. Справедлива
 
Теорема. Задачи 
F
 
1
F
 
не может иметь более одного решения.
 
Доказательство. Пусть 
( , )
u x y
 
–
 
решение задачи 
1
F
 
при 
 
 
 
,
0,
1,2
j
x y
f
x
g x
j





. Тогда в области 
0

 
справедливо тождество
 
 
 
   
   
0
1
1
2
2
1
1
2
2
0
0
0
x
y
u
u
dxdy
x
x dx
x
x dx


















, (24) 
а на ее границе –
 
равенствам 
 
,
0
u x y

, 
 
0
,
x y


 
и
 
 
 
1
2
1
2
0
1
2
( )
( )
,
( )
( )
0,
0
1
x
x
x
t
t
dt
x
x
x



















 


. (25) 
Обозначив  через 
I
 
сумму  последних  двух  интегралов  в  (24)  и  учитывая  (25),  после  некоторых 
преобразование, имеем 
2
1
1
2
0
[ ( )
( )]
0
I
t
t dt














. 
В силу 
0
I

, 
 
0
( , )
u x y
C


 
и 
 
,
0
u x y

, 
 
0
,
x y


, из (28)
 
следует, что 
 
,
0
u x y

, 
 
0
,
x y

.  Тогда,  согласно  обозначениям  (8), 
 
 
 
 
1
2
1
2
0
x
x
x
x








, 
0
1
x
 
.  Если 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
167 
 
 
учесть  это  и 
 
 
1
2
0
f
x
f
y


,  то  из  (4),  (5),  (15)  и  (14)  последовательно  следует,  что 
 
 
 
 
1
2
1
2
0
x
x
x
x








, 
1
0
x
  
.  Поэтому,  согласно  формулами  (9)  и  (10), 
 
,
0
u x y

, 
 
,
jk
x y

, 
1, 2,
1,3
j
k


. Следовательно 
, 
 
,
x y

, откуда следует 
утверждение теоремы.
 
Решения  уравнения  (1)  удовлетворяющие  условиям 
 
,
( , )
u x y
x y


, 
 
0
,
x y


 
и 
 
 
1
, 0
y
u
x
x


, 
0
1
x
 
; 
 
 
2
0,
, 0
1
x
u
y
y
y


 
, представима в виде [1]
 
 
 
  

  

1
1
1
2
0
0
,
,
, 0; ,
0, ; ,
u x y
x y
t G t
x y dt
t G
t x y dt


 




 (26) 
где 
 




0
,
,
, ; ,
d
x y
G
x y ds
dn


  
 



, 








2 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
, ; ,
ln
2
z
z
G
x y
z
z


 








, 
n

внутренний нормаль проведённый к 
0

; 
,
,
i
z
x
iy z
x
iy
  
 
 
 
. 
В формуле (26) полагая сперва 
0
y

, а затем –
 
0
x

, получим равенства
 
 
 
 
 
1
1
2
2
2
2
2 2
2 2
0
0
1
1
ln
ln
, 0
1;
1
1
k
k
j
k
t
x
t
x
x
t
dt
t
dt
x
x
t x
t x













 










 (27) 
здесь 
, ,
1, 2
j
k j k


 
 
 
 
 
1
2
,0 ,
0,
x
x
x
x


 
 
. 
Далее, подставляя 
 
1
x

 
и 
 
2
x

 
из (27) в (22), имеем

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: