§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти 190

191
суммирование
Отсюда
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
+



 +
+



 +
+



 +
+
+



 =
...
n
n
= + + +
+
+
+
+
+
+



 =
+ −
+
(
...
)
...
.
(
)
1 2 3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
n
n
n
n n
Следовательно, 
2
1
2
1
2
1
2
1
1
k
k
k
n
n
k
n n
æ
+
+
=
∑
=
+ −
(
)
.  
◄
П р и м е р    2   
 Найдите сумму 7 77 777
77
7
+
+
+
+
...
... .
n

 

Р е ш е н и е. Поскольку 77
7 7 11
1
...
... ,
n
n

 


=
æ
 то для решения задачи 
достаточно найти сумму  S
n
n
= +
+
+
+
1 11 111
11
1
...
...
  и полученный 
результат умножить на 7.
Имеем: 
S
n
n
=
+
+
+
+
=
−
−
−
−
10 1
9
10
1
9
10
1
9
10
1
9
2
3
...
=
+
+
+
−
+ +
+ =
1
9
1
9
10 10
10
1 1
1
2
(
...
)
(
...
)
n
n





=
− =
−
−
−
−
1
9
10 10
1
10 1
9
10 10
1
81
9
æ
(
)
(
)
.
n
n
n
n
Искомая сумма равна 
70 10
1
81
7
9
(
)
.
n
n
−
−
 
◄
Если для данной последовательности (a
n
) удается найти такую 
последовательность (b
n
), что a
n
 = b
n + 1
 – b
n
, тогда сумму 
a
k
k
n
=
∑
1
 найти 
легко.  Действительно,  a
1
 + a
2
 + ... + a
n
 = (b
2
 – b
1
) + (b
3
 – b
2
) + (b
4
 – b
3
) + ... + 
+ (b
n + 1
 – b
n
) = b
n + 1
 – b
1
.
П р и м е р    3   
 Найдите сумму 1 1
2 2
3 3
æ
æ
æ
æ
!
!
! ...
!.
+
+
+
+ n n
Р е ш е н и е. Имеем: 
n n
n
n
æ
! (
)!
!.
=
+
−
1
Теперь можно записать:
k k
n
n
n
k
n
æ
! ( !
!) ( !
!) ( !
!) ... ((
)!
!)
(
)!
=
∑
=
−
+
−
+
−
+
+
+
−
=
+
−
1
2
1
3
2
4
3
1
1
1..
◄

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
192
П р и м е р   4  
 Докажите, что если последовательность (a
n
) — ариф-
метическая прогрессия с ненулевыми членами, то
1
1
1
1 2
2 3
1
1
1
a a
a a
a a
n
a a
n n
n
+
+
+
=
+
+
...
.
Р е ш е н и е. Имеем: 
1
1
1
1
1
1
a a
a
a
d
n n
n
n
+
+
=
−




æ
,  где d — разность про-
грессии. Тогда
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2 3
1
1
2
2
3
a a
a a
a a
a
a
d
a
a
d
n n
+
+ +
=
−




+
−




+
+
...
æ
æ
....
+
−




=
+
1
1
1
1
a
a
d
n
n
æ
=
−
+
−
+
+
−




=
−




=
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
1
d a
a
a
a
a
a
d a
a
n
n
n
...
=
=
=
+
+
+
+
−
+
−
a
a
da a
a
dn a
da a
n
a a
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
æ
æ
.  
◄
П р и м е р    5   
 Найдите сумму 
5
1 2
13
2 3
25
3 4
2
2
1
1
2
æ
æ
æ
+
+
+
+
+
+
+
...
.
(
)
n
n
n n
Р е ш е н и е. Имеем: 
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n n
n n
n n
n n
n
n
+
+
+
+ +
+
+
+
=
= +
= + −
(
)
(
)
(
)
(
)
.
Тогда можно записать:
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
2
1
2
2
2
k
k
k k
k
n
+
+
+
=
∑
=
+ −





 +
+ −





 +
+ −



(
)


 +
+
+ −





 =
+
...
2
1
1
1
n
n
=
+ −
=
+
+
+
2
1
1
1
2
3
1
n
n
n n
n
(
)
.  
◄
Упражнения
1. Найдите сумму 
5
1
5
1
k
k
k
n
k
æ
−
=
∑
.
2. Найдите сумму 
3
3
1
3
1
2
1
k
k
k
k
n
k
k
+
=
+
+
∑
æ
æ
.
3. Найдите сумму:
1)  9 99 999
99
9
+
+
+
+
...
... ;
n

 
  
2)  5 55 555
55
5
+
+
+
+
...
... .
n

 


193
суммирование
4. Докажите, что если последовательность (a
n
) — арифметическая 
прогрессия с положительными членами, то
1
1
1
1
2
2
3
1
1
1
a
a
a
a
a
a
n
a
a
n
n
n
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
...
.
5. Найдите сумму:
1) 
1
1 5
1
5 9
1
9 13
1
4
7 4
3
æ
æ
æ
+
+
+
+
−
−
...
;
(
) (
)
n
n
2) 
3
1 2
7
2 3
13
3 4
1
1
2
æ
æ
æ
+
+
+
+
+ +
+
...
;
(
)
n
n
n n
3) 
1
2
2
3
3
4
1
!
!
!
(
)!
...
;
+
+
+
+
+
n
n
4) 
3
4
5
36
7
144
2
1
1
2
2
+
+
+
+
+
+
...
.
(
)
n
n n
6. Найдите сумму:
1) 
1
2 7
1
7 12
1
12 17
1
5
3 5
2
æ
æ
æ
+
+
+
+
−
+
...
;
(
) (
)
n
n
2) 
3
1 2
13
2 3
37
3 4
1
1
3
2
æ
æ
æ
+
+
+
+
+
+
+
...
.
(
)
n
n
n n
7. Найдите сумму 
1
1
1
2
1
(
)
.
k
k
n
+
−
=
∑
8. Найдите сумму 
1
1 2 3
1
2 3 4
1
1
2
æ æ
æ æ
+
+
+
+
+
...
.
(
) (
)
n n
n
9.
*
 Найдите сумму  S
a
a
a
n a
n
n
= +
+
+
+
+
−
1 2
3
4
2
3
1
...
,
æ
 где a ≠ 1.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: