«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

168 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 
 
 
1
0
1
s
d
Ô s
s
 


 




, 
0
1
s
 
, (32) 
 
 
 
1
1
0
1
s
d
Ô s
s
 


 




, 
0
1
s
 
, (33) 
где
 
 

 

 
1
1
4
8
1
1
s
x
x
x
x







, 
 

 

 
1
1
4
8
1
1
Ô s
x
x
x Ô x





 
и 
 


 
3
8
1
s
x
x
x





, 
 


 
3
8
1
1
1
Ô s
x
x Ô x



 . 
 
Пользуясь  структурой  функции 
 
Ô s
, 
 
1
Ô s
 
и  условиями,  наложенными  на  заданные  функций, 
нетрудно  убедится,  что 
 
 
 
1
1
,
[0,1]
0,1
Ô s
Ô s
C
C


.  Поэтому,  согласно  постановке  задачи 
F
 
и 
введенным  обозначениям,  решения  уравнения  (32)  и  (33)  ищем  в  классе 
 
1
h
.  Его  индекс  в  этом  классе  равен 
нулю и, поэтому, оно однозначно разрешимо.
 
После  того,  как  найдена 
 
s

,  функция 
 



 
1
4
8
1
1
x
x
x
x
s






 
будет  известной. 
Подставляя 
 
x

 
в  (23),  находим  функцию 
1
2
( )
( )
x
x



.  Затем  из  системы  {(22),  (23)}  находим
 
функции 
1
( )
x

, 
2
( )
x

.  После  этого  решения  задачи 
F
 
1
F
 
в 
0

 
находится,  как  решение  задачи  Дирихле  для 
уравнения (1), в виде
 
1
1
1
2
0
0
( , )
( )
( , 0; , )
( )
(0, ; , )
u x y
G
x y d
G
x y d
 


 













0
( , )
( , ; , )
,
G
x y ds
n

  
 




 
где 






2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
( , ; , )
ln
2
1
z
z
G
x y
z
z


 


















 -
функция Грина. С помощью найденного в 
области 
0

 
решения 
задачи 
F
 
вычислим 
1
0
( )
lim
( , )
y
y
x
u
x y



, 
0
1
x
 
 
и 
2
0
( )
lim
( , )
x
x
y
u x y



, 
0
1
y
 
. Далее, из равенств (4), (5), (15), (14) последовательно находим функции 
1
( )
x

, 
1
0
x
  
; 
2
( )
y

, 
1
0
y
  
; 
1
( )
x

, 
1
0
x
  
; 
2
( )
y

, 
1
0
y
  
.  После  этого 
решения  задачи 
F
 
в  областях 
,
j k
W
, 
1, 2
j =
, 
1,3
k =
 
определяется  формулами  (9)  и  (10).  Этим 
завершается исследование задачи 
F
. 
 
Литература:
 
1. 
Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно
-
составного типа.–Ташкент: Фан, 1974. 
-
156 с.
 
2. 
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. –
 
Москва: Наука, 1968. –
 51
2 с.
 
 
 
Баходир
 
Тоштемиров
, 
Азизбек Маманазаров
 
(Фергана, Узбекистан)
 
 
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
 
 
В отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, в краевой задаче значение 
дробного  интегралым  функции  (  или  значение  линейной  комбинации  дробного  интегралом  от  функции  и  ее 
дробнного производного) задается не в одной  , а в двух точках ограничивающих отрезком , на котором требуется 
определить решение
. 
Введем операторы дробного интегрирования и дифференцирования по формулам 
 
1 ,
 
2
, 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
169 
 
 
 
  

 
 
 
1
0
0
1
0
1
,
0
,
0
,
0
1
x
l
l
x
l
x
x
t
t dt
l
l
D
x
x
l
d
D
x
l
dx




 




  







 


  
 
 
1
 
 
 
  

 
 
 
1
1
1
1
1
1
,
0
,
0
,
0
1
l
x
l
x
l
x
t
x
t dt
l
l
D
x
x
l
d
D
x
l
dx




 




  






 
 


    
 
2
 
 
Здесь 
 
 
,
,
x
a b
l



действительное число.
 
З а д а ч а
. 
Найти решение уравнения
 
 
 
 
 
''
'
,
,
a x y
b x y
c x y
f x
a
x
b



 
 
 
3
 
удовлетворяющее краевым условиям
 
 
 
 
 
1
1
2
1
0
0
3
0
4
0
1
1
0 ;
0 ,
x
x
x
x
x
x
x
x
k
D y x
k
D y x
k
D y x
k
D y x














 












 







 
 
4
 
где 
       
,
,
,
a x
b x
c x
f x

заданные непрерывные функции; 
1
2
3
4
, , , , ,
,
,
k k k k
   

действительные числа.
 
Заметим, что поставленная задача в случае, когда 
0,
1,
0,
1








 
была изучена в работе 
 
3
. 
Функцией  Грина  краевой  задачи 
 
3
, 
 
4
 
называется  функция 
 
,
G x s
 
определенная  при 
 
 
,
,
,
x
a b
s
a b


 
и при каждом фиксированном 
 
,
s
a b

 
обладающая свойствами:
 
1)
 
при 
x
s

 
функция 
 
,
G x s
 
удовлетворяет уравнению
 
 
 
 
''
'
0
a x y
b x y
c x y



 ; 
 
5
 
2)
 
при 
 
,
,
x
a x
b
G x s


 
удовлетворяет краевим условиям 
 
4
; 
3)
 
при 
x
s

 
функция 
 
,
G x s
, непрерывно по 
x
, а ее производная по 
x
 
терпит разрыв первого 
рода со скачком 
 
1
a s
 
, т.е.
 








 
'
'
1
0,
0,
,
0,
0,
.
x
x
G s
s
G s
s
G s
s
G s
s
a s







 
 
6
 
Чтобы  найти  функцию  Грина  краевой  задачи 
 
3
-
 
4
,  надо  найти  два  решения 
 
1
y x
 
и 
 
2
y
x
 
(отличное от 
 
0
y x

) уравнения 
 
5
, 
удовлетворяющее соответветственно первому и второму из краевых условий 
 
4
. 
Если 
 
1
y x
 
не  удовлетворяет  одновременно  обоим  краевым  условиям  ,  то  функция  Грина 
 
,
G x s
 
сушесвует и ее можно искат в виде
 
 
   
   
1
2
,
;
,
,
,
s
y x
ï ðè a
x
s
G x s
s
y
x
ï ðè
s
x
b



 

 

 

 
 
7
 

170 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
где функции 
 
s

 
и 
 
s

 
подбираются так, чтобы функция 
 
7
 
удовлетворяла условиям 
 
6
 
т.е, 
чтобы
 
   
   
2
1
s
y s
s
y s





, 
       
 
'
'
2
1
1
s
y s
s
y s
a s






 , 
 
8
 
если найдена функция Грина 
 
,
G x s
, то решение краевой задачи 
 
3
-
 
4
 
выражается формулой
 
 
   
,
b
a
y x
G x s
f s ds



. 
 
9
 
Рассмотрим уравнение
 
 
 
''
L y
y
f x


, 
0
1
x
 
, 
 
10
 
с граничными условиями
 
 
0
0
y

, 
 
 
1
0
2
0
1
1
0
x
x
x
x
k
D y x
k
D y x









 





. 
 
11
 
Общее решение данного дифференциального уранения имеет вид
 
1
2
y
C
C x


  
 
 
12
 
Условию 
 
0
0
y

 
удовлетворяет , например решение 
 
1
y x
x

. Это решение , вообще говоря , не 
удовлетворяет  второму  граничному  условию.  Подставляя  функцию 
y
 
из  формулы 
 
12
 
во  второе  краевое 
условие
 
, получим
 






1
1
2
0
1
2
,
1
2
x
C x
C x
D
C
C x










 
 
 






1
1
2
0
1
2
.
1
2
x
C x
C x
D
C
C x










 
 
 
Тогда имеем 
 
2
1
y
x
p x
 
, 
где
 



 






1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
k
k
p
k
k






  
   
 





 
  
   
 
поэтому функцию Грина ищем в виде
 
 
 
  

,
0
,
1
,
1
,
s
x
x
s
G x s
s
p x
s
x



 

 
 
 

 
 
13
 
причем  функции 
 
s

 
и 
 
s

 
выбираем  так  чтобы  выполнены  условия 
1)
-
3)
 
т.е.,  чтобы  функция 
 
,
G x s
была непрерывно по 
x
 
при фиксированном 
s
, и в частности непрерывна в точке 
;
x
s

 
 
  

1
s
s
s
p s


 
 
 
 
14
 
и чтобы 
 
,
x
G x s

 
в точке
 
x
s

 
имела скачок равное 
1
 
 
 
1
s p
s




 .   
 
15
 
В силу предположения , что 
 
1
1
0
y

, решения 
 
1
y x
x

 
и 
 
2
1
y
x
px
 
 
линейно независмы .
 
Следовательно , определитель системы 
 
14
 
и 
 
15
 
   


 
1
2
,
W y x
y
x
W x

 
в точке 
x
s

 
отличен от нуля и из системы 
 
14
 
и 
 
15
 
легко определяются
 
 
 
1
,
s
p s
s
s


  
 
. 
Откуда
 
 




1
,
0
;
,
1
,
1.
p s
x
ï ðè
x
s
G x s
s
p x
ï ðè s
x
 

 

 
  
 

 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
171 
 
 
 
Литературы:
 
1. 
Смирнов М.М
. 
Уравнения смешанного типа
. 
Т: Наука. 1985.
 
2. 
Уринов А .К
. 
Махсус функциялар ва махсус операторлар
. 
Фарғона.
 2012. 
3. 
Бойқўзиев Қ.Б. Дифференциал тенгламалар. Т
: 
Ўқитувчи
, 1983. 
 
 
Виктория Харченко
, 
Анна Бочарова
-
Лескина
 
(Краснодар, Россия)
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕСТА КОХРАНА В СОЦИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
 
 
В  социологических  исследованиях  приходится  сравнивать  результаты  более  чем  двух  измерений, 
произведённых на одной выборке в различное время и в различных условиях. В подобных случаях мы имеем дело 
с зависимыми выборками. Как известно, выборки считаются зависимыми, если каждому значению из одной выборки 
можно  поставить  в  соответствие  единственное  значение  из  другой  выборки.  Одним  их  методов  сравнения 
показателя по нескольким зависимым выборкам является тест Кохрана.
 
С целью изучения активности участия респондентов в телефонных опросах мы решили  установить, какие 
факторы  могут  побудить  людей  принимать  в  них  участие.  Было  выдвинуто  предположение,  что  начальная  фраза 
разговора  является  решающей.  Для  проверки  этого  предположения  были  разработаны  три  стиля  общения  на 
начальной фазе обращения к респонденту:
 
–
 
стиль максимального дружелюбия, радости и энтузиазма (стиль А);
 
–
 
формально любезный стиль (стиль В);
 
–
 
строгий, формальный и холодный стиль (стиль С).
 
С  интервалом  в  две  недели  интервьюеры,  представляющие  стили  А,  В  и  С,  обратились  по  телефону  к 
одной и той же группе людей с предложением принять участие в опросе. В ходе каждого обращения фиксировалось 
согласие (в таблице обозначено как «1») или отказ от проведения телефонной беседы (в таблице обозначено как 
«0»). Проверим, можно ли на основании полученных данных утверждать, что изменение стиля общения с клиентом 
сопровождается изменением его готовности принять участие в опросе.
 
Выберем уровень значимости 
05
,
0


 
и сформулируем нулевую гипотезу:
 
:
0
H
Вероятность согласия респондента на проведение опроса одинакова для всех стилей общения с ним.
 
Тогда альтернативная гипотеза будет иметь следующий вид:
 
:
1
H
Вероятность согласия респондента на проведение опроса различна для различных стилей общения с 
ним.
 
Если  результаты  каждого  измерения  носят  случайный  характер,  то  числа  «успешных»  (согласие)  и 
«неуспешных» (отказ) обращений к респондентам в каждом из столбцов таблицы не должны значительным образом 
отличаться  друг  от  друга.  Аналогично  можно  предположить,  что  если  стиль  общения  не  оказывает  влияния  на 
результаты,  их  распределение  по  горизонтали  также  носит  случайный  характер.  Кохраном  была  предложена 
специальная  расчётная  формула,  позволяющая  одновременно  оценить  случайный  характер  результатов  как  по 
столбцам,  так  и  по  строкам  таблицы.  Кохран  также  показал,  что  в  данном  случае  для  проверки  гипотез  можно 
использовать таблицу для теста 
2

. 
Составим расчётную таблицу:
 
1. 
Внизу каждого из столбцов А, В и С запишем значение величины 
G
 
–
 
количества «успехов».
 
2. 
Найдём сумму всех «успехов» и обозначим её 
G

. 
3. 
Вычислим для каждого столбца значение 
2
G
. 
4. 
Найдём количество «успехов» по строкам и обозначим их как 
L
. 
5. 
Для каждой строки найдём значение 
2
L
. 
6. 
Определим суммы 
L

 
и 
2
L

. 
Таблица 1.
 
 

172 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Эмпирическое значение критерия 
Q
 
найдём по формуле:
 






























N
i
i
N
i
i
k
j
k
j
j
j
L
L
k
G
G
k
k
Q
1
2
1
1
2
1
2
1
 , 
где 
N
 
–
 
число строк в расчётной таблице, 
k
 
–
 
число столбцов в расчётной таблице.
 
В  нашем  случае 
20

N
, 
3

k
.  По  приведённой  выше  формуле  с  учётом  необходимых  значений  из 
таблицы 1 получаем:
 

 
  




875
,
3
55
29
3
29
36
121
144
3
1
3
2
эмпир









Q
 
Для  уровня  значимости 
05
,
0


 
и  числа  степеней  свободы 
2
1
3
1





k
df
 
по  таблице 
критических  точек  распределения 
2

 
находим 
99
,
5
2

критич

.  Поскольку 
эмпир
Q
<
2
критич

,  то  нет  оснований 
отвергать нулевую гипотезу. Таким образом, на готовность респондента принять участие в телефонном опросе не 
влияет стиль общения с ним.
 
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: