§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти 186

187
19.  сумма 
n
 первых членов геометрической прогрессии
П р и м е р        
 При любом натуральном n сумма n первых членов 
геометрической прогрессии вычисляется по формуле S
n
 = 10 (2
n
 – 1). 
Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
Р е ш е н и е. Пусть b
1
 — первый член данной прогрессии, q — ее 
знаменатель.  Тогда  b
1
 = S
1
 = 10 (2 – 1) = 10;  b
1
 + b
2
 = S
2
 = 10 (2
2
 – 1) = 30. 
Отсюда b
2
 = 30 – b
1
 = 20;  q
b
b
=
=
2
1
2.
О т в е т: b
1
 = 10, q = 2. 
◄
1.  Как найти сумму 
n
 первых членов геометрической прогрессии со зна-
менателем, отличным от единицы?
2.  Чему равна сумма 
n
 первых членов геометрической прогрессии, зна-
менатель которой равен единице?
Упражнения
19.1.°
  Найдите  сумму  n  первых  членов  геометрической  прогрес-
сии (b
n
) со знаменателем q, если:
1) b
1
 = 10, q = 3, n = 4; 
4) b
1
 = 4,5,  q
=
1
3
,  n = 8;
2) b
1
 = –4, q = –1, n = 10; 
5) b
1
 = –9,  q
= 3,  n = 6;
3) b
1
 = 0,6, q = 2, n = 5; 
6) b
1
 = 8,  q
= −
1
2
,  n = 4.
19.2.°
  Найдите  сумму  n  первых  членов  геометрической  прогрес-
сии (b
n
) со знаменателем q, если:
1) b
1
 = 1, q = 2, n = 9; 
3) b
1
 = 18,  q
= −
1
3
,  n = 5;
2) b
1
 = 15,  q
=
2
3
,  n = 3; 
4) b
1
 = 4,  q
= − 2,  n = 4.
19.3.°  Найдите  сумму  пяти  первых  членов  геометрической  про-
грессии:
1) 12, 72, 432, ...; 
2) 
1
16
,  
−
1
8
,  
1
4
,  ... .
19.4.°
 Найдите сумму четырех первых членов геометрической про-
грессии:
1) –0,6; 3; –15; ...; 
2) 56; 42; 31,5; ... .

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
188
19.5.
•
  Найдите  сумму  шести  первых  членов  геометрической  про-
грессии (c
n
), если:
1) c
4
 = 216, а знаменатель прогрессии q = –3;
2)  c
1
5 5
=
,   c
5
125 5
=
,  а знаменатель прогрессии q > 0.
19.6.
•
 Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрес-
сии (x
n
), если x
3 
= 24, x
8
 = 768.
19.7.
•
 Геометрическая прогрессия (b
n
) задана формулой n-го члена 
b
n
n
=
−
10 3
1
æ
.  Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
19.8.
•
 Геометрическая прогрессия (y
n
) задана формулой n-го члена 
y
n
n
=
−
+
(
)
.
2
20
1
 Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.
19.9.
•
 Знаменатель геометрической прогрессии равен 
2
3
,  а сумма 
четырех  первых  членов  равна  65.  Найдите  первый  член  про-
грессии.
19.10.
•
 Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 
516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.
19.11.
•
 Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 
605.  Найдите  количество  членов  прогрессии,  если  ее  первый 
член b
1
 = 5, а знаменатель прогрессии q = 3.
19.12.
•
 Бактерия, попав в благоприятную среду, в конце двадцатой 
минуты делится на две бактерии, каждая из которых в конце 
следующих 20 мин делится снова на две и т. д. Сколько бактерий 
получится из одной бактерии в течение суток?
19.13.
•
 При любом n сумма первых n членов геометрической про-
грессии S
n
 = 4 (3
n
 – 1). Найдите третий член этой прогрессии.
19.14.
•
 При любом n сумма первых n членов геометрической про-
грессии  S
n
n
=
−



 −




6
1
1
2
.   Найдите  четвертый  член  этой  про-
грессии.
19.15.
••
 Найдите сумму квадратов шести первых членов геометри-
ческой прогрессии, первый член которой равен  2 3,  а знаме-
натель равен  3.
19.16.
••
 
Найдите сумму кубов четырех первых членов геометриче-
ской прогрессии (b
n
), если b
1
 = 3 и b
2
 = –6.
19.17.
••
 Докажите тождество 
a
n
 – 1 = (a – 1) (a
n – 1
 + a
n – 2
 + ... + a + 1).

189
19.  сумма 
n
 первых членов геометрической прогрессии
19.18.
••
 
Докажите тождество 
a
2n + 1
 + 1 = (a + 1) (a
2n
 – a
2n – 1
 + ... + a
2
 – a + 1).
19.19.
*
 Найдите количество членов конечной геометрической про-
грессии,  знаменатель  которой  q = 3,  последний  член  c
n
 = 162, 
а сумма всех членов S
n
 = 242.
Упражнения Для пОвтОрения
19.20. Решите систему неравенств:
1) 
(
) (
) (
) (
)
,
(
)
(
);
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+ +
−
−



2
6
2
1
4
2 6
1
7 2
4
m
l
     
2) 
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
− >
−




1
2
2
3
3
4
1
0 5
5
l
,
,
.
19.21. Найдите промежуток возрастания функции:
1) f (x) = 0,5x
2
 – 3x + 4; 
2) f (x) = –3x
2
 – 2x + 4.
19.22. Постройте график функции:
1)  y
x
= − +
6
3;  
3)  y
x
= −
+
+
6
3
3.
2)  y
x
= −
+
6
3
;  
19.23. В первый день двое рабочих изготовили 90 деталей. Во вто-
рой день первый рабочий изготовил деталей на 10 % больше, 
а второй — на 15 % больше, чем в первый день. Всего во второй 
день  они  изготовили  101  деталь.  Сколько  деталей  изготовил 
каждый из них в первый день?
19.24. Упростите выражение:
1)  (
)
,
a b
a
−
+
2
2
16
 если a < 0 и b > 0;
2)  (
)
,
x y
y
−
−
2
2
9
 если x > 0 и y < 0.
19.25. Костюм стоил 600 грн. После того как цену снизили в два 
раза, он стал стоить 432 грн, причем процент снижения во второй 
раз был в 2 раза больше, чем в первый. На сколько процентов 
каждый раз снижалась цена?
19.26. Некоторый товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили 
на несколько процентов, а потом снизили на столько же про-
центов, после чего его стоимость составила 192 грн. На сколько 
процентов каждый раз происходило изменение цены товара?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: