§ 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти
186
Найдем разность 2S
64
– S
64
:
–
2S
64
=
2 +
2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
+ 2
64
S
64
=
1 + 2 +
2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
2S
64
– S
64
= –1 + 0 +
0 + 0 + ... + 0
+ 2
64
Отсюда S
64
= 2
64
– 1.
У вас может возникнуть естественный вопрос: почему в качестве
примера мы выбрали именно прогрессию 1, 2, 2
2
, ..., 2
62
, 2
63
?
С этой последовательностью связана старинная легенда. Индий-
ский мудрец, придумавший шахматную игру, попросил у раджи
за свое изобретение скромное на первый взгляд вознаграждение:
за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зернышко, за
вторую — 2, за третью — 4 и т. д.: за каждую следующую клетку
вдвое больше зерен, чем за предыдущую.
Понятно, что общее количество зерен, которое попросил изо-
бретатель, равно S
64
= 2
64
– 1.
Богатый раджа был потрясен, когда узнал, что он не в состоя-
нии удовлетворить «скромное» желание мудреца. Дело в том, что
значение выражения 2
64
– 1 равно 18 446 744 073 709 551 615.
Чтобы осознать, насколько велико это число, представим, что
зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Тогда его высота была бы
больше расстояния от Земли до Солнца.
Воспользуемся описанным приемом для нахождения суммы (*).
Перепишем равенство (*) так:
S
n
= b
1
+ b
1
q + b
1
q
2
+ b
1
q
3
+ ... + b
1
q
n – 2
+ b
1
q
n – 1
.
Умножим обе части этого равенства на q:
S
n
q = b
1
q + b
1
q
2
+ b
1
q
3
+ b
1
q
4
+ ... + b
1
q
n – 1
+ b
1
q
n
.
Найдем разность S
n
q – S
n
:
–
S
n
q =
b
1
q + b
1
q
2
+ b
1
q
3
+ ... + b
1
q
n – 1
+ b
1
q
n
S
n
=
b
1
+ b
1
q + b
1
q
2
+ b
1
q
3
+ ... + b
1
q
n – 1
S
n
q – S
n
= –b
1
+ 0 + 0 + 0 + ... +
0
+ b
1
q
n
Следовательно, S
n
q – S
n
= b
1
q
n
– b
1
. Отсюда S
n
(q – 1) = b
1
(q
n
– 1).
При q ≠ 1 получаем:
S
n
n
b q
q
=
−
−
1
1
1
(
)
Это равенство называют формулой суммы
n первых членов гео-
метрической прогрессии со знаменателем, отличным от 1.
Если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену. Тогда
S
n
= nb
1
.
187
19. сумма
n
первых членов геометрической прогрессии
П р и м е р
При любом натуральном n сумма n первых членов
геометрической прогрессии вычисляется по формуле S
n
= 10 (2
n
– 1).
Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
Р е ш е н и е. Пусть b
1
— первый член данной прогрессии, q — ее
знаменатель. Тогда b
1
= S
1
= 10 (2 – 1) = 10; b
1
+ b
2
= S
2
= 10 (2
2
– 1) = 30.
Отсюда b
2
= 30 – b
1
= 20; q
b
b
=
=
2
1
2.
О т в е т: b
1
= 10, q = 2.
◄
1. Как найти сумму
n
первых членов геометрической прогрессии со зна-
менателем, отличным от единицы?
2. Чему равна сумма
n
первых членов геометрической прогрессии, зна-
менатель которой равен единице?
Упражнения
19.1.°
Найдите сумму n первых членов геометрической прогрес-
сии (b
n
) со знаменателем q, если:
1) b
1
= 10, q = 3, n = 4;
4) b
1
= 4,5, q
=
1
3
, n = 8;
2) b
1
= –4, q = –1, n = 10;
5) b
1
= –9, q
= 3, n = 6;
3) b
1
= 0,6, q = 2, n = 5;
6) b
1
= 8, q
= −
1
2
, n = 4.
19.2.°
Найдите сумму n первых членов геометрической прогрес-
сии (b
n
) со знаменателем q, если:
1) b
1
= 1, q = 2, n = 9;
3) b
1
= 18, q
= −
1
3
, n = 5;
2) b
1
= 15, q
=
2
3
, n = 3;
4) b
1
= 4, q
= − 2, n = 4.
19.3.° Найдите сумму пяти первых членов геометрической про-
грессии:
1) 12, 72, 432, ...;
2)
1
16
,
−
1
8
,
1
4
, ... .
19.4.°
Найдите сумму четырех первых членов геометрической про-
грессии:
1) –0,6; 3; –15; ...;
2) 56; 42; 31,5; ... .
§ 3. ЧислОВые ПОследОВательНОсти
188
19.5.
•
Найдите сумму шести первых членов геометрической про-
грессии (c
n
), если:
1) c
4
= 216, а знаменатель прогрессии q = –3;
2) c
1
5 5
=
, c
5
125 5
=
, а знаменатель прогрессии q > 0.
19.6.
•
Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрес-
сии (x
n
), если x
3
= 24, x
8
= 768.
19.7.
•
Геометрическая прогрессия (b
n
) задана формулой n-го члена
b
n
n
=
−
10 3
1
æ
. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
19.8.
•
Геометрическая прогрессия (y
n
) задана формулой n-го члена
y
n
n
=
−
+
(
)
.
2
20
1
Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.
19.9.
•
Знаменатель геометрической прогрессии равен
2
3
, а сумма
четырех первых членов равна 65. Найдите первый член про-
грессии.
19.10.
•
Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна
516, а первый член равен 12. Найдите знаменатель прогрессии.
19.11.
•
Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна
605. Найдите количество членов прогрессии, если ее первый
член b
1
= 5, а знаменатель прогрессии q = 3.
19.12.
•
Бактерия, попав в благоприятную среду, в конце двадцатой
минуты делится на две бактерии, каждая из которых в конце
следующих 20 мин делится снова на две и т. д. Сколько бактерий
получится из одной бактерии в течение суток?
19.13.
•
При любом n сумма первых n членов геометрической про-
грессии S
n
= 4 (3
n
– 1). Найдите третий член этой прогрессии.
19.14.
•
При любом n сумма первых n членов геометрической про-
грессии S
n
n
=
−
−
6
1
1
2
. Найдите четвертый член этой про-
грессии.
19.15.
••
Найдите сумму квадратов шести первых членов геометри-
ческой прогрессии, первый член которой равен 2 3, а знаме-
натель равен 3.
19.16.
••
Найдите сумму кубов четырех первых членов геометриче-
ской прогрессии (b
n
), если b
1
= 3 и b
2
= –6.
19.17.
••
Докажите тождество
a
n
– 1 = (a – 1) (a
n – 1
+ a
n – 2
+ ... + a + 1).
189
19. сумма
n
первых членов геометрической прогрессии
19.18.
••
Докажите тождество
a
2n + 1
+ 1 = (a + 1) (a
2n
– a
2n – 1
+ ... + a
2
– a + 1).
19.19.
*
Найдите количество членов конечной геометрической про-
грессии, знаменатель которой q = 3, последний член c
n
= 162,
а сумма всех членов S
n
= 242.
Упражнения Для пОвтОрения
19.20. Решите систему неравенств:
1)
(
) (
) (
) (
)
,
(
)
(
);
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+ +
−
−
2
6
2
1
4
2 6
1
7 2
4
m
l
2)
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
− >
−
1
2
2
3
3
4
1
0 5
5
l
,
,
.
19.21. Найдите промежуток возрастания функции:
1) f (x) = 0,5x
2
– 3x + 4;
2) f (x) = –3x
2
– 2x + 4.
19.22. Постройте график функции:
1) y
x
= − +
6
3;
3) y
x
= −
+
+
6
3
3.
2) y
x
= −
+
6
3
;
19.23. В первый день двое рабочих изготовили 90 деталей. Во вто-
рой день первый рабочий изготовил деталей на 10 % больше,
а второй — на 15 % больше, чем в первый день. Всего во второй
день они изготовили 101 деталь. Сколько деталей изготовил
каждый из них в первый день?
19.24. Упростите выражение:
1) (
)
,
a b
a
−
+
2
2
16
если a < 0 и b > 0;
2) (
)
,
x y
y
−
−
2
2
9
если x > 0 и y < 0.
19.25. Костюм стоил 600 грн. После того как цену снизили в два
раза, он стал стоить 432 грн, причем процент снижения во второй
раз был в 2 раза больше, чем в первый. На сколько процентов
каждый раз снижалась цена?
19.26. Некоторый товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили
на несколько процентов, а потом снизили на столько же про-
центов, после чего его стоимость составила 192 грн. На сколько
процентов каждый раз происходило изменение цены товара?
|