Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

117
Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме
14. Найдите нули функции y = 2x
2
 + x – 6.
А) –1,5; –2; 
В) –1,5; 2;
Б) 1,5; 2; 
Г) 1,5; –2.
15.
 При каких значениях b и c вершина параболы y = x
2
 + bx + c на-
ходится в точке M (3; 8)?
А) b = 6, c = –19; 
В) b = –3, c = 8;
Б) b = –6, c = 17; 
Г) определить невозможно.
16.  На  рисунке  изображен  график  квадратичной 
функции y = ax
2
 + bx + c. Укажите верное утверж-
дение,  если  D — дискриминант  квадратного 
трехчлена ax
2
 + bx + c.
А) b > 0, D > 0; 
В) b < 0, D < 0;
Б) b > 0, D < 0; 
Г) b > 0, D = 0.
17.  При  каком  значении  a  наименьшее  значение  функции  y =
= 3x
2
 – 6x + a равно 4?
А) –5; 
В) 7;
Б) 4; 
Г) 8.
18. Известно, что m – n = 8. Найдите множество значений выраже-
ния mn.
А)  [
;
);
−
+
16
×
 
В)  (
;
);
−
+
× ×
Б)  [ ;
);
8
+
×
 
Г) определить невозможно.
y
x
0

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
118
  12.
  решение квадратных неравенств
На рисунке 12.1 изображен график некоторой функции y = f (x), 
областью определения которой является множество действительных 
чисел.
С помощью этого графика легко определить промежутки знако-
постоянства функции f, а именно: y > 0 на каждом из промежутков 
(–5; –2) и  ( ;
);
1
+
×
 y < 0 на каждом из 
промежутков  (
;
)
−
−
×
5  и (–2; 1).
Определив  промежутки  знакопо-
стоянства функции f, мы тем самым 
решили неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.
Промежутки (–5; –2) и ( ;
)
1
+
×
 вме-
сте  составляют  множество  решений 
неравенства f (x) > 0. В таких случаях 
говорят,  что  множество  решений  не-
равенства f (x) > 0 является объедине-
нием указанных промежутков. Объединение промежутков записы-
вают с помощью специального символа Ÿ.
Тогда множество решений неравенства f (x) > 0 можно записать так:
(
;
) ( ;
).
− −
+
5 2
1
Ÿ
×
Множество решений неравенства f (x) < 0 можно записать так:
(
;
) ( ; ).
−
−
−
×
Ÿ
5
2 1
Такой метод решения неравенств f (x) > 0 и f (x) < 0 с помощью 
графика функции y = f (x) называют графическим.
Покажем, как с помощью этого метода решают квадратные не-
равенства.
О п р е д е л е н и е.
 Неравенства вида 
ax
2
 + 
bx + c > 0, ax
2
 + 
bx + c < 0, 
ax
bx c
2
0
+
+ l , ax
bx c
2
0
+
+ m , где x — переменная, a, b и c — не-
которые числа, причем 
a ≠ 0, называют 
к в а д р а т н ы м и
.
Выясним,  как  определить  положение  графика  квадратичной 
функции y = ax
2
 + bx + c относительно оси абсцисс.
Наличие и количество нулей квадратичной функции y = ax
2
 + bx + c 
определяют с помощью дискриминанта D квадратного трехчлена 
ax
2
 + bx + c: если D > 0, то нулей у функции два; если D = 0, то функ-
ция имеет один нуль; если D < 0, то нулей нет.
Знак старшего коэффициента квадратного трехчлена ax
2
 + bx + c 
определяет направление ветвей параболы y = ax
2
 + bx + c. При a > 0 
ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
0
1
y
x
–2
–5
Рис. 12.1

12.  решение квадратных неравенств
119
Схематическое расположение параболы y = ax
2
 + bx + c относитель-
но оси абсцисс в зависимости от знаков чисел a и D отображено в таб-
лице (x
1
 и x
2
 — нули функции, x
0
 — абсцисса вершины параболы).
D > 0
D = 0
D < 0
a > 0
x
1
x
2
x
1
x
0
x
2
x
3
a < 0
 
x
1
x
2
x
4
x
0
x
5
x
6
Разъясним,  как  использовать  эту  таблицу  для  решения  ква-
дратных неравенств.
Пусть,  например,  надо  решить  неравенство  ax
2
 + bx + c > 0,  где 
a < 0  и  D > 0.  Этим  условиям  соответствует  ячейка  4   таблицы. 
Тогда ясно, что ответом будет промежуток (x
1
; x
2
), на котором гра-
фик соответствующей квадратичной функции расположен над осью 
абсцисс.
П р и м е р    1   
 Решите неравенство 2x
2
 – x – 1 > 0.
Р е ш е н и е. Для квадратного трехчлена 2x
2
 – x – 1 имеем: a = 2 > 0, 
D = 9 > 0. Этим условиям соответствует ячейка  1
 
таблицы. Решим 
уравнение 2x
2
 – x – 1 = 0. Получим x
1
1
2
= − ,  x
2
 = 1. Тогда схематически 
график функции y = 2x
2
 – x – 1 можно изобразить так, как показано 
на рисунке 12.2.
Из рисунка 12.2 видно, что соответствую-
щая  квадратичная  функция  принимает  по-
ложительные  значения  на  каждом  из  про-
межутков 
−
−




×
;
1
2
 и  ( ;
).
1
+
×
О т в е т: 
−
−




+
×
×
Ÿ
;
( ;
).
1
2
1
 
◄
1
–
x
2
1
Рис. 12.2

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
120
П р и м е р    2   
 Решите неравенство –9x
2
 + 6x – 1 < 0.
Р е ш е н и е.  Имеем:  a = –9,  D = 0.  Этим  условиям  соответствует 
ячейка
 
5
 
таблицы. Устанавливаем, что  x
0
1
3
= .  Тогда схематиче-
ски  график  функции  y = –9x
2
 + 6x – 1  можно  изобразить  так,  как 
показано на рисунке 12.3.
Из рисунка 12.3 видно, что решениями не-
равенства являются все числа, кроме 
1
3
.
Заметим,  что  это  неравенство  можно  ре-
шить другим способом. Перепишем данное не-
равенство так: 9x
2
 – 6x + 1 > 0. Тогда (3x – 1)
2
 > 0. 
Отсюда получаем тот же результат.
О т в е т: 
−




+




×
×
Ÿ
;
;
.
1
3
1
3
 
◄
П р и м е р    3   
 Решите неравенство 3x
2
 – x + 1 < 0.
Р е ш е н и е. Имеем: a = 3 > 0, D = –11 < 0. Этим условиям соответ-
ствует  ячейка
 
3
 
таблицы.  В  этом  случае  график  функции 
y = 3x
2
 – x + 1 не имеет точек с отрицательными ординатами.
О т в е т: решений нет. 
◄
П р и м е р    4   
 Решите неравенство  0 2
2
5 0
2
,
.
x
x
+
+ m
Р е ш е н и е. Поскольку a = 0,2, D = 0, то данному случаю соответ-
ствует ячейка  2  таблицы, причем x
0
 = –5. Но в этом случае ква-
дратичная функция принимает только неотрицательные значения. 
Следовательно,  данное  неравенство  имеет  единственное  решение 
x = –5.
О т в е т: –5. 
◄
1.  с помощью какого символа записывают объединение промежутков?
2.  Какие неравенства называют квадратными?
3.  Какие возможны случаи расположения параболы 
y
 = 
ax
2
 + 
bx
 + 
c
 от-
носительно оси абсцисс в зависимости от знаков 
a
 и 
D
, где 
D
 — дис-
криминант квадратного трехчлена 
ax
2
 + 
bx
 + 
c
? изобразите схемати-
чески эти случаи.
x
3
1
Рис. 12.3

12.  решение квадратных неравенств
121
Упражнения
12.1.°
 Какие из чисел –2; 0; 1 являются решениями неравенства:
1) x
2
 – x – 2 < 0; 
2)  x
x
2
0
+ l ;  
3) –3x
2
 – x + 2 > 0?
12.2.° На рисунке 12.4 изображен график функ-
ции y = x
2
 + 4x – 5. Найдите множество реше-
ний неравенства:
1) x
2
 + 4x – 5 < 0; 
3) x
2
 + 4x – 5 > 0;
2) x
x
2
4
5 0
+
− m ;  
4) x
x
2
4
5 0
+
− l .
12.3.° На рисунке 12.5 изображен график функ-
ции y = –3x
2
 – 6x. Найдите множество решений 
неравенства:
1) –3x
2
 – 6x < 0; 
3) –3x
2
 – 6x > 0;
2) 
−
−
3
6
0
2
x
x m ;  
4) 
−
−
3
6
0
2
x
x l .
0
1
3
–2
x
y
1
0
1
x
y
1
0
1
x
y
1
Рис. 12.5
Рис. 12.6
Рис. 12.7
12.4.°  На  рисунке  12.6  изображен  график  функции  y = x
2
 – 4x + 4. 
Найдите множество решений неравенства:
1) x
2
 – 4x + 4 < 0; 
3) x
2
 – 4x + 4 > 0;
2) x
x
2
4
4 0
−
+ m ;  
4) x
x
2
4
4 0
−
+ l .
12.5.° На рисунке 12.7 изображен график функции y = –x
2
 + 2x – 2. 
Найдите множество решений неравенства:
1) –x
2
 + 2x – 2 < 0; 
3) –x
2
 + 2x – 2 > 0;
2) 
−
+
−
x
x
2
2
2 0
m ;  
4) 
−
+
−
x
x
2
2
2 0
l .
12.6.° Решите неравенство:
1) x
2
 + 6x – 7 < 0; 
5) 3
7
4 0
2
x
x
−
+ m ;
2) x
x
2
2
48 0
−
−
l ;  
6) 2x
2
 + 3x + 1 > 0;
3) –x
2
 – 6x – 5 > 0; 
7) 4
12
0
2
x
x
−
m ;
4) –x
2
 + 4x – 3 < 0; 
8) 4x
2
 – 9 > 0;
0
y
1
1
–5
x
–2
–9
Рис. 12.4

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: