§ 2. КВадратиЧНая фУНКция
116
7.
График какой функции изображен на рисунке?
А) y = x
2
– 1;
Б) y = x
2
+ 1;
В) y = (x – 1)
2
;
Г) y = (x + 1)
2
.
8. Укажите координаты вершины параболы y = 3 (x – 4)
2
– 5.
А) (4; 5);
В) (4; –5);
Б) (–4; 5);
Г) (–4; –5).
9. На рисунке изображен график
функции y = f (x), определенной на
множестве действительных чисел.
Пользуясь рисунком, укажите про-
межуток убывания функции.
А) [–4; 1];
В) [–2; 3];
Б) [–3; 3];
Г) [–3; 1].
10. Найдите абсциссу вершины пара-
болы y = 2x
2
– 12x + 3.
А) 6;
В) 3;
Б) –6;
Г) –3.
11. Вершина какой из парабол принадлежит оси абсцисс?
А) y = x
2
– 6;
В) y = (x – 6)
2
;
Б) y = x
2
– 6x;
Г) y = (x – 6)
2
+ 2.
12. На рисунке изображен график функции
y = –x
2
+ 2x + 4. Пользуясь рисунком, найди-
те область значений функции.
А) (
;
);
−
+
× ×
Б) (
; ];
−
×
1
В) [ ;
);
1
+
×
Г) (
; ].
−
×
5
13. На рисунке изображен график функции
y = x
2
+ 4x + 1. Пользуясь рисунком, ука-
жите промежуток возрастания функции.
А) (
;
];
−
−
×
2
Б) [ ;
);
− +
2
×
В) [ ;
);
− +
3
×
Г) определить невозможно.
0
–1
x
y
1
1
x
y
1
1
–4
–1 0
2 3
5
–3
y
4
5
1
1
0
x
y
x
1
–3
–2
1
0
117
Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме
14. Найдите нули функции y = 2x
2
+ x – 6.
А) –1,5; –2;
В) –1,5; 2;
Б) 1,5; 2;
Г) 1,5; –2.
15.
При каких значениях b и c вершина параболы y = x
2
+ bx + c на-
ходится в точке M (3; 8)?
А) b = 6, c = –19;
В) b = –3, c = 8;
Б) b = –6, c = 17;
Г) определить невозможно.
16. На рисунке изображен график квадратичной
функции y = ax
2
+ bx + c. Укажите верное утверж-
дение, если D — дискриминант квадратного
трехчлена ax
2
+ bx + c.
А) b > 0, D > 0;
В) b < 0, D < 0;
Б) b > 0, D < 0;
Г) b > 0, D = 0.
17. При каком значении a наименьшее значение функции y =
= 3x
2
– 6x + a равно 4?
А) –5;
В) 7;
Б) 4;
Г) 8.
18. Известно, что m – n = 8. Найдите множество значений выраже-
ния mn.
А) [
;
);
−
+
16
×
В) (
;
);
−
+
× ×
Б) [ ;
);
8
+
×
Г) определить невозможно.
y
x
0
§ 2. КВадратиЧНая фУНКция
118
12.
решение квадратных неравенств
На рисунке 12.1 изображен график некоторой функции y = f (x),
областью определения которой является множество действительных
чисел.
С помощью этого графика легко определить промежутки знако-
постоянства функции f, а именно: y > 0 на каждом из промежутков
(–5; –2) и ( ;
);
1
+
×
y < 0 на каждом из
промежутков (
;
)
−
−
×
5 и (–2; 1).
Определив промежутки знакопо-
стоянства функции f, мы тем самым
решили неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.
Промежутки (–5; –2) и ( ;
)
1
+
×
вме-
сте составляют множество решений
неравенства f (x) > 0. В таких случаях
говорят, что множество решений не-
равенства f (x) > 0 является объедине-
нием указанных промежутков. Объединение промежутков записы-
вают с помощью специального символа Ÿ.
Тогда множество решений неравенства f (x) > 0 можно записать так:
(
;
) ( ;
).
− −
+
5 2
1
Ÿ
×
Множество решений неравенства f (x) < 0 можно записать так:
(
;
) ( ; ).
−
−
−
×
Ÿ
5
2 1
Такой метод решения неравенств f (x) > 0 и f (x) < 0 с помощью
графика функции y = f (x) называют графическим.
Покажем, как с помощью этого метода решают квадратные не-
равенства.
О п р е д е л е н и е.
Неравенства вида
ax
2
+
bx + c > 0, ax
2
+
bx + c < 0,
ax
bx c
2
0
+
+ l , ax
bx c
2
0
+
+ m , где x — переменная, a, b и c — не-
которые числа, причем
a ≠ 0, называют
к в а д р а т н ы м и
.
Выясним, как определить положение графика квадратичной
функции y = ax
2
+ bx + c относительно оси абсцисс.
Наличие и количество нулей квадратичной функции y = ax
2
+ bx + c
определяют с помощью дискриминанта D квадратного трехчлена
ax
2
+ bx + c: если D > 0, то нулей у функции два; если D = 0, то функ-
ция имеет один нуль; если D < 0, то нулей нет.
Знак старшего коэффициента квадратного трехчлена ax
2
+ bx + c
определяет направление ветвей параболы y = ax
2
+ bx + c. При a > 0
ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
0
1
y
x
–2
–5
Рис. 12.1
12. решение квадратных неравенств
119
Схематическое расположение параболы y = ax
2
+ bx + c относитель-
но оси абсцисс в зависимости от знаков чисел a и D отображено в таб-
лице (x
1
и x
2
— нули функции, x
0
— абсцисса вершины параболы).
D > 0
D = 0
D < 0
a > 0
x
1
x
2
x
1
x
0
x
2
x
3
a < 0
x
1
x
2
x
4
x
0
x
5
x
6
Разъясним, как использовать эту таблицу для решения ква-
дратных неравенств.
Пусть, например, надо решить неравенство ax
2
+ bx + c > 0, где
a < 0 и D > 0. Этим условиям соответствует ячейка 4 таблицы.
Тогда ясно, что ответом будет промежуток (x
1
; x
2
), на котором гра-
фик соответствующей квадратичной функции расположен над осью
абсцисс.
П р и м е р 1
Решите неравенство 2x
2
– x – 1 > 0.
Р е ш е н и е. Для квадратного трехчлена 2x
2
– x – 1 имеем: a = 2 > 0,
D = 9 > 0. Этим условиям соответствует ячейка 1
таблицы. Решим
уравнение 2x
2
– x – 1 = 0. Получим x
1
1
2
= − , x
2
= 1. Тогда схематически
график функции y = 2x
2
– x – 1 можно изобразить так, как показано
на рисунке 12.2.
Из рисунка 12.2 видно, что соответствую-
щая квадратичная функция принимает по-
ложительные значения на каждом из про-
межутков
−
−
×
;
1
2
и ( ;
).
1
+
×
О т в е т:
−
−
+
×
×
Ÿ
;
( ;
).
1
2
1
◄
1
–
x
2
1
Рис. 12.2
§ 2. КВадратиЧНая фУНКция
120
П р и м е р 2
Решите неравенство –9x
2
+ 6x – 1 < 0.
Р е ш е н и е. Имеем: a = –9, D = 0. Этим условиям соответствует
ячейка
5
таблицы. Устанавливаем, что x
0
1
3
= . Тогда схематиче-
ски график функции y = –9x
2
+ 6x – 1 можно изобразить так, как
показано на рисунке 12.3.
Из рисунка 12.3 видно, что решениями не-
равенства являются все числа, кроме
1
3
.
Заметим, что это неравенство можно ре-
шить другим способом. Перепишем данное не-
равенство так: 9x
2
– 6x + 1 > 0. Тогда (3x – 1)
2
> 0.
Отсюда получаем тот же результат.
О т в е т:
−
+
×
×
Ÿ
;
;
.
1
3
1
3
◄
П р и м е р 3
Решите неравенство 3x
2
– x + 1 < 0.
Р е ш е н и е. Имеем: a = 3 > 0, D = –11 < 0. Этим условиям соответ-
ствует ячейка
3
таблицы. В этом случае график функции
y = 3x
2
– x + 1 не имеет точек с отрицательными ординатами.
О т в е т: решений нет.
◄
П р и м е р 4
Решите неравенство 0 2
2
5 0
2
,
.
x
x
+
+ m
Р е ш е н и е. Поскольку a = 0,2, D = 0, то данному случаю соответ-
ствует ячейка 2 таблицы, причем x
0
= –5. Но в этом случае ква-
дратичная функция принимает только неотрицательные значения.
Следовательно, данное неравенство имеет единственное решение
x = –5.
О т в е т: –5.
◄
1. с помощью какого символа записывают объединение промежутков?
2. Какие неравенства называют квадратными?
3. Какие возможны случаи расположения параболы
y
=
ax
2
+
bx
+
c
от-
носительно оси абсцисс в зависимости от знаков
a
и
D
, где
D
— дис-
криминант квадратного трехчлена
ax
2
+
bx
+
c
? изобразите схемати-
чески эти случаи.
x
3
1
Рис. 12.3
12. решение квадратных неравенств
121
Упражнения
12.1.°
Какие из чисел –2; 0; 1 являются решениями неравенства:
1) x
2
– x – 2 < 0;
2) x
x
2
0
+ l ;
3) –3x
2
– x + 2 > 0?
12.2.° На рисунке 12.4 изображен график функ-
ции y = x
2
+ 4x – 5. Найдите множество реше-
ний неравенства:
1) x
2
+ 4x – 5 < 0;
3) x
2
+ 4x – 5 > 0;
2) x
x
2
4
5 0
+
− m ;
4) x
x
2
4
5 0
+
− l .
12.3.° На рисунке 12.5 изображен график функ-
ции y = –3x
2
– 6x. Найдите множество решений
неравенства:
1) –3x
2
– 6x < 0;
3) –3x
2
– 6x > 0;
2)
−
−
3
6
0
2
x
x m ;
4)
−
−
3
6
0
2
x
x l .
0
1
3
–2
x
y
1
0
1
x
y
1
0
1
x
y
1
Рис. 12.5
Рис. 12.6
Рис. 12.7
12.4.° На рисунке 12.6 изображен график функции y = x
2
– 4x + 4.
Найдите множество решений неравенства:
1) x
2
– 4x + 4 < 0;
3) x
2
– 4x + 4 > 0;
2) x
x
2
4
4 0
−
+ m ;
4) x
x
2
4
4 0
−
+ l .
12.5.° На рисунке 12.7 изображен график функции y = –x
2
+ 2x – 2.
Найдите множество решений неравенства:
1) –x
2
+ 2x – 2 < 0;
3) –x
2
+ 2x – 2 > 0;
2)
−
+
−
x
x
2
2
2 0
m ;
4)
−
+
−
x
x
2
2
2 0
l .
12.6.° Решите неравенство:
1) x
2
+ 6x – 7 < 0;
5) 3
7
4 0
2
x
x
−
+ m ;
2) x
x
2
2
48 0
−
−
l ;
6) 2x
2
+ 3x + 1 > 0;
3) –x
2
– 6x – 5 > 0;
7) 4
12
0
2
x
x
−
m ;
4) –x
2
+ 4x – 3 < 0;
8) 4x
2
– 9 > 0;
0
y
1
1
–5
x
–2
–9
Рис. 12.4
|