Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

97
10.  Как построить графики функций 
y
 = 
f 
(
x
) + 
b
 и 
y
 = 
f 
(
x
 + 
a
)
10.27.
••
 
Задайте  данную  функцию  формулой  вида  y = a (x – m)
2
 + n 
и постройте ее график, используя график функции y = ax
2
:
1) y = x
2
 – 2x – 8; 
2) y = –2x
2
 + 8x – 3.
10.28.
••
 Задайте данную функцию формулой вида  y
b
k
x a
=
+
+
 и по-
стройте ее график, используя график функции  y
k
x
= :
1)  y
x
x
=
+
3
8
;  
2)  y
x
x
=
+
+
2
14
3
;  
3)  y
x
x
=
−
−
2
1
.
10.29.
••
 
Задайте данную функцию формулой вида  y
b
k
x a
=
+
+
 и по-
стройте ее график, используя график функции  y
k
x
= :
1)  y
x
x
=
+
+
4
14
1
;  
2)  y
x
x
=
−
−
7
2
.
Упражнения Для пОвтОрения
10.30.
 Упростите выражение:
1) 
5
3
8
9
4
a
a
a
a
−
+
+
;  
3) 
8
5
5
2
7
2
2
2
a
b
ab
a
b
a b
+
−
−
;
2) 
5
6
5
5
a
b
ab
b
c
bc
−
−
+
;  
4) 
m
n
m n
m
n
m n
2
2
4 4
5 2
4
8
3
4
6
+
+
−
.
10.31. Сократите дробь:
1) 
9
81
+
−
m
m
;  
3) 
5
7
5
2 35
7
m
n
m
mn
n
+
+
+
;
2) 
27
45
18
30
+
+
;  
4) 
25
10
3
3
5
3
2
m
n
m
n
m
n
+
+
+
.
10.32. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше ее знаменателя. 
Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то значе-
ние дроби уменьшится на 
1
12
.  Найдите эту дробь.
10.33. Докажите, что при положительных значениях a и b выпол-
няется неравенство  a
b
a b ab
3
3
2
2
+
+
l
.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
98
  11.
  квадратичная функция, 
ее график и свойства
О п р е д е л е н и е.
  Функцию,  которую  можно  задать  формулой 
вида 
y = ax
2
 + 
bx + c, где x — независимая переменная, a, b и c — не-
которые числа, причем 
a ≠ 0, называют 
к в а д р а т и ч н о й
.
Квадратичная  функция  не  является  для  вас  новой.  Так,  
в 8 классе вы изучали ее частный случай, а именно функцию y = x
2
. 
Функциональная зависимость площади S круга от его радиуса r 
определяет квадратичную функцию  S r
r
( )
,
= π
2
 которая является 
функцией вида y = ax
2
. С этой функцией вы ознакомились в п. 9.
На уроках физики вы ознакомились с формулой  h
v t
gt
=
−
0
2
2
,  
которая задает зависимость высоты h тела, брошенного вертикаль-
но вверх с начальной скоростью v
0
, от времени движения t. Эта 
формула задает квадратичную функцию  h t
v t
gt
( )
.
=
−
0
2
2
 
Покажем, как можно получить график квадратичной функции 
y = ax
2
 + bx + c из графика функции y = ax
2
.
Вы уже строили графики функций вида y = ax
2
 + bx + c, выделяя 
квадрат  двучлена  (см.  пример  3  п.  10).  Используем  этот  прием 
в общем виде. Имеем:
ax
bx c a x
x
a x
x
b
a
c
a
b
a
b
a
b
a
c
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
+
+ =
+
+



 =
+
+
−
+



 =
æ
=
+



 +



 =
+



 +
−
−
a
x
a x
b
a
ac b
a
b
a
ac b
a
2
4
4
2
4
4
2
2
2
2
2
.
Введем  обозначения  x
b
a
0
2
= − ,   y
ac b
a
0
2
4
4
=
−
.
Тогда формулу y = ax
2
 + bx + c можно представить в виде
y = a (x – x
0
)
2
 + y
0
.
Следовательно, схема построения искомого графика такова:
y = ax
2
вправо  
или влево
на | x
0
 | ед.
y = a (x – x
0
)
2
вверх  
или вниз
на | y
0
 | ед.
y = a (x – x
0
)
2 
+ y
0

11.  Квадратичная функция,  ее график и свойства
99
x
x
0
y
0
y
y = ax
2
x
x
0
y
0
y
y = ax
2
Рис. 11.1
Рис. 11.2
На рисунке 11.1 показано построение для случая, когда a > 0, 
x
0
 > 0,  y
0
 < 0.  На  рисунке  11.2  показано  построение  для  случая, 
когда a < 0, x
0
 < 0, y
0
 > 0. 
Теперь  можно  сделать  такой  вывод:  графиком  квадратичной 
функции y = ax
2
 + bx + c является парабола, равная параболе y = ax
2
, 
с вершиной в точке (x
0
; y
0
), где  x
b
a
0
2
= − ,   y
ac b
a
0
2
4
4
=
−
.
Ветви параболы y = ax
2
 + bx + c направлены так же, как и ветви 
параболы y = ax
2
: если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, 
если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Общее  представление  о  графике  квадратичной  функции  дают 
координаты  вершины  параболы  и  направление  ее  ветвей.  Это 
представление будет тем полнее, чем больше точек, принадлежа-
щих  графику,  мы  будем  знать.  Поэтому  можно  строить  график 
квадратичной  функции,  не  используя  параллельных  переносов, 
по следующей схеме:
1) найти абсциссу вершины параболы по формуле  x
b
a
0
2
= − ;
2) найти ординату вершины параболы по формуле
1
  y
ac b
a
D
a
0
2
4
4
4
=
= −
−
,  
где D — дискриминант квадратного трехчлена ax
2
 + bx + c, и от-
метить на координатной плоскости вершину параболы;
1
   Формулу  y
D
a
0
4
= −
 запоминать необязательно. Достаточно вычислить 
значение функции y = ax
2
 + bx + c в точке с абсциссой  x
b
a
0
2
= −
.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
100
3) определить направление ветвей параболы;
4) найти координаты еще нескольких точек, принадлежащих 
искомому графику, в частности координаты точек пересечения 
параболы с осью абсцисс (если данная функция имеет нули), коор-
динаты точки пересечения параболы с осью ординат; отметить 
эти точки на координатной плоскости;
5) провести через все отмеченные точки плавную непрерывную 
линию.
Пример      
 Постройте график функции f (x) = x
2
 + 4x – 5. Пользуясь 
графиком функции, найдите область ее значений, промежутки воз-
растания и убывания, промежутки знакопостоянства, наименьшее 
и наибольшее значения функции.
Р е ш е н и е. Данная функция является квадратичной. Ее графи-
ком является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем  абсциссу  и  ординату  вершины  параболы.  Имеем: 
x
0
4
2
2
= − = − , ордината вершины y
0
 = f (x
0
) = f (–2) = –9.
Следовательно, вершина параболы — точка (–2; –9).
Найдем координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс. 
Для этого решим уравнение:
x
2
 + 4x – 5 = 0.
Отсюда x
1
 = –5, x
2
 = 1.
Следовательно,  парабола  пересекает  ось  абсцисс  в  точках  
(–5; 0) и (1; 0).
Найдем  точку  пересечения  парабо-
лы  с  осью  ординат.  Имеем:  f (0) = –5. 
Парабола пересекает ось ординат в точ-
ке (0; –5).
Отметим  найденные  четыре  точки 
параболы  на  координатной  плоскости 
(рис. 11.3).
Теперь видим, что целесообразно най-
ти значения данной функции в точках 
–1, –3, –4 и отметить соответствующие 
точки на координатной плоскости.
Имеем: 
f (–3) = f (–1) = –8; 
f (–4) = f (0) = –5.
Соединим  все  отмеченные  точки 
плавной непрерывной линией.
0
1 x
y
1
–5
–2
–5
–9
Рис. 11.3

11.  Квадратичная функция,  ее график и свойства
101
Искомый график изображен на рисунке 11.4.
0
1 x
y
1
–5
–2
–5
–9
Рис. 11.4
Областью значений функции является множество E f
( )
[ ;
).
= − +
9
×
Функция возрастает на промежутке  [ ;
)
− +
2
×
 и убывает на про-
межутке  (
;
].
−
−
×
2
Имеем: f (x) > 0 на каждом из промежутков  (
;
)
−
−
×
5  и  ( ;
);
1
+
×
 
f (x) < 0 на промежутке (–5; 1).
Наименьшее значение функции равно –9, наибольшего значения 
не существует. 
◄
1.  Какую функцию называют квадратичной?
2.  Какая фигура является графиком квадратичной функции?
3.  По  какой  формуле  можно  найти  абсциссу  вершины  параболы 
y
 =
= 
ax
2
 + 
bx
 + 
c
?
4. Каково направление ветвей параболы 
y
 = 
ax
2
 + 
bx
 + 
c
 в зависимости 
от значения 
a
?
5.  Опишите схему построения графика квадратичной функции.
Упражнения
11.1.°
 Какие из данных функций являются квадратичными:
1) y = 4x
2
 + 3x + 6; 
3)  y
x
x
=
−
+
1
2
3
2
2
;
2) y = 4x + 3; 
4) y = 6x
2
 – 5x?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: