БІР ДЕРБЕС ШЕШІМІ БЕЛГІЛІ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫ БІРТЕКТІ

72  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 
Қалыпты түрде берілген коэффициенттері айнымалы екінші ретті сызықты біртекті 
дифференциалдық теңдеуді қарастырайық 
                                                          
 
 
0
'
'
'



y
x
q
y
x
p
y
.                                               (1) 
 
Мұндағы 
 
x
p
  және 
 
x
q
  коэффициенттері 
 
b
a,
  интервалында  берілген  үзіліссіз 
функциялар.  Мұндай  теңдеулердің  жалпы  шешімін  құру  үшін,  алдымен  ӛзара  сызықты 
тәуелсіз, яғни іргелі шешімдер жүйесін құрайтын, екі дербес шешімі анықталуға тиісті [1].  
Егер  (1)  түрдегі  теңдеудің  қандай  да  бір  дербес  шешімі  белгілі  болса,  онда  оған 
сызықты  тәуелсіз  болып  табылатын  екінші  дербес  шешімін  табудың  бірнеше  айла  – 
тәсілдері бар [2,3,4]. Cоған қарамастан, біз бұл мақалада әдістемелік тұрғыда студенттер 
қауымына қонымды болады деген оймен,  екінші дербес шешімді оңай анықтаудың тағы 
екі тәсілін кӛрсетеміз.  
Сонымен (1) теңдеудің бір дербес шешімі, яғни 
 
x
y
y
1
1

 функциясы белгілі делік. 
Бұл дербес шешімге сызықты тәуелсіз екінші дербес шешім 
 
x
y
y
2
2

, келесі шартты  
 
                                                      
 
   
x
y
x
x
y
1
2


                                                          (2) 
 
қанағаттандыруға  тиісті.  Мұндағы 
 
x

  коэффициенті    әзірге  белгісіз  функция. 
Екінші дербес шешімнің туындылары:  
 
                                        
;
'
'
1
1
'
2
y
y
y




  
''
1
'
1
1
''
2
'
2
''
y
y
y
y






                          (3) 
 
Туындылардың  ӛрнектерін    (1)  теңдеуге  қойсақ, 

-ға  байланысты  квадратурада 
шешілетін  екінші  ретті  дифференциалдық  теңдеуге  келеміз.  Сол  теңдеуді  екі  рет 
интегралдау арқылы 
 
x

 функциясын анықтаймыз. 
 
0
'
'
2
''
1
'
1
1
''
1
'
1
1






y
q
y
p
y
p
y
y
y






    

    


0
'
2
''
1
'
1
1





py
y
y
 
 
dx
y
py
y
d
1
1
'
1
2
'
'





  

   




dx
y
py
y
e
C
1
1
'
1
2
1
'

   

    
2
2
1
1
1
'
1
'
C
dx
e
C
dx
y
py
y







. 
Интегралдау тұрақтыларын  
1
1

C
;    
0
2

C
 деп қабылдасақ, алатынымыз:  
                                                            
 
.
1
1
'
1
2
dx
e
x
dx
y
py
y






                                            (4) 
 
Ендеше, (2) шартты қанағаттандыратын сызықты тәуелсіз екінші дербес шешім:  
                                                 
 
 
.
1
1
'
1
2
1
2
dx
e
x
y
x
y
dx
y
py
y





                                             (5) 
 
1  -  мысал.  Бір  дербес  шешімі 
x
e
y

1
  белгілі,  қарапайым 
0
'
2
''



y
y
y
  теңдеуінің 
сызықты тәуелсіз екінші дербес шешімін анықтау. 
Шешуі.  (5)  формула бойынша  
 
 


.
2
2
2
1
2
1
1
'
1
x
x
dx
x
dx
y
py
y
xe
dx
e
dx
e
e
dx
e
x
y
x
y













 
 
Тексеру:      






.
2
1
;
1
''
2
'
2
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
y
e
x
xe
e
y









 
 

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
 
 73
 






,
0
0
2
2
2
1
2
2











x
x
x
x
e
x
x
x
xe
e
x
e
x
 
демек, белгілі дербес  шешімге сызықты тәуелсіз болып табылатын екінші  дербес шешім 
дұрыс анықталған.  
Практикада  жиі  кездесетін,  екінші  ретті  туындының  коэффициенті  де  айнымалы 
шама  болып  келетін,  жалпы  түрде  берілген  екінші  ретті  сызықты  біртекті 
дифференциалдық  теңдеуді  қарастырып,  оның  да  бір  дербес  шешімі  белгілі  болған 
жағдайда,  оған  сызықты  тәуелсіз  екінші  дербес  шешімін  жоғарыда  кӛрсетілген  тәсілді 
қолданып анықтауға болатынын кӛрсетейік.  
 
                                           
 
 
 
0
'
''
2
1
0



y
x
a
y
x
a
y
x
a
,                                                 (6) 
мұндағы  коэффициенттер  де 
 
b
a,
  интервалында  берілген,  нӛлге  тең  емес  үзіліссіз 
функциялар. 
  Теңдеуді  
 
x
a
0
 коэффициентіне бӛлу арқылы қалыпты (1) түрге келтіреміз 
                                            
 
 
 
 
0
'
''
0
2
0
1



y
x
a
x
a
y
x
a
x
a
y
.                                                       (7) 
 
Бұл теңдеудегі 
 
 
 
x
p
x
a
x
a

0
1
,  
 
 
 
x
q
y
x
a
x
a

0
2
. Олай болса (5) формуладан шығатыны: 
                        
 
 
       
   
.
1
0
1
1
0
'
1
2
1
2
dx
e
x
y
x
y
dx
x
y
x
a
x
y
x
a
x
a
x
y





                                          (8) 
 
2  –  мысал.  Жалпы  түрде  берілген,  бір  дербес  шешімі 
 
1
2
1


x
x
y
  белгілі,  келесі 
теңдеудің   



 

0
1
2
'
1
2
''
1
2
2
2
2
4







y
x
y
x
x
y
x
x
 
 
сызықты тәуелсіз екінші дербес шешімін анықтау керек. 
  Шешуі. Бірінші дербес шешімнің туындысы: 
1
2
'
1


x
x
y
 
(8) формула бойынша: 
 
 
       
   
   
 


















dx
e
x
dx
e
x
y
x
y
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
x
y
x
a
x
y
x
a
x
a
x
y
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
1
0
'
1
1
 
 
   
 
.
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2














x
x
dx
x
dx
e
x
dx
x
x
x
x
x
 
 
Тексеру:        
;
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
'
2







x
x
x
x
x
y
  

''
2
y


1
1
3
2
2
2
3



x
x
x
x
. 
 
           



 



,
0
0
2
2
4
3
2
1
1
1
2
1
2
1
2
3
2
1
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Демек, бұл дербес шешім де дұрыс анықталған. 

74  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 
  Қорыта  айтқанда,  теңдеулердің  сызықты  тәуелсіз  екінші  дербес  шешімін  табу 
тәсілі, студенттерге қонымды да түсінікті әдістемелік нұсқау болуы мүмкін деп ойлаймыз.  
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1.
 
 Н.М.Матвеев  «Методы  интегрирования  обыкновенных  дифференциальных 
уравнений»,  Москва, 1967 
2.
 
 Ж. Сүлейменов «Дифференциалдық теңдеулер курсы» Алматы, 1991 
3.
 
 А.А.  Сыдыков  «Об  одной  методике  построения  общего  решения  однородных 
линейных  дифференциальных  уравнений  второго  порядка»,  «Оқытудың  ақпараттық 
технологиялары  негізінде  инновациялық  білім  беруді  жетілдіру  жолдары»  атты 
Халықаралық ғылыми-практикалық конференция. Шымкент, ШӘПУ, 2011 
4.
 
А.А.  Сыдыков,  Ұ.Телемисова  «Екінші  ретті  сызықты  біртекті  дифференциалдық 
теңдеудің жалпы шешімін құрудың бір әдістемесі»,  Ізденіс №3, 2011 
 
РЕЗЮМЕ 
В данной статье показан один способ определения линейно независимого частного 
решения  линейных  однородных  дифференциальных  уравнений  второго  порядка  с 
переменными коэффициентами когда известно одно частное решение. 
 
SUMMARY 
The article  deals  with  one way to determine the linearly independent  private solutions  of 
linear homogeneous  differential  equations  of second order  with  variable  coefficients  when it is 
known one particular solution. 
 
 
 
УДК 517.2 
ОБОСНОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА 
 
А.Т.Таупык-магистрант,  Б.Ж. Жақашбаев - к.ф.м-н., доцент  
(г.Алматы, Казгосженпу) 
 
Аннотация:  Получены  достаточные  условия  существование  единственности 
решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. 
Ключевые слова:Дифференциальные уравнение в частных производных 
Обоснование  формулы  Пуассона  для  простоты  проведем  в  предположении,  что 
уравнение  теплопроводности  –  однородное.  Мы,  не  будем  пытаться  доказывать  ни 
справедливость  предположений  об  искомом  решении,  ни  законность  действий.  Вместо 
этого  непосредственно  установим,  что  формула  Пуассона  дает,  ограниченное  решение 
задачи  Коши  для  уравнения  теплопроводности  в  единственном  предположении,  что 
начальная функция 
 непрерывна и ограничена в пространстве 
.  
Докажем  прежде  всего,  что  формула  Пуассона  определяет  функцию,  непрерывную 
при 
.  
В  пространстве 
 
переменных 
 
рассмотрим  область, 
определенную неравенствами  
 
                                                 
                                                        (1) 
 
где  а  и  Т  -  положительные  постоянные.  Докажем,  что  входящий  в  формулу  Пуассона 
интеграл  

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
 
 75
 
                                                           
                                                                   (2) 
 
сходится  равномерно  по  х  и      в  области    (1).  Возьмем  достаточно  большое  число  R  и 
оценим интеграл 
                                                       
           
 
Функция 
 
ограничена; 
пусть 
. 
Далее 
. Будем считать, что 
. Тогда 
  и 
. 
Теперь 
 и, следовательно, 
 
               
.             (3) 
 
Интеграл 
  сходится, поэтому интеграл справа в (3) сколь угодно мал 
при        достаточно  большом;    так  как  он  не  зависит  ни  от  ,  ни  от  ,  то  интеграл  (2) 
сходится  равномерно.  Отсюда  следует,  что  функция,  определяемая  формулой  Пуассона, 
непрерывна при  
.  
Докажем,  что  при     
  функция 
  бесконечно  дифференцируема  по    и  по 
координатам  точки    и  что  все  производные  можно  получить,  дифференцируя  формулу 
Пуассона под знаком интеграла.  
Рассмотрим, например, производную   . Если формально продифференцировать по  
  правую часть формулы Пуассона, то получится выражение 
 
                           
.              
(4) 
 
Как мы видели, первый интеграл сходится равномерно в области (1). Точно так же 
проверяется, что в той же области равномерно сходится и второй интеграл. Отсюда, как 
обычно, следует, что производная существует, непрерывна и совпадает с выражением (4). 
Существование остальных производных устанавливается аналогично. 
Непосредственным дифференцированием доказывается, что функция, определяемая 
формулой Пуассона, удовлетворяет уравнению теплопроводности. 
Остается  доказать,  что  функция 
  ограничена  и  удовлетворяет  начальному 
условию. 
. 
 
Сделаем замену  
, тогда формула Пуассона  примет вид 
 
                               
.                                                       (5) 
 
По формуле 
  легко находим  
 

76  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 
                                          
                                                                           (6) 
 
Теперь из формулы (5) следует, что  
 
 
 
и функция 
 ограничена. Далее по формулам (5) и (6)  
 
                                   
                              (7) 
 
Интеграл в формуле (7) разобьем на два интеграла, взятые по областям 
 и 
, 
где   - некоторая постоянная. Имеем  
 
 
 
Интеграл    
    сходится,  и  можно  выбрат  такое 
      что  при 
  
будет            
 
 
Зафиксируем  какое  –  нибудь 
.  Тогда  можно  найти  такое 
,  чтобы  при 
 и для любого ξ,
 было 
 Теперь  
 
 
 
 и окончательно  
 
 
Этим завершено обоснование формулы Пуассона.  
За 
примем пространство функций, непрерывных и ограниченных в 
 с 
нормой  
                                                        
                                                      (8) 
 
Если 
, то решения задачи    
   в пространстве 
 
существует и единственно. Это озночает, что оператор  R, который переводит начальную 
функцию    в  решение,  существует  и  определен  на  всем  пространстве 
  Далее,  из 
формулы Пуассона, записанной в виде (5) 
 
, 
следует  

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
 
 77
 
 
 
Это  неравенство  не  нарушится,  если  заменить  в  нем  левую  часть  ее  верхней 
гранью:
,  и,  следовательно, 
.  Таким  образом,  задача  Коши 
для уравнения теплопроводности корректна в паре пространств 
, в которых нормы 
заданы формулами (8). 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Б.П.Демидович Лекции по математической теории устойчивости. Наука, М., 1967 
2.
 
 А.Л.Скубачевский Неклассические краевые задачи. М., РЗДН –2009.  
3.
 
 В.С.Владимиров Уравнения математической физики – Новосибирск. Наука, 1988 
4.
 
 А.Н.Тихонов,  А.А.Самарский  Уравнения  математической  физики.  Учебник  для 
университетов – М., Издательство, Московский университет, Наука 2004 – 798с. 
 
РЕЗЮМЕ 
Получены  достаточные  условия  существование  единственности  решения  линейных 
дифференциальных уравнений в частных производных. 
 
SUMMARY 
The article deals with conditions for existence of the uniqueness of the obtained solution 
of linear partial differential equations. 
 
 
 
УДК 517.2 
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
 
А.Т.Таупык – магистрант,  Б.Ж.Жақашбаев – к.ф.-м.н., доцент  
(г.Алматы, КазгосженПУ) 
 
Аннотация:  Получено  достаточное  условия  задачи  Коши  существования 
единственности решения дифференциальные уравнение в частных производных. 
Ключевые слова: Дифференциальные уравнение в частных производных. 
  Рассмотрим задачу Коши  
 
                                                          
                                   (1) 
 
Будем  предпологать,  что  все  выполняемые  ниже  действия  законы,  и  в  этом 
предположении выведем формулу для решения задачи Коши (1). Обе части уравнения (1) 
подвергнем преобразованию Фурье по х 
 
                 
         (2) 
 
Интегрирование по у и дифференцирование по t независимы, поэтому вынесем в первом 
слагаемом дифференцирование по t за знак  интеграла:  
 
,  
 

78  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 
здесь 
 
означает преобразование Фурье функции 
  
 
 
 
  Каждый интеграл во втором слагаемом в (2) возьмем по частям  
 
      (3) 
 
Уравнение (2) принимает вид 
                                                            
                                                         (4) 
Это  обыкновенное  дифференциальное  уравнение  первого  порядка  с  независимой 
переменной t; координаты 
 играют роль параметров. Интегрируя уравнение 
(4) получаем 
  Пологая здесь t=0, найдем 
. Таким 
образом,  функция 
  есть  преобразование  Фурье  начального  значения  функции  
. Но 
 следовательно,   
 
 и  
, 
 
 Воспользуемся формулой обращения интеграла Фурье   
 
 
 
Заменим здесь 
 его выражением и изменим порядок интегрирования: 
 
                            
                          (5) 
 
Вычислим внутренний интеграл в формуле  (5):  
 
 
 
                                       
                                                    (6) 
 
В  интеграле  справа  у  –  вещественная  переменная,  которая  меняется  в  пределах 
  
Выделим 
?????? - й множитель в произведении (6). Обозначим для 
краткости 
 Дело сводится к вычислению интеграла 
 
 
 
Рассмотрим  плоскость  комплексной  переменной 
  Для  определенности 
примем, что 
 По теореме Коши 
 или, в более подробной записи, 

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
 
 79
 
 
 
Пусть теперь  N
  При  этом  второй  и  четвертый  интегралы  стремятся  к  нулю. 
Действительно,  
 
 
Отсюда  следует,  что 
  Легко  видеть,  что  случай 
 приводит к тому же результату. Замена 
 дает, далее  
 
Теперь  
 
и интеграл (6) оказывается равным величине  
 
,  
 
Подставив этот результат в формулу (5), получим формулу Пуассона:     
                                          
                                             (7) 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1.
 
Б.П.Демидович Лекции по математической теории устойчивости. Наука, М., 1967 
2.
 
 А.Л.Скубачевский Неклассические краевые задачи. М., РЗДН –2009.  
3.
 
 В.С.Владимиров Уравнения математической физики – Новосибирск. 
Наука, 1988 
4.
 
 А.Н.Тихонов, А.А.Самарский Уравнения математической физики.Учебник для  
университетов – М., Издательство, Московский университет, Наука 2004 – 798с. 
 
ТҮЙІНДЕМЕ 
Бұл  мақалада  Коши  есебінің  жеткілікті  шарты  қарастырылған  және  есептің 
шешімінің бар болуы кӛрсетілген.  
 
SUMMARY 
The article  deals  with  a  sufficient  condition  for the Cauchy problem  and  having  problem 
solution. 

80  Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013 
 
УДК 51 Т 133 

жүктеу/скачать 4,01 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: