Төртбұрыштың кескінін салу

Айталық  Σ'  жазықтығындағы  A'  B'C'D'  төртбұрышы  берілсін.  Жоғарыда  дәлелденген 

теорема  бойынша  оның  Σ  жазықтығындағы  кескіні  (AC,E)=(A'C',E'),  (BD,E)=(B'D',E') 

орындалатындай  АВСD  төртбұрышы  болады,  мұнда  E'−  төртбұрыш  түпнұсқасы 

диагоналдарының қиылысу нүктесі. Егер Σ' пен Σ жазықтықтарының өзаоа орналасуы мен 

проекциялау  бағыты  берілмесе,  онда    (AC,E)=(A'C',E')  көрсетілгендей  Σ  жазықтығындағы 

А,  В,  С  нүктелерін  (A',B',C'  нүктелерінің  кескіндері)  алдын  ала  берілген  кез  келген 

үшбұрыштың  төбелері  болатындай  етіп,  Σ  жазықтығы  мен  проекциялау  бағытын  таңдап 

алуға  болады.  Осы  жағдайда  төртбұрыштың  төртінші  D'  төбесінің  D  кескіні 

(AC,E)=(A'C',E'), (BD,E)=(B'D',E') теңдеулердің негізінде бір мәнді анықталады. [2] 

Төртбұрыштың дербес түрлерінің проекцияларын қарастырайық.  

Трапецияның кескінін салу 

Жоғарыда айтылғаннан трапеция-түпнұсқа трапеция болып кескінделетіндігі шығады, 

әрі  түпнұсқа  мен  кескіннің  диагоналдарының  қиылысу  нүкелері  үшін  (AC,E)=(A'C',E') 

арақатынас  орындалады  (табандары  A'B'  мен  D'C'  және  (A'C',E')=(B'D',E')  болып  келген 

трапеция үшін). 

 Параллелограмның кескінін салу 

 Параллелограмм  (ромб,  тік  төртбұрыш  пен  квадратты  қоса  алғанда)  кейбір 

параллелограмм  түрінде  кескінделеді.  Жалпы  жағдайда  проекциялауда  бұрыш  шамасы 

сақталмайтындығын ескерте кетеміз. 

 Көпбұрыштың кескінін салу  

n-бұрыш.  1-пунктте  дәлелденген  теоремадан  кеңістікте  берілген    n-  бұрышты  қағазда 

кескіндеуде бізге қандай да болса үш төбесінің кескінін білу жеткілікті  деген қорытынды 

жасаймыз. Қалған  n-3 төбесінің кескіндері салу бойынша табылады. 

Шеңбердің кескінін салу 

Айталық  Σ'    жазықтығындағы  O'  центрі  мен  Q'  шеңбері  берілсін  делік.  Оны  l  бағыты 

бойынша Σ жазықтығына проекциялайық (15-сурет). M'



Q' нүктесі  Q' шеңберін сызғанда 

нүктеден  өтетін  кез  келген  шеңбер  хордасының  ортасы.  Олай  болса,  О  нүктесі 

(O'нүктесінің  проекциясы)  –  Q  эллипсінің  өзінен  өтетін  кез  келген  хордасын  қақ  бөледі. 

Сөйтіп  Q'  шеңберінің  O'  центрі  Q  эллипсінің  О  центріне  проекцияланады.  Q'  шеңберінің 

өзара  перпендикуляр  екі  A'B'  және  C'D'  диаметрін  алайық  та    C'D'  диаметріне  параллель, 

A

/ 





P 

M 

A





0

0

0

0

 

M

 

N

/

 

A

C 

M



 

1-cурет 

353 

 

шеңбер  хордаларын  жүргізейік.  Бұл  хордалардың  орталары  A'B'  диаметрінде  жатады. 

Шеңбердің  A'B'  және  C'D'  диаметрлері  Q  эллипсінің  АВ  және  СD  диаметрлеріне 

проекцияланады,  әрі  СD  диаметріне  параллель  эллипс  хордалардың  орталары  АВ 

диаметріне тиісті. Ал бұл, дегеніміз, АВ және СD диаметрлері - түйіндес деген сөз.  

Сонымен,  Q'  шеңберінің  өзара  перпендикуляр  диаметрлері  Q  эллипсінің  түйіндес 

диаметрлеріне проекцияланады. 

A' нүктесінде Q' шеңберіне жүргізілген t' жанамасы C'D' диаметріне параллель. t' түзуі 

A



Q  нүктесінен  өтетін  АВ  диаметріне  түйіндес  СD  диаметріне  параллель.  t  түзуіне 

проекцияланады. Олай болса, t −A нүктесінде Q эллипсіне жанама болады.  

Σ  жазықтығының  ұқсастығы  эллипсті  эллипске  көшіріп,  үш  нүктенің  қатынасын 

сақтайды және шеңбердің кескіні эллипс болады да шеңбердің перпендикуляр диаметрлері 

осы эллипстің түйіндес диаметрлеріне кескінделеді.  

Эллипстің  нүктелерін  салудың  әдістерін  көрсетейік.  Айталық  Q  эллипсінің  түйіндес 

диаметрлерінде жататын АВ мен  СD кесінділері берілсін (атап айтқанда оның осінде), әрі 

A,  B,  C,  D



Q.  A  нүктесіндегі  Q  эллипсінің  жанамасы  CD  диаметріне  параллель 

болғандықтан  ,  оны  салуға  болады.  Енді  Q  эллипсін  салу  есебі  төрт  нүктесі  және  оның 

біреуі  арқылы  өтетін  жанамасы  берілген  екінші  ретті  овал  қисықтың  нүктелерін  сауға 

тіреледі.  

Q  эллипсін  басқаша  әдіспен  салуға  болады.  АВ  кесіндісін  диаметр  етіп  алып  Qₒ 

шеңберін  саламыз  және  оның  диаметрі  CₒDₒ



АВ  болады.  s=AB  осі  және  бір  пар  Cₒ  мен 

C=f(Cₒ)  нүктесі  арқылы  берілген  Q  эллипсі  f  тектестік  түрлендіруінде  Qₒ  шеңберінің 

бейнесі болып табылады .  

Тектестік  түрлендірудегі  параллельдіктің  сақталуын  пайдалансақ,  онда  эллипс 

нүктелерін салуды былай орындауға болады. Nₒ



Qₒ нүктесін аламызда  NₒN

1

‖OCₒ  түзуін 

жүргіземіз,  мұнда  N

1

=  NₒN

1

∩s,  O=AB∩CD.  Сонда  N=f(Nₒ)  нүктесі  N

1

N‖  f(OCₒ)=OC 

түзуінде жатады. NₒN‖CₒС түзуін жүргізе отырып, табатынымыз: N=N

1

N∩NₒN.  

Q  эллипсінің  өзіміз  салған  әрбір  нүктесіне  Q  эллипсінің  О  центріне  қарағандағы 

симметриялы нүкте де Q эллипсінде жатады. 

A 

A

/ 

жүктеу/скачать 7,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: